【备考2023】高考数学二轮专题总复习精讲精练（全国通用）——专题5-1 均值不等式及其应用归类 学案（原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25293" 讲高考 PAGEREF _Tc25293 \h 1
\l "_Tc7427" 题型全归纳 PAGEREF _Tc7427 \h 2
\l "_Tc2688" 【题型一】公式应用及限制条件 PAGEREF _Tc2688 \h 2
\l "_Tc3293" 【题型二】构造“公式型” PAGEREF _Tc3293 \h 3
\l "_Tc1973" 【题型三】“1”的代换 PAGEREF _Tc1973 \h 4
\l "_Tc10771" 【题型四】“积”与“和”混合型 PAGEREF _Tc10771 \h 4
\l "_Tc59" 【题型五】构造分母代换型 PAGEREF _Tc59 \h 5
\l "_Tc9261" 【题型七】分离常数消去型 PAGEREF _Tc9261 \h 5
\l "_Tc27270" 【题型八】消去型 PAGEREF _Tc27270 \h 6
\l "_Tc20636" 【题型九】多次均值 PAGEREF _Tc20636 \h 6
\l "_Tc17387" 【题型十】多元均值 PAGEREF _Tc17387 \h 7
\l "_Tc18042" 【题型十一】权方和不等式 PAGEREF _Tc18042 \h 7
\l "_Tc459" 【题型十二】万能“k”法 PAGEREF _Tc459 \h 8
\l "_Tc15758" 【题型十三】整体换元 PAGEREF _Tc15758 \h 8
\l "_Tc23826" 【题型十四】均值应用：恒成立 PAGEREF _Tc23826 \h 9
\l "_Tc29260" 练题训练 PAGEREF _Tc29260 \h 9
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
4．（陕西·高考真题）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A．B．C．D．
题型全归纳
综述
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)；
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2eq \r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，常用于求积的最大值；
2．常用不等式：
(1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
(2)重要不等式链：eq \r(,eq \f(a2＋b2,2))≥ eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)；
【题型一】公式应用及限制条件
【讲题型】
例题1.下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2.若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【练题型】
1.下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若，且，则
2.给出下列条件：①；②；③，；④，.其中能使成立的条件有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【题型二】构造“公式型”
【讲题型】
例题1.若x>1，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题2.）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为
A．（－1，4]B．（0，4）C．（0，4]D．（1，4]
【练题型】
1.设，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
2.已知且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【题型三】“1”的代换
【讲题型】
例题1.已知，，，则的最小值是（ ）
A．2B．8C．4D．6
例题2.已知正实数、满足，则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【练题型】
1.若，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2.已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．}C．D．
【题型四】“积”与“和”混合型
【讲题型】
例题1.已知，，且满足，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
例题2.若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【练题型】
1.若，且，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
2.已知a，b是正实数，，则的最小值是 （ ）
A．B．C．D．
【题型五】构造分母代换型
【讲题型】
例题1.若正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
例题2.若正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【练题型】
1.若，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
2.已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【题型七】分离常数消去型
【讲题型】
例题1.已知，则的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
例题2.已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【练题型】
1.已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
2.已知，则的最小值为（ ）
A．3B．2
C．4D．1
【题型八】消去型
【讲题型】
例题1.已知点在椭圆上运动，则最小值是__________．
例题2.已知，且，则的最小值是（ ）
A.B.C.D.
【练题型】
1.已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2.已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3.已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型九】多次均值
【讲题型】
例题1.已知，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
例题2.已知，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【练题型】
1.设，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2.若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【题型十】多元均值
【讲题型】
例题1.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例题2.已知P是面积为1的△ABC内的一点（不含边界），若△PAB，△PAC，△PBC的面积分别为x，y，z，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．3
【练题型】
1.若a，b，c均为正实数，则三个数，，（ ）
A．都不大于2B．都不小于2
C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2
2.设为中的三边长，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【题型十一】权方和不等式
【讲题型】
例题1.若正数满足，则的最大值为（ ）
A．2/5B．4/9C．1/2D．4/7
例题2.已知为正数，且，则的最大值为 ．
【练题型】
1.已知实数m,n∈(0,+∞)且m+n=1，则43m+n+1m+3n的最小值为__________．
2.已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【题型十二】万能“k”法
【讲题型】
例题1..已知正数满足，则的最大值为__________．
例题2.已知，，，则的最小值为
A．B．C．D．4
【练题型】
1.已知，若，则的最小值是（ ）
A.B.C.D.
2.已知x+y=1x+4y+8（x,y>0），则x+y的最小值为（ ）
A．53 B．9 C．4+26 D．10
【题型十三】整体换元
【讲题型】
例题1.若a,b∈R，且a2+2ab-3b2=1，则a2+b2的最小值为_____
例题2.若实数、、，且，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
【练题型】
1.已知，且，则的取值范围是
A．B．C．D．
2.已知正实数，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型十四】均值应用：恒成立
【讲题型】
例题1.已知，，且，若恒成立，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例题2.正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数______.（填一个满足条件的值即可）
【练题型】
1.数列中，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.
2.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．已知，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．10
2．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知x，y为正实数，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．8D．16
4．若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．6C．3D．12
5．已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
6．设，且，则（ ）
A．有最小值为B．有最小值为
C．有最大值为D．有最大值为
7．若，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
9．在下列函数中，最小值是的函数有（ ）
A．B．
C．D．
10．若a，b均为正数，且满足，则（ ）
A．的最大值为2B．的最小值为4
C．的最小值是6D．的最小值为
11．设正数满足，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最大值为；
B．函数的最小值为2；
C．已知，则的最小值为3；
D．若正数满足，则的最小值是3
三、填空题
13．若三个正数满足，则的最小值为______.
14．若实数满足，，则的最大值为______．
15．已知，，是正实数，且，则最小值为__________.
16．已知正数满足，则的最小值是_________．
【讲技巧】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【讲技巧】
1.形如求型，
2.形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：
【讲技巧】
权方和不等式：设证明：