初中数学北师大版七年级下册2 探索直线平行的条件达标测试

2-2探索直线平行的条件同步课后作业题

1．已知图①～④，

在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①

2．如图，直线a，b，c被射线l和m所截，则下列关系正确的是（　　）

A．∠1与∠2是对顶角 B．∠1与∠3是同旁内角 

C．∠3与∠4是同位角 D．∠2与∠3是内错角

3．如图所示，不能推出AD∥BC的是（　　）

A．∠DAB+∠ABC＝180° B．∠2＝∠4 

C．∠1＝∠3 D．∠CBE＝∠DAE

4．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　）

A．B．C．D．

5．下列说法：

①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角；

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；  ③同位角相等；

④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；

其中正确的有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（　　）

A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20° 

B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160° 

C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20° 

D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°

7．如图，不添加辅助线，请写出一个能判定AD∥BC的条件 　   　．

8．如图，下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．能判定AB∥CD的条件为 　   　．

9．如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 　   　度．

10．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是　   　．

11．如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40°，则当∠2＝　   　°时，a∥b．

12．完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．

证明：∵AB⊥AC（已知），

∴∠　   　＝90° （ 　   　），

∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），

∴∠1+∠BAC+∠B＝　   　（ 　   　），

即∠　   　+∠B＝180°，

∴AD∥BC （ 　   　）．

13．如图，点C、D、E在同一条直线上，AD⊥BE于点F，BC⊥BE，∠A＝∠C．求证：AB∥CD．

14．如图，已知AC、BC分别是∠BAD、∠ABE的平分线，且∠1+∠2＝∠ACB．求证：AD∥BE．

15．如图，点C，F，E，B在同一直线上，点A，D分别在直线BC的两侧，且DF平分∠ADC，AE平分∠DAB，∠B＝∠C．求证：AE∥DF．

16．已知：如图所示，∠1＝∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，垂足分别为点F，E，求证：FG∥BC．

17．将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．

（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；

（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．

18．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）．

（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．

（2）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数及对应情况下的平行线（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．

19．如图，∠BED＝∠B+∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由．

20．小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．

（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是　   　；

    如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是　   　；

    如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是　   　；

（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明．我选图　   　来证明．

参考答案与试题解析

1．解：图①③中，∠1与∠2是同位角；

故选：C．

2．解：A、∠1与∠2不是对顶角，原说法错误，故此选项不符合题意；

B、∠1与∠3不是同旁内角，原说法错误，故此选项不符合题意；

C、∠3与∠4是同位角，原说法错误，故此选项不符合题意；

D、∠2与∠3不是内错角，原说法错误，故此选项不符合题意；

故选：C．

3．解：A、同旁内角互补，两直线平行，因而A正确；

B、∠2、∠4是AB与CD被AC所截得到的内错角，∠2＝∠4可以判定CD∥AB，而不能判定AD∥BC．

C、内错角相等，两直线平行，因而C正确；

D、同位角相等，两直线平行，因而D可以判定平行．

故选：B．

4．解：A、∠1+∠2＝180°，AB∥CD，不符合题意；

B、∠1＝∠2，AB∥CD，符合题意；

C、∠1＝∠2，得不出AB∥CD，不符合题意；

D、∠1＝∠2，得不出AB∥CD，不符合题意；

故选：B．

5．解：①两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，原说法错误，不符合题意；

②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；原说法错误，不符合题意；

③两直线平行，同位角相等；原说法错误，不符合题意；

④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；原说法正确，符合题意；

其中正确的有1个，

故选：B．

6．解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°，

∴∠ABE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，

∴AC∥DF，

故A不符合题意；

B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°，

∴∠CBE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，

∴AC∥DF，

故B不符合题意；

C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°，

∴∠DEM＝70°﹣20°＝50°＝∠ABE，

∴AC∥DF，

故C不符合题意；

D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°，

∴木条b和木条c重合，AC与DF不平行，

故D符合题意．

故选：D．

7．解：∵AD和BC被BE所截，

∴当∠EAD＝∠B时，AD∥BC，

或当∠DAC＝∠C时，AD∥BC，

或当∠DAB+∠B＝180°时，AD∥BC，

故答案为：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B＝180°．

8．解：①∠B+∠BCD＝180°，同旁内角互补，两直线平行，则能判定AB∥CD；

②∠1＝∠2，但∠1，∠2不是截AB、CD所得的内错角，所不能判定AB∥CD；

③∠3＝∠4，内错角相等，两直线平行，则能判定AB∥CD；

④∠B＝∠5，同位角相等，两直线平行，则能判定AB∥CD．

故能判定AB∥CD的条件为①③④．

故答案为：①③④．

9．解：若OD旋转到OD′时，则OD′∥AC．

∵OD′∥AC，

∴∠BOD′＝∠A＝70°．

∴∠DOD′＝∠BOD﹣∠BOD′＝75°﹣70°＝5°．

∴要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转5度．

故答案为：5．

10．解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行．

故答案为：同位角相等，两直线平行．

11．解：∵∠1＝40°，

∴∠3＝90°﹣40＝50°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠3＝50°，

故答案为50．

12．解：证明：∵AB⊥AC（已知），

∴∠BAC＝90° （垂直的定义），

∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），

∴∠1+∠BAC+∠B＝180°（等量关系），

即∠BAD+∠B＝180°，

∴AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行），

故答案为：BAC；垂直的定义；180°；等量关系；BAD；同旁内角互补，两直线平行．

13．证明：∵AD⊥BE，BC⊥BE，

∴AD∥BC，

∴∠ADE＝∠C，

∵∠A＝∠C，

∴∠ADE＝∠A，

∴AB∥CD．

14．证明：∵∠1+∠2＝∠ACB，∠1+∠2+∠ACB＝180°，

∴∠1+∠2＝×180°＝90°，

∵AC、BC分别是∠BAD、∠ABE的平分线，

∴∠1＝∠BAD，∠2＝∠ABE，

∴∠BAD+∠ABE＝2×（∠1+∠2）＝180°，

∴AD∥BE．

15．证明：如图，∵∠B＝∠C，∠AOB＝∠DOC,

∴∠OAB＝∠ODC，

又∵DF平分∠ADC，AE平分∠DAB，

∴∠FDO＝∠ODC，∠OAE＝∠OAB，

∴∠FDO＝∠OAE，

∴AE∥DF．

16．证明：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知），

∴ED∥FC（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），

∴∠1＝∠BCF（两直线平行，同位角相等），

∵∠1＝∠2，

∴∠2＝∠BCF（等量代换），

∴FG∥BC（内错角相等，两直线平行），

17．解：（1）AB与DF平行．理由如下：

由翻折，得∠DFC＝∠C．

又∵∠B＝∠C，

∴∠B＝∠DFC，

∴AB∥DF．

（2）连接GC，如图所示．

由翻折，得∠DGE＝∠ACB．

∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，

∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．

∵∠B＝∠ACB，

∴∠1+∠2＝2∠B．

18．解：（1）∠ACB+∠DCE＝180°；理由如下：

∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，

∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE＝90°+90°＝180°；

（2）存在，

当∠ACE＝30°时，AD∥BC，理由如下，如图1所示：

∵∠ACE＝∠DCB＝30°，∠D＝30°，

∴∠DCB＝∠D，

∴AD∥BC；

当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE，理由如下，如图2所示：

∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠B＝45°，

∴BE⊥CD，

又∵AC⊥CD，

∴AC∥BE；

当∠ACE＝120°时，AD∥CE，理由如下，如图3所示：

∵∠ACE＝120°，

∴∠DCE＝120°﹣90°＝30°，

又∵∠D＝30°，

∴∠DCE＝∠D，

∴AD∥CE；

当∠ACE＝135°时，BE∥CD，理由如下，如图4所示：

∵∠ACE＝135°，

∴∠DCE＝135°﹣90°＝45°，

∵∠E＝45°，

∴∠DCE＝∠E，

∴BE∥CD；

当∠ACE＝165°时，BE∥AD．理由如下：

延长AC交BE于F，如图5所示：

∵∠ACE＝165°，

∴∠ECF＝15°，

∵∠E＝45°，

∴∠CFB＝∠ECF+∠E＝60°，

∵∠A＝60°，

∴∠A＝∠CFB，

∴BE∥AD．

19．解：延长BE交CD于F．

∵∠BED＝∠B+∠D，

∠BED＝∠EFD+∠D，

∴∠B＝∠EFD，

∴AB∥CD．

解法二：如图，过点E作∠BEF＝∠B（EF在∠BED内），

所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行），

因为∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D（已知），∠BEF＝∠B（已作），

所以∠FED＝∠D，所以CD∥EF（内错角相等，两直线平行）

所以AB∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行）．

20．解：（1）①BD∥FM；

②BD⊥FM；

③BD⊥FM；

（2）选择①证明：

∵∠A＝90°，ME⊥BC，

∴∠A＝∠CEM，

∴∠CME＝∠ABC，

∴∠ABC+∠AME＝180°（三角形的内角和等于180°），

∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，

∴∠AMF+∠ABD＝90°，

∴∠AFM＝∠ABD，

∴BD∥FM（同位角相等，两直线平行）．