【备考2023】高考数学重难点专题特训学案（全国通用）——22 空间中的平行与垂直关系 （原卷版 解析版）

重难点22 空间中的平行与垂直关系

1.平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

2.三种平行关系的转化

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.

3.证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理．②垂直于平面的传递性．③面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．

4.面面垂直判定的两种方法与一个转化

①两种方法：

(ⅰ)面面垂直的定义；

(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．

②一个转化：

在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

5.面面垂直性质的应用

①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．

②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．

平行与垂直关系是高考的必考点。主要出现在解答题第一问的位置，点考查线面平行与垂直关系的证明；也可能出现在选择题，属于中档题。

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A.，与相交，所以与异面，故A错误；

B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；

C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；

D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.

故选：D

2．在下列条件中，可判断平面与平行的是（    ）

A．都垂直于平面

B．内存在不共线的三点到的距离相等

C．l，m是内两条直线，且

D．l，m是两条异面直线，且

【答案】D

【解析】对于A，当，，，且时，满足都平行于直线a，

不能推出，故A不符题意；

对于B，当，且在内直线b一侧有两点，另一侧一个点，三点到的距离相等时，不能推出，故B不符题意；

对于C，当l与m平行时，不能推出，故C不符题意；

对于D，因，，则存在过直线的平面，

于是得，，，则，

因，，则存在过直线的平面，

于是得，，，则，

又是两条异面直线，则是平面内的两条相交直线，所以，故D符合题意.

故选：D.

3．过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（    ）

A．4条 B．6条 C．8条 D．12条

【答案】D

【解析】如图，过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有12条.

故选：D.

4．在正方体中，为棱的中点，则．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】画出正方体，如图所示．

对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确．

对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确．

对于选项C，连，则．连，则得，所以平面，从而得，所以．所以C正确．

对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确．

故选C．

5．如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

【答案】D

【解析】A中由三垂线定理可知是正确的；B中AB，CD平行，所以可得到线面平行；C中设AC,BD相交与O，所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角分别为所以两角相等，D中由异面直线所成角的求法可知两角不等

6．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是

A．若则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】B

【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.

7．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直，直线平面

B．直线与直线平行，直线平面

C．直线与直线相交，直线平面

D．直线与直线异面，直线平面

【答案】A

【解析】

连，在正方体中，

M是的中点，所以为中点，

又N是的中点，所以，

平面平面，

所以平面.

因为不垂直，所以不垂直

则不垂直平面，所以选项B,D不正确；

在正方体中，，

平面，所以，

，所以平面，

平面，所以，

且直线是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

8．在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

【答案】A

【解析】在正方体中，

且平面，

又平面，所以，

因为分别为的中点，

所以，所以，

又，

所以平面，

又平面，

所以平面平面，故A正确；

选项BCD解法一：

如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，

则，

，

则，，

设平面的法向量为，

则有，可取，

同理可得平面的法向量为，

平面的法向量为，

平面的法向量为，

则，

所以平面与平面不垂直，故B错误；

因为与不平行，

所以平面与平面不平行，故C错误；

因为与不平行，

所以平面与平面不平行，故D错误，

故选：A.

选项BCD解法二：

解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，

在内，作于点，在内，作，交于点，连结，

则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：，，

底面正方形中，为中点，则，

由勾股定理可得，

从而有：，

据此可得，即，

据此可得平面平面不成立，选项B错误；

对于选项C，取的中点，则，

由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；

对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，

由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；

故选：A.

9．在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（    ）

A．平面PDF B．平面PAE

C．平面平面ABC D．平面平面

【答案】C

【解析】如下图所示：

对于A选项，、分别为、的中点，，

平面，平面，平面，A选项正确；

对于B选项，是等边三角形，为的中点，，同理，

，平面，

平面，，平面，B选项正确；

对于C选项，设，连接，假设面面成立，

、分别为、的中点，，且，则为的中点，

由B选项知，平面，平面，，

若面面，面面，平面，

平面，

过点作平面，垂足为点，则为等边的重心，

则，矛盾，所以面面不成立，C选项错误；

对于D选项，由B选项知，平面，

平面，平面平面，D选项正确.

故选：C

10．对于不重合的两个平面与，给定下列条件：

①存在平面，使得，都垂直于；

②存在平面，使得，都平行于；

③存在直线，直线，使得；

④存在异面直线，，使得，，，．

其中，可以判定与平行的条件有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】①若存在平面，使得，都垂直于，则与平行或相交，故①错误．

②若存在平面，使得，都平行于，因为与是不重合的两个平面，所以与平行，故②正确．

③若存在直线，直线，使得，则与平行或相交，故③错误；

④若存在异面直线，，使得，，，，则可以判定与平行．

可在面内作，，因为，是异面直线，则与必相交．

又，，，，

，即④正确．

故选：B．

二、多选题

11．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】设正方体的棱长为，

对于A，如图（1）所示，连接，则，

故（或其补角）为异面直线所成的角，

在直角三角形，，，故，

故不成立，故A错误.

对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，

由正方体可得平面，而平面，

故，而，故平面，

又平面，，而，

所以平面，而平面，故，故B正确.

对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，

故，故C正确.

对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，

则，

因为，故，故，

所以或其补角为异面直线所成的角，

因为正方体的棱长为2，故，，

，，故不是直角，

故不垂直，故D错误.

故选：BC.

12．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；

对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；

对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；

对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；

故选：BCD

三、填空题

13．过三棱柱的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有________条.

【答案】6

【解析】过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．

14．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为______________

【答案】4

【解析】因为过EF作垂直于CD（AB）的平面垂直平分CD，所以该平面与过AB中点并与AB垂直的平面平行，和正方体的左右侧面平行，和正方体的前后侧面及上下底面相交，所以它与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.

考点：该题主要考查空间点、线、面的位置关系，考查空间直线与平面的平行与相交，考查空间想象能力和逻辑思维能力.

15．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB的面积为______________.

【答案】

【解析】如图所示，

∵∴.

可知PC为球O直径，取PC的中点为O，取AC的中点为，

则，

又∵， ，

∴

∴球半径.

∴为等边三角形.

∴.

16．已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：

①若垂直于内的两条相交直线，则⊥；

②若∥，则平行于内的所有直线；

③若，且⊥，则⊥；

④若，，则⊥；

⑤若，且∥，则∥；

其中正确命题的序号是__________________．（把你认为正确命题的序号都填上）

【答案】①④

【解析】①由直线与平面垂直的判定定理知l⊥α，故①正确；

②若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故②不正确；

③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α与β不一定垂直．故③不正确；

④若l⊂β，l⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故④正确；

⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l或m与l异面，故⑤不正确．

故答案为①④．

四、解答题

17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求证：平面.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.

∵底面为矩形，∴，∴；

（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，又平面，∴.

又，，、平面，平面，

∵平面，∴平面平面；

（Ⅲ）如图，取中点，连接.

∵分别为和的中点，∴，且.

∵四边形为矩形，且为的中点，∴，

∴，且，∴四边形为平行四边形，

∴，又平面，平面，∴平面.

18．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析

【解析】（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．

因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．

因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．

又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．

而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．

（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．

证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．

连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．

MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．