课时跟踪检测（十七） 正态分布

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A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2
C．μ＝3，σ＝eq \r(2) D．μ＝－3，σ＝eq \r(2)
解析：选D 由正态密度函数表达式知μ＝－3，σ＝eq \r(2).
2．已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N(0，σ2)．若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
解析：选C ∵随机变量ξ服从正态分布ξ～N(0，σ2)，
∴正态曲线关于直线x＝0对称．
又P(ξ>2)＝0.023，
∴P(ξ<－2)＝0.023，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)
＝1－2×0.023＝0.954.
3．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(1,2)))，则该随机变量的方差等于( )
A．10 B．100
C.eq \f(2,π) D.eq \r(\f(2,π))
解析：选C 由正态分布密度曲线上的最高点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(1,2)))知eq \f(1,\r(2π)·σ)＝eq \f(1,2)，
∴D(X)＝σ2＝eq \f(2,π).
4．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )
A．(90,100] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
解析：选C ∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5，又eq \f(57,60)＝0.95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(1005．[多选]对于标准正态分布N(0,1)的正态密度函数f(x)＝eq \f(1,\r(2π))·e－eq \f(x2,2)，下列说法正确的是( )
A．f(x)为偶函数
B．f(x)的最大值是eq \f(1,\r(2π))
C．f(x)在x>0时是单调递减函数，在x≤0时是单调递增函数
D．f(x)关于x＝1对称
解析：选ABC 由题意知f(x)关于x＝0，对称，∴f(x)为偶函数，当x＝0时，f(x)取最大值eq \f(1,\r(2π))，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故选A、B、C.
6．在某项测量中，测量结果X服从正态分布X～N(1，σ2)(σ>0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________．
解析：∵X～N(1，σ2)，且P(0答案：0.8
7.如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________，________，________.
解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．
答案：① ② ③
8．设ξ～N(2,1)，则P(1<ξ≤3)＝________；P(3<ξ≤4)＝________.
解析：∵ξ～N(2,1)，∴μ＝2，σ＝1.
所以P(1<ξ≤3)＝p(2－1<ξ≤2＋1)
＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 7.
∵P(3<ξ≤4)＝P(0<ξ≤1)
＝eq \f([P0<ξ≤4－P1<ξ≤3],2)
＝eq \f(1,2)[P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ<μ＋σ)]
＝eq \f(1,2)(0.954 5－0.682 7)
＝0.135 9.
答案：0.682 7 0.135 9
9．在一次测试中，测试结果X服从正态分布X～N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：
(1)X在(0,4)内取值的概率；
(2)P(X>4)．
解：(1)由X～N(2，σ2)，
对称轴x＝2，画出示意图，
因为P(0所以P(0(2)P(X>4)＝eq \f(1,2)[1－P(010．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布X～N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
解：(1)∵X～N(20,4)，
∴μ＝20，σ＝2，
∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在14～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在16～24 mm间的零件所占的百分比大约是95.45%.
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是eq \f(99.73%－95.45%,2)＝2.14%.
因此尺寸在24～26 mm间的零件大约5 000×2.14%≈107(个)．
∴这批零件中不合格的零件大约有107个．
1．若随机变量X～N(1,22)，则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)X))等于( )
A．4 B．2
C.eq \f(1,2) D．1
解析：选D 因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)X))＝eq \f(1,4)D(X)＝1.
2．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.954 5.)
A．0.045 6 B．0.135 9
C．0.271 8 D．0.317 4
解析：选B 由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 7，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 5，故P(3＜ξ＜6)＝eq \f(P－6＜ξ＜6－P－3＜ξ＜3,2)＝eq \f(0.954 5－0.682 7,2)＝0.135 9.
3．[多选]已知正态分布X～N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)·eeq \f(－x－μ2,2σ2)，x∈R的图象．下列命题正确的是( )
A．对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立
B．如果随机变量X服从X～N(μ，σ2)，且F(x)＝P(XC．如果随机变量X服从X～N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100
D．随机变量X服从X～N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq \f(1,2)，P(X>2)＝p，则P(0解析：选ABD 如果随机变量X～N(108,100)，所以μ＝108，σ2＝100，即σ＝10，故C错，画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如图所示．
由图可得，图象关于x＝μ对称，故A正确，随x的增加F(x)＝P(X4．如图，已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X解析：因为eq \f(a＋4－a,2)＝2，所以正态分布密度曲线图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X答案：0.36
5．某学校的功能室统一使用某品牌的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布ξ～N(μ，σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.
(1)求这种灯管的平均使用寿命；
(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少两支灯管需要更换的概率．
解：(1)因为ξ～N(μ，σ2)，P(ξ≥12)＝0.8，P(ξ≥24)＝0.2，
所以P(ξ<12)＝0.2，显然P(ξ<12)＝P(ξ≥24)，
由正态分布密度函数的对称性可知，μ＝eq \f(12＋24,2)＝18，
即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月．
(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为
1－0.8＝0.2，
假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则η～B(4,0.2)，
故至少两支灯管需要更换的概率
P＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－Ceq \\al(0,4)0.84－Ceq \\al(1,4)0.83×0.2＝0.180 8.
6．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数eq \x\t(x)和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq \x\t(x)，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．
附：eq \r(150)≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σP(μ－2σ解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数eq \x\t(x)和样本方差s2分别为eq \x\t(x)＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 7，依题意知X～B(100,0.682 7)，所以E(X)＝100×0.682 7＝68.27.