课时跟踪检测（十六） 超几何分布

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A．X表示取出的最大号码
B．X表示取出的最小号码
C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．X表示取出的黑球个数
解析：选CD 由超几何分布的概念知C、D符合，故选C、D.
2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( )
A.eq \f(28,45) B.eq \f(16,45)
C.eq \f(11,45) D.eq \f(17,45)
解析：选B 由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,8),C\\al(2,10))＝eq \f(16,45).
3．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是eq \f(5,7)，则语文课本共有( )
A．2本 B．3本
C．4本 D．5本
解析：选C 设语文书n本，则数学书有7－n本(2≤n<7)，则2本都是语文书的概率为eq \f(C\\al(2,n)C\\al(0,7－n),C\\al(2,7))＝eq \f(2,7)，由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4.
4．一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率中等于eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,4)＋C\\al(2,22),C\\al(2,26))的是( )
A．P(0C．P(X＝2) D．P(X＝1)
解析：选B 由已知，得X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,22),C\\al(2,26))，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,4),C\\al(2,26))，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,26))，
∴P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,4)＋C\\al(2,22),C\\al(2,26)).
5．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为eq \f(16,45)，则a等于( )
A．1 B．2或8
C．2 D．8
解析：选B 由题意得eq \f(C\\al(1,a)C\\al(1,10－a),C\\al(2,10))＝eq \f(16,45)，即a(10－a)＝16，解得a＝2或a＝8，故选B.
6．袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________.
解析：由题意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－eq \f(C\\al(1,5)C\\al(3,4),C\\al(4,9))－eq \f(C\\al(4,4),C\\al(4,9))＝eq \f(5,6).
答案：eq \f(5,6)
7．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：
则x1，x2，x3的值分别为________．
解析：ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝0.1，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(2,5))＝0.6，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))＝0.3.
答案：0.1,0.6,0.3
8．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3件，则取得次品数ξ的均值为________．
解析：E(ξ)＝3×eq \f(2,15)＝eq \f(2,5).
答案： eq \f(2,5)
9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．
解：(1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，
P(ξ＝k)＝eq \f(C\\al(k,2)·C\\al(3－k,4),C\\al(3,6))，k＝0,1,2.
所以ξ的分布列为
(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为
P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝eq \f(4,5).
10．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
解：(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
代表队中的学生全从B中学抽取的概率为eq \f(C\\al(3,3)C\\al(3,4),C\\al(3,6)C\\al(3,6))＝eq \f(1,100)，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
1－eq \f(1,100)＝eq \f(99,100).
(2)根据题意，X的所有可能取值为1,2,3.
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(3,3),C\\al(4,6))＝eq \f(1,5)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(2,3),C\\al(4,6))＝eq \f(3,5)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3)C\\al(1,3),C\\al(4,6))＝eq \f(1,5).
所以X的分布列为
1．为了加强学生实践、创新能力和团队精神的培养，教育部门举办了全国学生智能汽车竞赛．某校的智能汽车爱好小组共有15人，其中女生7人．现从中任意选10人参加竞赛，用X表示这10人中女生的人数，则下列概率中等于eq \f(C\\al(4,7)C\\al(6,8),C\\al(10,15))的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
解析：选C 15人中，有7名女生，8名男生，表示选出的10人中有4名女生，6名男生，
所以P(X＝4)＝eq \f(C\\al(4,7)C\\al(6,8),C\\al(10,15)).
2．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则：
(1)P(ξ>8)＝________；
(2)P(6<ξ≤14)＝________.
解析：设取每个值的概率均为p，于是12p＝1，∴p＝eq \f(1,12).
(1)P(ξ>8)＝P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＋…＋P(ξ＝16)
＝eq \f(8,12)＝eq \f(2,3).
(2)P(6<ξ≤14)＝P(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋…＋P(ξ＝14)＝eq \f(2,3).
答案：(1)eq \f(2,3) (2)eq \f(2,3)
3．袋中有3个白球、3个红球和5个黑球，从袋中随机取3个球．规定取得一个红球得1分，取得一个白球扣1分，取得一个黑球不得分也不扣分，求得分数ξ的分布列．
解：ξ＝3,2,1,0，－1，－2，－3.
ξ＝3表示取出的3个球全是红球，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,11))＝eq \f(1,165).
ξ＝2表示取出的3个球中，两个红球，一个黑球，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,5),C\\al(3,11))＝eq \f(1,11).
ξ＝1表示取出的3个球中，一个红球，两个黑球；或者两个红球，一个白球，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,5)＋C\\al(2,3)C\\al(1,3),C\\al(3,11))＝eq \f(13,55).
ξ＝0表示取出的3个球中，三个都是黑球；或者一白、一红、一黑，P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,5)＋C\\al(1,3)C\\al(1,3)C\\al(1,5),C\\al(3,11))＝eq \f(1,3).
ξ＝－1表示取出的3个球中，一个白球、两个黑球；或者两个白球，一个红球，P(ξ＝－1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,5)＋C\\al(2,3)C\\al(1,3),C\\al(3,11))＝eq \f(13,55).
ξ＝－2表示取出的3个球中，两个白球，一个黑球，
P(ξ＝－2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,5),C\\al(3,11))＝eq \f(1,11).
ξ＝－3，表示取出的3个球全是白球，
P(ξ＝－3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,11))＝eq \f(1,165).
∴ξ的分布列为
4.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图：其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列．
解：(1)由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，
解得x＝0.018.
(2)分数在[80,90)，[90,100]的人数分别是50×0.018×10＝9(人)，50×0.006×10＝3(人)．
所以ξ的可能取值为0,1,2，其服从参数为N＝12，
M＝3，n＝2的超几何分布．
则P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(0,3)C\\al(2,9),C\\al(2,12))＝eq \f(36,66)＝eq \f(6,11)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,9),C\\al(2,12))＝eq \f(27,66)＝eq \f(9,22)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(0,9),C\\al(2,12))＝eq \f(3,66)＝eq \f(1,22).
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
x1
x2
x3
ξ
0
1
2
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
X
1
2
3
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
ξ
－3
－2
－1
0
1
2
3
P
eq \f(1,165)
eq \f(1,11)
eq \f(13,55)
eq \f(1,3)
eq \f(13,55)
eq \f(1,11)
eq \f(1,165)
ξ
0
1
2
P
eq \f(6,11)
eq \f(9,22)
eq \f(1,22)