【备考2023】高考数学二轮专题总复习精讲精练（全国通用）——专题7-1 立体几何压轴小题：截面与球 学案（原卷版+解析版）

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 专题7-1 立体几何压轴小题；截面与球
目录
讲高考 1
题型全归纳 7
【题型一】截面最值 7
【题型二】球截面 10
【题型三】截面综合难题 13
【题型四】线面垂直型求外接球 17
【题型五】特殊三角形定球心型 20
【题型六】定义法列方程计算型求球心 22
【题型七】内切球 25
【题型八】棱切球型最值 30
【题型九】内切球与外切球一体综合 31
【题型十】球综合 35
专题训练 39

讲高考

1．江西·高考真题）如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与、分别截于、.如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别为，，则必有（    ）

A． B． C． D．的大小不能确定
【答案】C
【分析】连接、、、，，，表示出、，即可得到与的关系.
【详解】解：连接、、、，，，

则，，
又，
而以上等式右边的每个三（四）棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，又面公共，
故，即.
故选：C．
2．（2022·全国·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A
【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
【详解】解：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，
则，，

设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A.

选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；

对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；

故选：A.

3．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．


4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,

[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是

5．（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，

设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
6．（2020·全国·统考高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A

【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
题型全归纳

【题型一】截面最值
【讲题型】
例题1..正方体为棱长为2，动点，分别在棱，上，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，，下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号）

①当时，为矩形，其面积最大为4；②当时，的面积为；③当，时，设与棱的交点为，则；④当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值．
【答案】②③④
【分析】由题意可知当，变化时，为不同的图形，故可根据题意逐一判断即可．
【详解】解：

当时，点与点重合，，此时为矩形，当点与点重合时，的面积最大，．故①错误；

当，时，为的中位线，，，，为等腰梯形的面积，
过作于，，，，，，，故②正确；

由图可设与交于点，可得，，
，则，，故③正确；

当时，以为定点，为底面的棱锥为，，故④正确；
故答案为：②③④．
【讲技巧】
求截面方法：
1. 平行线法：
（1）利用两条平行线确定一个平面，
（2）一个平面与两个平行平面相交，交线平行

2. 相交线法：
（1） 两条相交直线确定一个平面
（2） 若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内

【练题型】
1.如图，长方体中，AB=BC=4，，M是线段的中点，点N在线段上，MNBD，则长方体被平面AMN所截得的截面面积为___________.

【答案】
【分析】先判断出截面是五边形AEMNF，再求出相关边长，通过计算面积即可.
【详解】
如图，M是线段的中点，点N在线段上，MNBD，所以N为的中点.延长交直线MN于点P，连接AP交于点E；延长交直线MN于点Q，
连接AQ交于点F.则PM=MN，NQ=MN.于是易得E､F分别为､的三等分点，因此截面为五边形AEMNF，
，，，，
过作于，交于，由，可得，故.
故答案为：.
2.如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，当平面α经过BCNM时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；根据正四棱台的高及MN中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积．
【详解】当斜面α经过点时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8
此时作正四棱台俯视图如下：

则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5
因为正四棱台的高为5，所以截面等腰梯形的高为
所以截面面积的最大值为
所以选B

【题型二】球截面
【讲题型】
例题1.在三棱锥A－BCD中，，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ）
A．π B． C． D．2π
【答案】C
【分析】作出图形，辅助线，找到球心位置，求出半径，设CF＝x，则，所以，表达出三棱锥E－ACF的体积，得到当时，V取得最大值，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，求出截面面积的最小值
【详解】如图，取AC的中点O，连接OF，OB，

因为∠ADC＝∠ABC＝90°，所以，即O为球心，
则球O的半径R＝2．又AB＝BC，所以OB⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面ABC，
所以OB⊥平面ACD．
设CF＝x，则，所以，
所以三棱锥E－ACF的体积
，
当时，V取得最大值．由于OA＝OB＝OC＝OD，
在△COF中，由余弦定理得：
，
根据球的性质可知，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，
设此时截面圆的半径为r，所以，
则截面面积的最小值为．故选：C．
【讲技巧】
用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面不经过球心，所得的截面称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。
【练题型】
1.已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.
【答案】
【分析】两个球相交形成的截面图形为圆面，根据几何形质求出截面圆的半径即可.
【详解】设外接球半径为，外接球球心到底面的距离为，
则，所以，两球相交形成形成的图形为圆，
如图，在中，，，在中，，
所以交线所在圆的半径为，所以交线长度为.故答案为：
2.在正四棱锥中，已知，为底面的中心，以点为球心作一半径为的球，则平面截该球的截面面积为________．
【答案】83π##8π3
【分析】取中点，连接，作，根据线面垂直的判定与性质可证得平面，由球的性质可确定为所求截面圆的圆心，设为该截面圆与的一个交点，利用勾股定理和面积桥的方式可求得，即截面圆的半径，由此可得所求面积.
【详解】由正棱锥性质知：平面，
取中点，连接，作，垂足为，

平面，平面，，
分别为中点，，又，，
平面，，平面，又平面，
，又，平面，，
平面，则由球的性质可知：为平面截球所得截面圆的圆心，
设为该截面圆与的一个交点，连接，
，，，，
，又，；
，，即截面圆的半径，
截面圆的面积.故答案为：.

【题型三】截面综合难题
【讲题型】
例题1.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断为的重心，再利用重心得到，求出，进而得到，借助基本不等式求出最小值即可.
【详解】
过作平面的垂线，垂足为，连，设的交点为，在中过作直线交于两点，由相交直线确定平面，则四边形为过的截面.由计算可得，得为正三角形，，所以为的重心，设，由向量运算可得，又，可得，所以，由三点共线，得，即，易得到平面的距离为，到平面的距离为1，因为，所以，，得，，由，，得，当且仅当取等号，所以，即的最小值为.
故选：A.
【练题型】
1.在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法错误的是（       ）
A．若，则
B．若，则
C．可能值为
D．当取值最大时，
【答案】C
【分析】对选项A，先找到二面角的平面角，再根据边角关系证明与全等，然后根据直线垂直并平分线段即可判断；对选项B，找到角的关系和，然后分别运用正切的两角差公式解得即可；对选项C和D，均是先根据运用正切的两角差公式，然后通过换元得到一个一元二次方程，然后根据判别式即可判断.
【详解】
如图所示，连接延长交与，连接延长交与，设平面平面
顶点P在底面的射影为的垂心，平面，平面平面。则有：直线与平行
又，则。平面，则
又
则平面
从而
故为与平面的二面角，即
同理可得：
对选项A，，又，则有：
可得：与全等，则
又根据是的垂心，则，
综上可得：直线垂直并平分线段
可得：，故选项A正确；
对选项B，易知有如下角关系：


又，则有：



可得：
解得：
则，故选项B正确；
对选项C，若，则有：
则有：
化简后可得：
令，则有：
则有：，此时方程无解，故选项C错误；
对选项D，设（），则有：
可化简为：
令，则有：
则有：
解得：
故取得最大值时，，此时
同理可得：
故，且
则有：，故选项D正确；
故选：C
2.如图，是边长为6的正三角形的一条中位线，将△沿直线翻折至△，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为______；过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是______.

【答案】         
【分析】由题意，当面面时三棱锥的体积最大，即可确定△的外接圆圆心，四边形的外接圆圆心，再确定四棱锥的外接球球心，外接球的半径，求外接球的表面积；以为直径的球的截面圆的面积最小，求截面圆面积的最小值
【详解】由题可知，当面面时，三棱锥的体积最大，
取的中点，连接，易知△的外接圆圆心位于且靠近点的三等分点处，
设的中点为，连接，，则，
可知为四边形的外接圆圆心，过作平面的垂线，
过作平面的垂线，两垂线的交点即四棱锥的外接球球心.
连接，易得四边形为矩形，，连接，
在中，，
∴四棱锥外接球的表面积为.
由题可得，以为直径的球的截面圆的面积最小，最小值为.


故答案为：，.
【题型四】线面垂直型求外接球
【讲题型】
例题1.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，若球O的表面积为16π，则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（    ）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，从而求出三角形ABC的外接圆半径，三棱锥底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S－ABC的体积取得最大值，求出三角形ABC为等边三角形时，三角形ABC面积最大，求出面积的最大值，进而求出体积的最大值.
【详解】设球的半径为R，则，解得：，
设三角形ABC的外接圆半径为r，则，
即，解得：，
当三棱锥底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S－ABC的体积取得最大值，
如图所示：
要想面积最大，当A位于BC垂直平分线与圆的交点（BC与A点位于圆心两侧）时，此时三角形ABC为等腰三角形时，面积最大，
连接BO并延长，交圆于点D，连接CD，则，BC⊥BC，
设，则，，，
则，
令，则，
当，即时，，当，
即时，，
即在单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
，
则三棱锥S－ABC的体积的最大值为

故选：A
【讲技巧】
线面垂直型：
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式

【练题型】
1.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，若球O的表面积为16π，则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（    ）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，从而求出三角形ABC的外接圆半径，三棱锥底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S－ABC的体积取得最大值，求出三角形ABC为等边三角形时，三角形ABC面积最大，求出面积的最大值，进而求出体积的最大值.
【详解】设球的半径为R，则，解得：，
设三角形ABC的外接圆半径为r，则，
即，解得：，
当三棱锥底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S－ABC的体积取得最大值，
如图所示：
要想面积最大，当A位于BC垂直平分线与圆的交点（BC与A点位于圆心两侧）时，此时三角形ABC为等腰三角形时，面积最大，
连接BO并延长，交圆于点D，连接CD，则，BC⊥BC，
设，则，，，
则，
令，则，
当，即时，，当，
即时，，
即在单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
，
则三棱锥S－ABC的体积的最大值为

故选：A
2.已知四点均在半径为（为常数）的球的球面上运动，且，，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意要使四面体的体积最大，则在底面的投影恰好为底面三角形外接圆的圆心，则外接球的球心在上，求出三棱锥的体积，由均值不等式可得的值，进而求出外接球的表面积．
【详解】
因为，作于，
则为的中点，且，
若四面体的体积的最大值时，则面，则外接球的球心在上，设为，
设外接球的半径为，连接，则，

当且仅当，即时取等号，
因为三棱锥的最大体积为，所以，可得，
所以外接球的表面积为，故选：C．

【题型五】特殊三角形定球心型
【讲题型】
例题1.已知三棱锥底面是边长为的等边三角形，顶点与边中点的连线垂直于底面，且，则三棱锥的外接球半径为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找到球心的位置，求出各边长，设出，利用半径相等列出方程，求出半径.
【详解】连接，取靠近点的三等分点，则为等边三角形的外心，
过点E作，则点O即为三棱锥的外接球球心，连接OS，OC，
过点O作交SD于点F，则，
因为底面是边长为的等边三角形，所以，，
设，则，设外接球半径为，则，，
故，解得：，
所以，故.故选：D
【讲技巧】
当几何体表面图形为特殊图形时，则过该表面的外接圆圆心做表现所在平面的垂线，该垂线必过球心
【练题型】
1.在三棱锥中，，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据两个射影，结合球的图形，可知二面角的平面角为；根据题意可知当，时，三棱锥的体积最大．根据体积的最大值可求得BC的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积．
【详解】如图，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，
则二面角的平面角为，
点在截面圆上运动，点在截面圆上运动，
由图知，当，时，三棱锥的体积最大，此时与是等边三角形，
设，则，，，，
解得，所以，，，设，则，
解得，∴，球的半径，
所求外接球的表面积为，故选B.
2..在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件求得与的外接圆的半径为2，是等边三角形，由此作出过平面的截面，先在中求出，再利用勾股定理求得，从而求得三棱锥的外接球的表面积.
【详解】取中点，连接，如图，
因为，所以，
所以在中，，，，
所以，
设外接圆圆心为，半径为，则，即；
同理可得：，的外接圆半径也为2，
因为，所以是等边三角形，
则，即二面角为，
球心在平面上，过平面的截面如图所示，则，
所以在中，，
所以，即，
所以外接球的表面积．
故选：D.


【题型六】定义法列方程计算型求球心
【讲题型】
例题1.在空间直角坐标系O-xyz中，四面体ABCD各顶点坐标分别为，，，.则该四面体外接球的表面积是___________.
【答案】##
【分析】根据题意，画出图形，作出辅助线，找到球心，利用半径列出方程，求出半径，进而去除四面体外接球的表面积.
【详解】如图所示，设长方体底面四边形为正方形，边长为2，高为3，
根据图形得到为直角三角形，AC⊥CD，
所以四面体外接球的球心在平面ADC上的投影为斜边AD的中点M，
其中，
设外接球球心为N，则MN⊥平面ADC，
过点B作BH⊥平面ADC，垂足为H，则HMx轴，且HM=1
过点N作NFHM，交BH于点F，则NF=HM=1，
设外接球半径为r，连接NB，NA，则NB=NA=r，
设MN=x，则HF=x，所以BF=3-x，
由勾股定理得：，，
所以，解得：，
所以，
所以该四面体外接球的表面积为

故答案为：
【讲技巧】
利用球的定义：球面上一点到球心的距离相等，是球的半径。可以列方程计算求解。在列方程时，尽量和线面垂直型求法配合使用

【练题型】
1.如图所示几何体ABCDEF，底面ABCD为矩形，，，△ADE与△BCF是等边三角形，，，则该几何体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】找到球心及球心在平面ABCD上的投影，根据题干信息得到各边长，设出，利用半径列出方程，求出，进而求出半径，外接球表面积.
【详解】连接AC，BD交于点O，过O点作平面ABCD，交EF与M.

因为四边形ABCD为长方形，所以外接球的球心在OM直线上，设为外接球的球心，
取AD，BC的中点分别为G，H，连接EG，FH，
因为，，可得，
因为，为等边三角形，所以，
因为，，所以平面EFHG，
因为，所以，，
所以，，因为，所以EF到平面ABCD的距离为，
设，则，
所以，，所以，
即，解得:，
所以，
所以.
2.直角中，，，D是斜边AC上的一动点，沿BD将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作，，，，设，则有，从而求解即可.
【详解】
作，，，，
设，，，．
在中，，在中，，
．
当时最小．
设，的外接圆半径分别为，
∴，∴
，．
∴
∴.
故选:B．
【题型七】内切球
【讲题型】
例题1.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为（    ）
A．3 B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到的最大值．
【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球
设球心为，球的半径为，下底面半径为，轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：则，因为，
故可得：；
所以为等边三角形，故是的中心，
连接，则平分，
所以；
所以，即，
即四面体的外接球的半径为．

另正四面体可以从正方体中截得，如图：
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，
而正四面体的四个顶点都在正方体上，
故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以，所以．即的最大值为．故选：B．
【讲技巧】
椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解
一、 三角形内切圆

二、 类比：三棱锥


【练题型】
1.在四棱锥中，，且，，若该四棱锥存在半径为1的内切球，则_______.
【答案】##
【分析】如图,截取一个正四棱锥，结合已知得到，同时可证得平面，设，四棱锥的体积可转化为，因为四棱锥存在半径为1的内切球，可得，联立得到的关系式，化简计算即可.
【详解】如图，，且，
可以在四棱锥上截取一个正四棱锥，
此时四边形为正方形，且边长为，
，
，，
设，
，且，
，，O为BD中点，
，，
又，平面，
，，，
又因为四棱锥存在半径为1的内切球，


，
即，
即，
，解得，
因为四棱锥存在半径为1的内切球，直径为2，，
而，故，
故答案为：

2.有一个棱长为6的正四面体，其中有一半径为的球自由运动，正四面体内未被球扫过的体积为
【答案】
【分析】先考虑球运动到四个顶点位置时，由棱锥的体积减去球的体积求出此部分的体积；再考虑球沿着方向运动且始终与二面角相切时，得到未被球扫过空间均为相同的柱体，求出柱体的体积，即可求得正四面体内未被球扫过的体积.
【详解】
如图设正四面体，当球运动到与平面、平面、平面相切时，可得此时球无法继续向上运动，
设切点分别为，则此时球面与正四面体顶点之间的部分球无法扫过，同理可得正四面体顶点均有相同的空间未被球扫过，
作与平面平行且与此时球相切的平面，易得棱锥为正四面体，设棱长为，作平面于，
则经过球心，易得，则，
则正四面体的体积，表面积，
设球半径为，则，即，解得，作，易得为中点，则，
设4个顶点处未被球扫过空间的体积为，球的体积为，可得；
当球沿着方向运动且始终与二面角相切时，设球与平面、平面的切点始终为，
过的大圆与交于，由垂径定理知，又，易得，则即为二面角的平面角，
易得未被球扫过的部分为柱体，且柱体的底面为扇形与四边形之间的部分，设中点为，连接，
易得，则即为二面角的平面角，又，
由余弦定理得，则，则，
则，，则，设扇形与四边形之间部分面积为，
扇形面积为，,则，
由上知，又，则柱体的高为，正四面体的六条棱未被球扫过空间均为相同的柱体，
设这部分体积为，则，则正四面体内未被球扫过的体积为.
故答案为：.
【题型八】棱切球型最值
【讲题型】
例题1.已知球与棱长为4的正方形的所有棱都相切，点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为球与正方体的每条棱都相切，故其直径为面对角线长，所以半径为，如图，球心为正方体的中心，球心与的外接圆上的点的距离为，其长为体对角线的一半，故，故，也就是，选C.

【练题型】
1.已知正三棱锥，球O与三棱锥的所有棱相切，则球O的表面积为_________．
【答案】##
【分析】画出图形，找到棱切球的球心，列出方程，求出半径，求出表面积
【详解】取等边△ABC的中心E，连接SE，则SE⊥平面ABC，
连接AE并延长，交BC于点D，则D为BC中点，且AD⊥BC，
在SE上找到棱切球的球心O，连接OD，则OD即为棱切球的半径，
过点O作OF⊥SA于点F，则OF也是棱切球的半径，设，
因为，所以求得，
由勾股定理得：，且∠ASE=30°，设OE=h，
，SO=3-h，，
由题意得：，解得：或，
当时，，此时球O的表面积为；
当棱切球的半径最大时，切点为A，B，C，由于∠ASE=30°，，
可求得最大半径，
而当时，，
显然不成立，故舍去，
综上：球O的表面积为

故答案为：
2.点是棱长为的正方体的棱切球上的一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（_____）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求得正方体的棱切球与外接球半径，点在棱切球上，点在外接球上某个小圆上动，从而线段的最大值与最小值为两个球半径和与差．
【详解】因为棱长为2的正方体的体对角线为其外接球直径，而面对角线为其棱切球的直径，且正方体的棱切球与外接球球心重合，
所以正方体外接球和棱切球的半径分别为和，
因为的外接圆是正方体外接球的一个小圆，点在棱切球上运动，点在外接球上某个小圆上动，
所以，即.
故选：D.
【题型九】内切球与外切球一体综合
【讲题型】
例题1.已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】采用补形法得正方体，作出图形，找出内切球，外接球球心，由几何关系知：两点间距离的最小值为，易求外接圆半径，结合等体积法可求出内切圆半径和，进而得解.
【详解】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示.
设三棱锥内切球球心为，外接球球心为，内切球与平面的切点为，
易知：三点均在上，且平面，
设内切球的半径为，外接球的半径为，则.

由等体积法：，得，
由等体积法：，得，
将几何体沿截面切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最大截面，

∴两点间距离的最小值为.
故选：B.
【练题型】
1.底边和腰长之比为的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为______.
【答案】
【分析】画出符合题意的四面体，由其特征将其补形为长方体，分别计算外接球与内切球表面积可得答案.
【详解】如图，设四面体为“黄金四面体”，
且，
得，
又因四个面都为“黄金三角形”，则.
注意到四面体对棱相等，则将其补形为如图所示长方体，则该长方体外接球与该四面体外接球重合.
设，
则长方体外接球半径为长方体体对角线长度的一半，有，又注意到：，
得，又，得.
注意到，
，则.
又在中，，取中点为E，则，故，
又由前面分析可知四面体的四个面全等，则四面体的表面积.
设四面体的内切球半径为，则，得.
注意到，则，又，得，又，
则.则“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为：
代入，得比值为：.
故答案为：

2.如图，四边形为平行四边形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_____．

【答案】
【分析】过A作于E，交CD于F，连，利用余弦定理、面积定理求出点到平面的距离，再借助锥体体积求出内切球半径，结合该锥体的结构特征求出外接球半径作答.
【详解】过A作于E，交CD于F，连，如图，

在中，由余弦定理得：，，
，，
，，，
因，则三棱锥的4个表面三角形全等，在中，，
，
在中，，，
因，，平面，则平面，而平面，
于是得平面平面，在平面内过作于，又平面平面，
因此，平面，，
设三棱锥的内切球半径为，则，解得，
因是锐角三角形，则三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心在内，
半径，则，解得，令三棱锥的外接球球心为O，
显然，球O截三棱锥的4个表面三角形所得截面圆圆心均在相应三角形内，
因球心O与各个三角形的外心连线均垂直于相应的三角形所在平面，且这些三角形的外接圆半径均为，
因此，球心O到各个三角形所在平面距离都相等，且球心O在三棱锥内，必为三棱锥内切球球心，
令三棱锥的外接球半径为，则，
所以三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为.
故答案为：
【题型十】球综合
【讲题型】
例题1.如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是__．

【答案】
【分析】先由余弦定理求出，从而得到，确定BC的中点E为三棱锥的外接球球心在平面的投影，再证明出为AD的中点，N为的中点，即EN⊥平面ABCD，故球心在线段EN上，从而确定当点与点N重合时，三棱锥的外接球半径最小，点P与或重合，此时最长，故三棱锥的外接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围.
【详解】因为，由余弦定理得：
，
因为，由勾股定理逆定理得：，
直四棱柱中，底面为平行四边形，
故⊥CD，
点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故BC为直径，
取BC的中点E，则E为三棱锥的外接球球心在平面的投影，
设与AD相交于点M，与相交于点N，连接EM，ED，
则EM=ED
因为，故，，
故三角形DEM为等边三角形，，
即为AD的中点，同理可得：N为的中点，
连接EN，则EN⊥平面ABCD，故球心在线段EN上，
显然，当点与点N重合时，三棱锥的外接球半径最小，
假如点P与或重合，此时最长，故三棱锥的外接球半径最大，
如图1，点P与点N重合，连接OC，设，则OE=2-R，，
由勾股定理得：，即，解得：，

此时外接球表面积为；
如图2，当点P与或重合时，连接，
其中，
设，则，
由勾股定理得：，，
故，解得：，
此时外接球半径为，故外接球表面积为，
但因为点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，
综上：的取值范围是.故答案为：
【练题型】
1.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点P，Q分别在半圆弧C1C，A1A(均不含端点)上，且C1，P，Q，C在球O上，则（    ）

A．当点Q在弧A1A的三等分点处，球O的表面积为
B．当点P在弧C1C的中点处，过C1，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形
C．球O的表面积的取值范围为(4π，8π)
D．当点P在弧C1C的中点处，三棱锥C1—PQC的体积为定值
【答案】D
【分析】取中点，中点，中点，根据球的性质，容易知道球心O在线段EF上，设出OE的长度和∠FGQ，算出FQ的长度，利用OC1=OQ，即可判断A,B；
作出过C1，P,Q三点的截面即可判断C；
利用即可求出体积，进而判断D.
【详解】如图1，取中点，中点，中点，由题意，球心在线段上，设，在中，由余项定理，设，

则，∴，
设外接球半径为R，∵，∴，
∴，∴，∴球的表面积，C错误；
当点Q在的三等分点处，，则，，∴∴球的表面积，A错误；
对B，如图2，取中点，当在上时，连接AF，在平面ADD1A1上过点Q作AF的平行线，与线段，AD分别交于M,N，延长C1P与BC交于R，连接RN交AB于S，此时截面为，B错误；
对D,当点P位于的中点处，三棱锥的体积为定值，D正确.
故选：D.
2.三棱锥中，，底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，且，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为___________.
【答案】##
【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解；
【详解】为边长为2的等边三角形，
为正三棱锥，
，又分别为中点，
，
，又
平面平面，
为正方体一部分，
故，即，
∵为三棱锥外接球上的动点，
∴当位于正方体的如图所示的顶点处，点到平面距离最大，设为，
∴可求得三棱锥的体积为：，
∴，
解得：

故答案为：





一、单选题
1．已知正四棱台上下底面边长之比为，半径为的球与棱台各面都相切，则棱台体积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正方形的边长为，则正方形的边长为，分别取、、、的中点、、、，连接、、、，可求球心在平面内，根据梯形的几何性质可得出关于的等式，解出的值，再利用台体的体积公式可求得结果.
【详解】分别取、、、的中点、、、，连接、、、，

设正四棱台的内切球球分别切平面、、、于点、、、，
易知四边形为等腰梯形，、分别为、的中点，
且，，，，，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，且有，，
由切线长定理可得，
分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，
由等腰梯形的几何性质可得，，，
所以，，所以，，
在平面内，因为，，，故，
所以，四边形为矩形，且，，
所以，，
由勾股定理可得，即，解得，
因此，该正四棱台的体积为.
故选：A.
2．正三棱锥底面边长为，侧棱与底面所成角为，过底面一边作一截面使其与底面成的二面角，则此截面面积为（）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】在正三棱锥中，取的中点，连接，设点在底面内的射影为点，在直线上取一点，使得二面角的大小为，利用线面角的定义可得出，利用二面角的定义可得出，求出的长，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】解：在正三棱锥中，取的中点，连接，
设点在底面内的射影为点，
在直线上取一点，使得二面角的大小为，

因为平面，所以，与底面所成的角为，
因为平面，平面，
所以，，
因为为的中点，且为等边三角形，则且，
因为，平面
所以，平面，
因为平面，
所以，，
所以，二面角的平面角为，故，
所以，
因此，.
故选：C.
3．如图，在三棱锥中，平面平面，，点M在上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据特设求出外接球的半径，再根据圆心到平面距离最大时，截面面积最小即可求解.
【详解】由题意知，和为等边三角形，如图所示，
取中点为E，连接，则，由平面平面，
平面平面，故平面，
，
球心O在平面的投影为的外心，
过O作于H，易得，
则在中，，
所以外接球半径，连接，
因为，
所以H，O，M三点共线，
所以，
当M为截面圆圆心时，截面圆的周长最小，

此时，截面圆半径，
所以截面圆周长的最小值为，
故选:D．
4．已知正四棱锥的外接球半径为，底面边长为.若垂直于过点的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据外接球的半径可得棱锥的高，进而可求正四棱锥的棱长，根据垂直于过点的平面可得截面，进而根据线面垂直可证明，根据相似求长度，进而根据面积公式即可求解.
【详解】设正四棱锥的高为，其外接球的半径为.因为，解得或.当时，，不符合题意；当时，，所以为等边三角形.取的中点，连接，则，且.设平面直线，平面直线，则.在中，由余弦定理可得，所以.由于所以，故，故，故.由于平面，平面，所以,又，,故,平面,平面,平面，所以,
在四边形中，，故.,
故选：A

5．在三棱锥A－BCD中，，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ）
A．π B． C． D．2π
【答案】C
【分析】作出图形，辅助线，找到球心位置，求出半径，设CF＝x，则，所以，表达出三棱锥E－ACF的体积，得到当时，V取得最大值，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，求出截面面积的最小值
【详解】如图，取AC的中点O，连接OF，OB，

因为∠ADC＝∠ABC＝90°，所以，即O为球心，
则球O的半径R＝2．又AB＝BC，所以OB⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面ABC，
所以OB⊥平面ACD．
设CF＝x，则，所以，
所以三棱锥E－ACF的体积
，
当时，V取得最大值．由于OA＝OB＝OC＝OD，
在△COF中，由余弦定理得：
，
根据球的性质可知，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，
设此时截面圆的半径为r，所以，
则截面面积的最小值为．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．
6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（　　）

A．2+2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意先作出截面，进而算出截面各边的长度，最后得到答案.
【详解】如图，在正三棱柱中，延长AF与CC1的延长线交于M，连接EM交B1C1于P，连接FP，则四边形AEPF为所求截面.

过E作EN平行于BC交CC1于N，则N为线段CC1的中点，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，
在中，，则，
在中，，则，
在中，，则，
在中，，
由余弦定理：，则，
所以截面周长为：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查几何体的截面问题，其中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质作出几何体的截面是问题的关键，平常注意方法的总结和归纳.
7．已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是（    ）

①点的轨迹长度为；
②线段的轨迹与平面的交线为圆弧；
③的最小值为；
④过、、作正方体的截面，则该截面的周长为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对于①，根据圆的定义得到轨迹，并且①中要注意点在平面上，而非正方形上；对于②，圆锥的斜截面与侧面的交线不是圆的一部分就可以判断；对于③，实质是要计算①中的圆心到直线的距离；对于④，要先作出截面，然后再计算周长.
【详解】设的中点为，则点的轨迹是平面上以为圆心，以2为半径的圆，所以点的轨迹长度为，故①错误；
连接，易知线段的轨迹是圆锥的侧面，而平面与轴不垂直，所以线段的轨迹与平面的交线不是圆弧，故②错误；
以的中点为原点，分别以水平向右、垂直平分为轴、轴建立平面直角坐标系，则所在的直线方程为，则点到直线的距离为，所以的最小值为，故③正确；
如下图，过作正方体的截面，为五边形，其中为的靠近的三等分点，为的靠近的四等分点.
可计算得，
，
所以该截面的周长为，故④错误.

故选：D.
【点睛】关键点睛：本题一是要注意点在平面上，而非正方形上，二是要正确的作出过的截面.
8．在棱长为6的正方体中，为侧面内一动点，且满足平面，若，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正方体中面平面得在线段上，设，在中，由余弦定理得值，在三棱锥中设和外接圆的圆心分别为，由它们找出三棱锥外接球的球心（三棱锥外接球球心在过各面外心且与该面垂直的直线上），求得球半径，从而得球表面积．
【详解】如图1，作平面，
正方体中，，平面，平面，则平面，同理平面，又，平面，
所以平面平面，
由题可得，点在线段上运动，因为该正方体的棱长为6，
所以与均为边长为的等边三角形.
设，在中，由余弦定理可得，解得或.

当时，
外接圆的半径外接圆的半径.
如图2，设和外接圆的圆心分别为，三棱锥外接球的球心为，半径为，
平面,平面,平面与交点为,是中点，
由线面垂直的性质定理得，，都与直线垂直，由与为平面中两个相交直线得平面，
从而与平面内的两条直线垂直，是二面角的平面角，此二面角显然是直二面角，
因此，即，所以是矩形，
则，
所以，代入数据得，
所以三棱锥外接球的表面积为.
当时，同理可求得三棱锥外接球的表面积为，
当或时，三棱锥的外接球为两个半径相等的球体（等球体）.
故选：B．
【点睛】方法点睛：立体几何中的动点轨迹问题，（1）常常由空间直线、平面间的位置关系确定，如利用面面平行得线面平行，由线面垂直得线线垂直从而得动点是该平面与几何体表面的交线；（2）与线段长有关的动点，则常常得出动点到定点的距离相等，从而动点在球面上，动点轨迹中球面与几何体表面的交线；（3）与角度有关的轨迹，常常确定动点在一个圆锥的侧面上，动点轨迹是圆锥侧面与几何体表面的交线．

二、多选题
9．如图，正方体中，其棱长为3.，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，截面是一个多边形.则（    ）

A．截面和面的交线与截面和面的交线等长
B．截面是一个五边形.
C．截面是一个梯形.
D．截面在顶点处的内角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】做出截面，依次判断选项即可.
【详解】延长至，使；延长至，使；
连接，因，，则为等腰直角三角形，
同理可得为等腰直角三角形，又，
则三点共线.连接.因分别为中点，则.又，则四边形为平行四边形，得
.又分别是中点，则.
故，，则，
则五点共面.设这五点所在平面为.
平面，平面，
则平面，连接交于.
因，则，得.
同理，可得平面，连接交于，则.
又，
则.即五点共面.
顺次连接，得截面为五边形.
对于A，如图可知，截面和面的交线为DE，截面和面的交线为，
又几何体棱长为3，，，
则，
，故，则A正确；
对于BC选项，由图可知B正确，C错误；
对于D选项，由图可知截面在顶点处的内角为，连接，
因，则四边形为平行四边形，得.
又由A选项分析可知，，则在三角形中由余弦定理有
，则D正确.
故选：ABD

【点睛】关键点点睛：对于与几何体相关的截面问题，做出截面是解题关键.我们通常可利用空间几何公理及推论或对平面延申找出共线，共面关系；也可在后续学习了面面平行的性质后，利用性质做出截面在平行平面上的交线.
10．已知球O的直径，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，，则（    ）

A．
B．线段AB的最长长度为
C．三棱锥的体积最大值为
D．过SA作球的截面中，球心O到截面距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】由题可得平面，则可判断A；设平面，可得当在上时，取得最大值，求出可判断B；当时，三棱锥的体积最大，求出可判断C；作，则可得即为球心到截面距离的最大值，求出可判断D.
【详解】对于A，，，且平面，
又平面，，故A正确；
对于B，设平面，则，，，则，同理，则当在上时，取得最大值为，故B正确；
对于C，要使三棱锥的体积最大，需要的面积最大，
先定住点，若要的面积最大，则得为等腰三角形，且在内或在边上，

设到线段的距离为，底面ABC的外接圆的半径为
故，
令，故
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，此时的面积最大，此时，即，所以，
所以三角形是正三角形时，圆的内接三角形面积最大，
所以当时，三棱锥的体积最大，
，则，，
则，故C错误；
对于D，作，则可得即为球心到截面距离的最大值，且，故D正确.

故选：ABD
【点睛】关键点睛：本题考查几何体的外接球问题，在已知条件有限的情况下，解题的关键是正确理解图中的几何关系，找好垂直关系，正确求出线段长度，能够清楚取最值的情况.
11．如图，正方体的棱长为分别为的中点，则（    ）

A．直线是异面直线
B．点与点到平面的距离相等
C．三棱锥的体积等于24
D．平面截正方体所得的截面面积为18
【答案】ABD
【分析】对于A、B，先利用面面平行的判定定理证得平面平面，从而证得平面，由此即可判断；
对于C，利用等体积法求得，由此即可判断；
对于D，由正方体性质易得平面截正方体所得的截面为等腰梯形，利用梯形的面积公式可求得截面面积为，由此即可判断.
【详解】对于A、B，取中点，连接，如图1，
因为分别是中点，所以，
又因为面，面，所以平面，
因为，，所以是平行四边形，所以，
又因为面，面，所以平面，
而，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面，
故点与点到平面的距离相等，故B正确，
直线不平行，所以两直线为异面直线，故A正确；
.
对于C，由正方体易得面，
而，
所以，故C错误；
对于D，连接，如图2，
由正方体性质易证，则截面为四边形，它是等腰梯形，
易得，，
所以等腰梯形的高为，
故所求截面面积为，故D正确.
故选：ABD.

12．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ）
A．球在正方体外部分的体积为
B．若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则
C．若点在平面下方，则直线与平面所成角的正弦值最大为
D．若点､､在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则最小值为
【答案】BD
【分析】对于A，结合球的体积和正方体体积公式或利用球缺的体积公式即可判断；对于B，可取中点，可将利用向量运算转化为，再结合的范围即可判断；对于C，直线与平面所成角最大时直线正好与平面ABCD下方球相切，根据几何关系即可求出所成角的最大正弦值，即可判断；对于D，可将转化为，再利用不等式进行转化求解，即可判断.
【详解】对于A，正方体的棱切球的半径，如下图所示，

球在正方体外部的体积，
或者可根据球在平面上方球缺部分的体积，为球缺的高，

所以球在正方体外部的体积为， A选项错误；
对于B，取中点，可知在球面上，可得，所以，点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，所以（当为直径时，），所以，B选项正确；
对于C，      

若正方体上底面字母为，则直线与平面所成角的正弦值最大时，如上图所示点位置，此时正弦值最大为1，
若正方体下底面字母为，设平面的中心为,直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
则直线与平面所成角最大时，直线正好与平面下方球相切，过作平面下方球的切线，切点为，将正方体及其棱切球的截面画出，如下图所示，可得，，，，，
所以，
，，
所以直线与平面所成角最大时为，
，C选项错误；

对于D，，
记向量与向量的夹角为，，因为，
且，
所以，
令，所以上式可化为，当且仅当时等号成立，
此时，即时等号成立，根据题意可知此条件显然成立，D选项正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，应树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.

三、填空题
13．三棱锥中，，，，作出与、都平行的截面，分别交棱、、、于点、、、，则截面的最大面积为______________
【答案】
【分析】利用线面平行的性质定理证明四边形为平行四边形，结合，可得四边形为矩形，设，，求出和，再求出矩形面积关于的函数解析式，利用二次函数知识可求出结果.
【详解】如图：

因为，平面，所以，
因为，平面，所以，
所以，
因为，平面，所以，
因为，平面，所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
又，所以，
所以四边形为矩形，
设，，
则，又，所以，
，又，所以，
所以矩形的面积为，
所以当时，面积取最大值.
故答案为：.
14．在三棱锥中，平面，三棱锥的体积为，已知三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.
【答案】
【分析】根据外接球与三棱柱的几何位置关系，作出图形，在直角中利用勾股定理求出外接球半径即可求解.
【详解】根据题意，作图如下，

设，
则，
所以，
所以，
如图，点为等边三角形外接圆的圆心，则，
设外接球的球心为，则有,
所以在直角中，，
所以外接球的表面积为,
故答案为: .
15．如图，正方体的棱长为1，分别是的中点，那么正方体过的截面图形的面积是 _____．

【答案】##
【分析】连接，进而可证明四边形为过的截面截正方体所得图形，再计算面积即可.
【详解】解：如图，连接，
因为正方体中，分别是的中点，
所以，，，
所以，，则，
所以，由等角定理可得，，
所以，四边形为过的截面截正方体所得图形，
因为正方体的棱长为1，
所以，，
所以，到的距离．
所以，截面面积．
故答案为：．

16．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中记载了“三角垛”．如图，某三角垛最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径相等，且相邻的球都外切，记由球心A，B，C，D构成的四面体的体积为，记能将该三角垛完全放入的四面体的体积为，则的最大值为___________．

【答案】
【分析】要使取得最大值，则使取最小值，通过计算出球心在一面的投影点到该边的距离，可算出四面体的最小棱长
【详解】设球的半径为，
由题意可知四面体为正四面体，边长为，
所以四面体的高为，
所以，要使取得最大值，则使取最小值，由题意可知此时该三角垛与四面体相切.
等边的高为，
由余弦定理可算出正四面体任意两面二面角大小的余弦值为，
因为位于三角垛顶的球与三面都相切，
取的中点，过点作平面的垂线 ，垂足为，如图可得截面，
若设则，所以，
已知球心到面的距离为，则，
在平面里过点作的垂线，所以，

所以边上三个球的球心在该面的投影与该边和两个顶点形成等腰梯形，底角为，上底为，高为，
所以下底可计算得，所以的最小值为，
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：这道题的关键是确定最小正四面体的棱长，需要通过截面和在三角形利用几何关系进行确定，需要较强的空间想象能力