天津市七区2022-2023学年高二上学期期末数学试题

高二数学

第Ⅰ卷（36分）

一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知空间向量，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．直线的倾斜角为（    ）

A．45° B．90° C．135° D．150°

3．抛物线的准线方程是（    ）

A． B． C． D．

4．在等差数列中，，，则公差为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

6．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点E到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

7．数列中，，且，则（    ）

A．1024 B．1023 C．511 D．510

8．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（    ）

A． B． C．3 D．4

9．已知F是椭圆的左焦点，点，若P是椭圆上任意一点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（共84分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，每个空2分．

10．己知空间向量，，且与是共线向量，则实数x的值为_______．

11．已知的三个顶点，，，则边上的高所在直线方程为_______．

12．在平行六面体中，，，，，则的长为_______．

13．已知等比数列满足，，则_______．

14．过双曲线的右焦点做x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，以为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为_______．

15．已知实数x，y满足，则的最小值是_______．

三、解答题：本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知等比数列的前n项和为，，，等差数列满足，是和的等差中项，求和的通项公式．

17．（本小题满分12分）

已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．

（1）求圆C的方程；

（2）已知点，点N在圆C上运动，求线段中点P的轨迹方程．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面，，，，E为中点，作交于点F．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，且，求直线l的方程．

20．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，且．

（1）求证：是等比数列；

（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和。

2022～2023学年度第一学期期末练习

高二数学参考答案

一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分。

1．A 2．C 3．B 4．C

5．D 6．B 7．C 8．D

9．A

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

10．

11．     

12．

13．-84  

14．        

15．

三、解答题：本大题共5小题，共60分。

16．设的公比为，显然.    …………………………1分

由题意       ………………………………3分

解得             ………………………………5分

所以的通项公式为.………………………………6分

设数列的公差为，则……………8分

所以，所以………………………10分

即，解得    ………………………………11分

.    ………………………………12分

17．（1）设圆的方程为，由题意得

，………………………………2分

解得           ………………………………5分

所以圆的方程为.…………………6分

（2）设点的坐标是，点的坐标是，

由于点的坐标为，点是线段的中点，所以

   ，   ………………………………8分

于是      ………………………………9分

         因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，

即       ………………………………10分

所以，

整理得………………………………12分

所以，线段中点的轨迹方程.

18．以为原点，所在直线分别为

轴、轴、轴，建立如图所示的空间

直角坐标系.……………………1分

（1）证明：依题意得

.………………………………2分

       因为点为中点，所以

.……………………………3分

所以，，又，…………………………4分

而，

所以.                    ……………………………6分

由已知，且，

所以平面.               …………………………7分

（2）解：由（1）知为平面的一个法向量，

又，

设平面的一个法向量为，则平面与平面的   夹角就是与的夹角或其补角.     ……………………………9分

，所以，所以

取，则                ……………………………10分

.

所以平面与平面的夹角的余弦值为.…………………12分

19.（1）由椭圆过点可知，，……………………………1分

又得，即，

所以，所以                 ………………3分

椭圆的标准方程为.  ……………………………4分

（2）由（1）知，

     设直线的方程为，则………………5分

     ，解得，………………6分

所以            ………………8分

由得，，即  ………………9分

所以，，

所以，即

所以                           ………………11分

直线的方程                ………………12分

（也可设直线方程为方法同上，酌情给分）

20.（1）当时，，得，所以，………1分

当时，

所以，即，

所以                      ………………3分

       ………………5分

        即，数列是以为首项，公比为3的等比数列……………6分

（2）由（1）得，所以………………7分

由题意，即

所以，所以   ………………9分

设前项和为

所以

即     ①

②

         ①-②得

所以.                ………………12分