高考数学二轮精品专题十 极坐标与参数方程（理） (2份打包，教师版+原卷版)

极坐标与参数方程是高考的选考内容之一，考查的形式主要为解答题．通常第一问比较简单，一般为极坐标方程与普通方程的互换，参数方程与普通方程的互换；第二问一般以直线与圆的位置关系或直线与圆锥曲线的位置关系作为背景，考查极坐标方程中的的几何意义，或者是参数方程中参数的几何意义，整体难度中等．

1．平面直角坐标系中的伸缩变换

设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系的概念

在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；

以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为．

有序数对叫做点的极坐标，记为．

一般地，不做特殊说明时，我们认为，可取任何实数．

注：极坐标与表示同一个点．极点的坐标为．

若，则，规定点与点关于极点对称，即与表示同一点．

如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的．

极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应唯一点(，)，但平面内任一个点的极坐标不唯一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，(，)（极点除外）的全部坐标为(，＋)或（，＋），()．极点的极径为，而极角任意取．

若对、的取值范围加以限制，则除极点外，平面上点的极坐标就唯一了，如限定，或，等．

极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的，即一个点的极坐标是不唯一的．

3．极坐标与直角坐标的互化

设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，从图中可以得出：

．

4．常见曲线的极坐标方程

5．参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

6．常见曲线的参数方程

（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程（为参数）．

设是直线上的任意一点，则表示有向线段的数量．参数的几何意义是有向线段的数量．

（2）圆的参数方程为（为参数）．

（3）椭圆的参数方程为（为参数）；

椭圆的参数方程为（为参数）．

（4）抛物线参数方程为参数，）．

参数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

7．参数方程与普通方程之间的互化

在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致．

参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，

则一定要通过．根据的取值范围导出的取值范围．

一、解答题．

1．直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（t为参数）．

（1）求直线的普通方程，说明C是哪一种曲线；

（2）设分别为和C上的动点，求的最小值．

2．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l过点，倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．

（1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求直线l的参数方程；

（2）若直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的倾斜角．

3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，若以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．

（1）求圆C的一个参数方程；

（2）在平面直角坐标系中，是圆C上的动点，试求的最大值，并求出此时点P的直角坐标．

4．在平面直角坐标系中，直线过定点，倾斜角为，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知直线交曲线于，两点，且，求的参数方程．

5．在平面直角坐标系中，曲线是圆心在，半径为的圆，曲线的参数方程为（为参数且），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线与坐标轴交于、两点，点为线段上任意一点，直线与曲线交于点（异于原点），求的最大值．

6．在直角坐标系中，直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点，．

（1）当时，求直线与曲线的普通方程；

（2）若，其中，求直线的倾斜角．

7．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设为曲线上不同两点（均不与重合），且满足，求的最大面积．

一、解答题．

1．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；

（2）若直线过点且与直线平行，直线与曲线相交于A，B两点，

求的值．

一、解答题．

1．已知曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线关于对称．

（1）求的极坐标方程，的直角坐标方程；

（2）已知曲线与两坐标轴正半轴交于、两点，为上任一点，求的面积的最大值．

2．在直角坐标系中，直线l过点，倾斜角为．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l交曲线C于A，B两点，M为中点，且满足成等比数列，求直线l的斜率．

3．在直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点Q是与的公共点．

（1）当时，求直线的极坐标方程；

（2）当时，记直线与曲线的另一个公共点为，求的值．

4．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）设曲线与的交点分别为，，求的面积的最小值．

5．数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线：（，）被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．

（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；

（2）射线，的极坐标方程分别为，（，），，分别交曲线于点，两点，求的最小值．

一、解答题．

1．【答案】（1），曲线C是焦点在x轴上的椭圆；（2）．

【解析】（1）由题得直线，曲线，即，

所以曲线C是焦点在x轴上的椭圆．

（2）设，则就是点N到直线的距离，

（的终边在第一象限且），

当时，．

【点评】参数方程里求直线上的点到曲线上的点的最值，一般先利用曲线的参数方程设点，再利用点到直线的距离求出距离的函数表达式，再利用三角函数的图象和性质求解．

2．【答案】（1），（t为参数）；（2）或．

【解析】（1），

所以圆C的直角坐标方程为，①

直线l的参数方程为（t为参数）．②

（2）将②代入①，，

l被C截得弦长，

∴或．

【点评】本题考查了极坐标方程与普通方程的互换，直线参数方程中，参数的几何意义，属于中档题．

3．【答案】（1）是参数）；（2）．

【解析】（1）因为，所以，

即为圆C的直角坐标方程，

所以圆C的一个参数方程为为参数）．

（2）由（1）可知点P的坐标可设为，

则，

其中，，

当取最大值时，，，

此时，，

所以的最大值为11，此时点P的直角坐标为．

【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式，同角三角函数的基本关系式、圆的参数方程及其应用、三角函数单调性与值域，属于中档题．

4．【答案】（1）；（2）（为参数）．

【解析】（1）由，得，

∵，

∴，即，

又，∴，

即曲线的极坐标方程为．

（2）设的参数方程为（为参数），代入

整理得，

设方程的两根分别为，，则，

则，解得，

∵，∴，

故的参数方程为（为参数）．

【点评】在利用参数的几何意义时，一定要将参数方程化为标准方程．

5．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，即，

所以曲线的极坐标方程为，即．

（2）曲线的参数方程为，

因为曲线与两坐标轴相交，所以曲线交轴于点、交轴于点，

所以，线段的方程为，

则线段的极坐标方程为，

设点、的极坐标分别为、，

点在线段上，可得，可得，

点在曲线上，则，

，

，可得，

当时，即当时，取得最大值．

【点评】在已知直角坐标方程求曲线的交点、距离、线段长度等几何问题时，如果不能直接用直角坐标解决，或用直角坐标解决较为麻烦，可将直角坐标方程转化为极坐标方程解决．

6．【答案】（1），；（2）或．

【解析】（1）当时，直线的普通方程为，曲线的普通方程为．

（2）将直线，代入得，

，，，

，，

所以直线的倾斜角为或．

【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查直线方程中此时t的几何意义的应用，是中档题．

7．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设曲线上任意点的极坐标为，

由题意，曲线的普通方程为，即，

则，

故曲线的极坐标方程为．

（2）设，则，故，

因为点在曲线上，则，，

故

，

，故时，取到最大面积为．

【点评】本题考查参数方程、普通方程以及极坐标方程的转化，其中普通方程与极坐标方程转化的公式为，考查两线段积的取值范围的求法，涉及三角函数的辅助角公式以及三角函数的值域，考查学生转化与化归的思想以及运算求解的能力，属于中档题．

一、解答题．

1．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由(为参数)，消去参数，

得曲线的普通方程为，

由，得，

得曲线的直角坐标方程为，即．

所以两方程相减可得交线为，

所以直线的极坐标方程为．

（2）由，得，

∴直线l的直角坐标方程，

直线l的斜率为，所以直线的斜率为，倾斜角为，

所以直线的参数方程为(t为参数)，

将直线的参数方程代入曲线，中，得．

设A，B两点的参数为，，

∴，，则，异号．

∴．

【点评】将参数方程化为普通方程消参的3种方法：

（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消参；

（2）利用三角恒等式消去参数；

（3）根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法从整体上消去参数．

一、解答题．

1．【答案】（1）；；（2）．

【解析】（1），消去，得．

又，代入，得，

∴，

所以的极坐标方程为；

化为，

又关于对称，∴，∴，

∴．

（2）由（1）知，∴，∴，，

∴，

易得，设到的距离为．

则，

当时，有最大值．

∴．

【点评】本题关键在于准确运用进行由极坐标方程向直角坐标方程转化，以及利用椭圆的参数方程求点到直线的最值．

2．【答案】（1）l的参数方程为 (t为参数)，C的直角坐标方程为；（2）斜率为．

【解析】（1）因为直线l过点，倾斜角为，

所以直线l的参数方程为(t为参数) ．

因为，所以，

所以曲线C的直角坐标方程为．

（2）将直线l的参数方程为(t为参数)，

代入可得：，

设A，B所对应的参数为，所以，，

因为成等比数列，所以，即，

解得，，故直线l的斜率为．

【点评】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题．

3．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）曲线的普通方程是，

当时，点的坐标为，

直线的普通方程为，

所以直线的极坐标方程为．

（2）当时，点的坐标为，所以的斜率为，

所以直线的参数方程为(t为参数)，

代入并化简得，

设它的两根为，则．

【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义．其中第二问解题的关键在于根据题意写出直线的参数方程为(t为参数)，进而利用直线参数方程几何意义求解．

4．【答案】（1），曲线表示过点的直线；，曲线表示抛物线；（2）4．

【解析】（1）由（为参数），消去得，

即，曲线表示过点的直线．

由，得．

将，代入的方程得，曲线表示抛物线．

（2）由于直线过定点，由题意可设．

联立，消去得．

设，，则，，且与轴的交点为，

所以，

所以当时，取得最小值4．

【点评】本题考查直线的参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，以及直线与抛物线的位置关系，三角形面积的最值问题，属于中档题．

5．【答案】（1），，；（2）4．

【解析】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立，解得，

所以，，

因为，所以取0，1，2，得，，，

从而得到单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标为，，．

（2）将，代入：，

点，所对应的极径分别为，，所以，，

即，，

，

当且仅当时，取得最小值4．

【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．