课时跟踪检测（七） 二项式定理

这是一份课时跟踪检测（七） 二项式定理，共4页。试卷主要包含了求10的展开式中x10的系数等内容，欢迎下载使用。

A．1 B．－1
C．(－1)n D．3n
解析：选C 逆用公式，将1看作公式中的a，－2看作公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
2．若(2x－3eq \r(x))n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选A 因为(2x－3eq \r(x))n＋3的展开式中共n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11.
3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,2\r(x))))8的展开式中常数项为( )
A.eq \f(35,16) B.eq \f(35,8)
C.eq \f(35,4) D．105
解析：选B Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)(eq \r(x))8－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2\r(x))))r＝eq \f(1,2r)Ceq \\al(r,8)x4－r，令4－r＝0，得r＝4，展开式的第5项为常数项，
∴T5＝eq \f(1,24)·Ceq \\al(4,8)＝eq \f(35,8).
4．(2020·全国卷Ⅰ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选C 因为(x＋y)5的通项公式为Ceq \\al(r,5)x5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，所以r＝1时，eq \f(y2,x)Ceq \\al(1,5)x4y＝5x3y3；r＝3时，xCeq \\al(3,5)x2y3＝10x3y3，所以x3y3的系数为5＋10＝15.
5．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6
C．9 D．21
解析：选B ∵x3＝[(x－2)＋2]3＝Ceq \\al(0,3)(x－2)3＋Ceq \\al(1,3)(x－2)2·2＋Ceq \\al(2,3)(x－2)·22＋Ceq \\al(3,3)·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.
6．二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．
解析：∵T4＝Ceq \\al(3,5)x2y3，∴含x2y3的项的系数是Ceq \\al(3,5)＝10.
答案：10
7．(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)10展开式中x3的系数为________．
解析：x3的系数为Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(3,5)＋…＋Ceq \\al(3,10)＝Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(3,5)＋…＋Ceq \\al(3,10)＝Ceq \\al(4,11)＝330.
答案：330
8．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,x)))9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
解析：展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,9)x9－r(－a)req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))r＝Ceq \\al(r,9)·(－a)rx9－2r(0≤r≤9，r∈N)．当9－2r＝3时，解得r＝3，根据题意得Ceq \\al(3,9)(－a)3＝－84，解得a＝1.
答案：1
9．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为Ceq \\al(0,n)，eq \f(1,2)Ceq \\al(1,n)，eq \f(1,4)Ceq \\al(2,n)，
由已知得2×eq \f(1,2)Ceq \\al(1,n)＝Ceq \\al(0,n)＋eq \f(1,4)Ceq \\al(2,n)，解得n＝8(n＝1舍去)．
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))8的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)(eq \r(x))8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2\r(4,x))))r＝2－rCeq \\al(r,8)x4－eq \f(3r,4)(r＝0,1，…，8)，
要求有理项，则4－eq \f(3r,4)必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝eq \f(35,8)x，T9＝eq \f(1,256x2).
(3)设第r＋1项的系数ar＋1最大，则ar＋1＝2－rCeq \\al(r,8)，
则eq \f(ar＋1,ar)＝eq \f(2－rC\\al(r,8),2－r－1C\\al(r－1,8))＝eq \f(9－r,2r)≥1，
eq \f(ar＋1,ar＋2)＝eq \f(2－rC\\al(r,8),2－r＋1C\\al(r＋1,8))＝eq \f(2r＋1,8－r)≥1，解得2≤r≤3.
当r＝2时，a3＝2－2Ceq \\al(2,8)＝7，当r＝3时，a4＝2－3Ceq \\al(3,8)＝7，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为T3＝7xeq \f(5,2)，T4＝7xeq \f(7,4).
10．求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数．
解：(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，
本题求x10的系数，只需求(x＋2)10展开式中x8及x10的系数．
由Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)x10－r·2r，
取r＝2得x8的系数为Ceq \\al(2,10)×22＝180，
又x10的系数为Ceq \\al(0,10)＝1，因此所求系数为180－1＝179.
1．若二项式(x＋2)n的展开式的第4项是eq \f(5,2)，第3项的二项式系数是15，则x的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(\r(2),8) D.eq \f(1,8)
解析：选B 由二项式(x＋2)n的展开式的第4项为23Ceq \\al(3,n)xn－3，第3项的二项式系数是Ceq \\al(2,n)，可知Ceq \\al(2,n)＝15,23Ceq \\al(3,n)xn－3＝eq \f(5,2)，解得n＝6，x＝eq \f(1,4)，故选B.
2．(1－x)4(1－eq \r(x))3的展开式中x2的系数是( )
A．－6 B．－3
C．0 D．3
解析：选A ∵(1－x)4(1－eq \r(x))3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－3xeq \f(1,2)＋3x－xeq \f(3,2))，
∴x2的系数是－12＋6＝－6.
3．(1＋eq \r(2))5＝a＋beq \r(2)(a，b为有理数)，则a＋b＝________.
解析：∵(1＋eq \r(2))5＝1＋Ceq \\al(1,5)eq \r(2)＋Ceq \\al(2,5)(eq \r(2))2＋Ceq \\al(3,5)(eq \r(2))3＋Ceq \\al(4,5)(eq \r(2))4＋Ceq \\al(5,5)(eq \r(2))5＝41＋29eq \r(2)，
∴a＝41，b＝29，a＋b＝41＋29＝70.
答案：70
4．已知(eq \r(x)＋eq \r(3,x))n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．
(1)求n的值；
(2)写出它展开式中的所有有理项．
解：(1)由(eq \r(x)＋eq \r(3,x))n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是Ceq \\al(8,n)，Ceq \\al(9,n)，Ceq \\al(10,n)，得eq \f(n！,8！n－8！)＋eq \f(n！,10！n－10！)＝2·eq \f(n！,9！n－9！)，
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,14)xeq \f(14－r,2)·xeq \f(r,3)＝Ceq \\al(r,14)·xeq \f(42－r,6)，
展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，0≤r≤14，
所以展开式中的有理项共3项是：
r＝0，T1＝Ceq \\al(0,14)x7＝x7；
r＝6，T7＝Ceq \\al(6,14)x6＝3 003x6；
r＝12，T13＝Ceq \\al(12,14)x5＝91x5.
5．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
解：由题设知m＋n＝19，又m，n∈N*，所以1≤m≤18.
x2的系数为Ceq \\al(2,m)＋Ceq \\al(2,n)＝eq \f(1,2)(m2－m)＋eq \f(1,2)(n2－n)＝m2－19m＋171.
所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81，
此时x7的系数为Ceq \\al(7,9)＋Ceq \\al(7,10)＝156.