专题39 几何最值之阿氏圆问题【热点专题】-【中考高分导航】备战 中考数学考点总复习（全国通用）

问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

模型展示：如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．

（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则．

证明：，，即

（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则．

证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即．

接下来开始证明步骤：

如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．

模型最值技巧：

计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：

① 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB

② 计算出这两条线段的长度比

③ 在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，

④ 则，当A、P、C三点共线时可得最小值

【例1】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．

【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．

连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．

【详解】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．
 

∵
∴   ∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴
∴
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG==5．
∵=PD-PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=5．
 

【例2】如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为___________．

【答案】．

【详解】解：在AD上截取AH=1.5，连接PH、AE，过点B作BF⊥DA延长线，垂足为F，

∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF=，∴，

∵∠PAD =∠PAH，∴△ADP∽△APH，∴，∴PH=，

当B、P、H共线时，的最小，最小值为BH长，

BH=；故答案为：．

【例3】如图，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半径为2，点P是上一动点，则的最小值______________的最小值_______

【答案】       

【详解】①在BC上取点D，使CD=BC=1，连接AD，PD，PC，

由题意知：PC=2，∵，∠PCD=∠BCP，∴，∴，

且，∴，

∴的最小值为，故答案为：；

②在AC上取点E，使CE=，连接PE，BE，PC，

∵，，∴，且∠PCE=∠ACP，

∴，∴，∴，∴，

∴，∴的最小值为，故答案为：．

1．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，

∵，，∴，∵G是BE的中点，∴，∴，

∵，∴，∴，∴，

则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，

．故选：C．

2．如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______

【答案】       

【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD，作DF⊥BC交BC延长线于F．

∵，，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，

∵，∴当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，

在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=2，CF=2，

在Rt△GDF中，DG，故答案为：；

②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，过M作MN⊥BC于N．

∵四边形ABCD是菱形，且，　∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30，

∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=，∴，，

∴，且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，∴，

∴，∴当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，

在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，∴MN=BM=，BN=，∴CN=4-，

∴MC=，∴的最小值为．

3．如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是　　．

【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=，故求最小值即可．

考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造，条件已经足够明显．

当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终存在．

问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，BM长度的3倍即为本题答案．

【详解】

如图，在AC上取一点M，使CM=4

∵

∴∠MCD=∠ACD

∴△DCM∽△ACD

∴

∴

在△MDE中，MD+DBMD

∴MD+DB最小值为MB。

∴

∴

∴2AD+3BD=

4．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点的横坐标为，当时，求的值；

（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．

【答案】（1）yx2x﹣3；（2）；（3）．

【详解】

（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴抛物线的解析式为yx2x﹣3．

（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．

∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为yx﹣1，由题意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0）．

∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）

解得m或（舍弃），∴当FH＝HP时，m的值为．

（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（，0），H（，﹣2）．

∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．

∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．

∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴．

∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．

5．如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．

（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q点的坐标．

②求BE′+AE′的最小值．

【解答】解：（1）把点A（8，0）代入抛物线y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，

∴16a＝﹣6，a＝﹣，

∴y＝﹣x2+x+6与y轴交点，令x＝0，得y＝6，

∴B（0，6）．

设AB为y＝kx+b过A（8，0），B（0，6），

∴，解得：，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6．

（2）∵E（m，0），

∴N（m，﹣m+6），P（m，﹣m2+m+6）．

∵PE∥OB，

∴△ANE∽△ABO，

∴＝，

∴＝，解得：AN＝．

∵PM⊥AB，

∴∠PMN＝∠NEA＝90°．

又∵∠PNM＝∠ANE，

∴△NMP∽△NEA．

∵＝，

∴，

∴PM＝AN＝×＝12﹣m．

又∵PM＝﹣m2+m+6﹣6+m＝﹣m2+3m，

∴12﹣m＝﹣m2+3m，整理得：m2﹣12m+32＝0，解得：m＝4或m＝8．

∵0＜m＜8，

∴m＝4．

（3）①在（2）的条件下，m＝4，

∴E（4，0），

设Q（d，0）．

由旋转的性质可知OE′＝OE＝4，

若△OQE′∽△OE′A．

∴＝．

∵0°＜α＜90°，

∴d＞0，

∴＝，解得：d＝2，

∴Q（2，0）．

②由①可知，当Q为（2，0）时，

△OQE′∽△OE′A，且相似比为＝＝＝，

∴AE′＝QE′，

∴BE′+AE′＝BE′+QE′，

∴当E′旋转到BQ所在直线上时，BE′+QE′最小，即为BQ长度，

∵B（0，6），Q（2，0），

∴BQ＝＝2，

∴BE′+AE′的最小值为2．

6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．

（1）求点P的坐标及直线AC的解析式；

（2）如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接FA、FC．求AF+CF的最小值；

【解答】解：（1）在抛物线y＝x2+x+3中，

当x＝0时，y＝3，

∴C（0，3），

当y＝3时，x1＝0，x2＝2，

∴P（2，3），

当y＝0时，x1＝﹣4，x2＝6，

B（﹣4，0），A（6，0），

设直线AC的解析式为y＝kx+3，

将A（6，0）代入，

得，k＝﹣，

∴yAC＝﹣x+3，

∴点P坐标为P（2，3），直线AC的解析式为yAC＝﹣x+3；

（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，

则OH＝，AH＝＝＝，

∵＝＝，＝，且∠HOF＝∠FOC，

∴△HOF∽△FOC，

∴＝，

∴HF＝CF，

∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，

∴AF+CF的最小值为；

7．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

【解答】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5

∴C（0，5）

y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1

∴A（1，0）

∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点

∴   解得：

∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5

当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5

∴B（5，0）

（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H

∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）

∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5

∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10

∵点M为x轴下方抛物线上的点

∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）

∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5

∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8

∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18

∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18

（可以直接利用点M是抛物线的顶点时，面积最大求解）

（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD

∴BD＝5﹣4＝1

∵AB＝4，BP＝2

∴

∵∠PBD＝∠ABP

∴△PBD∽△ABP

∴＝＝，

∴PD＝AP

∴PC+PA＝PC+PD

∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小

∵CD＝

∴PC+PA的最小值为