【备考2023】高考物理计算题专项特训学案——专题13 电磁感应中的电路和图像问题 （原卷版+解析版）

专题13 电磁感应中的电路和图像问题

①磁通量公式：；

②磁通量的变化量：；磁通量的变化率：；

③法拉第电磁感应定律公式：；（为线圈匝数）

④感应电流与感应电动势的关系：；

⑤与线框有关的公式：；；；

⑥恒流电路：。

在解电磁感应中的电路和图像问题时，首先确定电源：①一般情况下切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源，②进一步判断等效电源的正负极或电势的高低。

第二要对电路进行分析，根据等效电源和电路中其他元件的结构画出等效电路图。

然后进行图像分析，对于动力学图像，分析物体的运动过程或者运动状态。

最后利用电路规律（比如欧姆定律，串并联电路规律，焦耳定律等）列出关系式，进行求解。

电磁感应现象中图像问题的分析，要抓住磁通量的变化，从而推知感应电动势（电流）大小变化的规律，用楞次定律判断出感应电动势（或电流）的方向，从而确定其正负，以及在坐标中的范围。

分析回路中的感应电动势或感应电流的大小及其变化规律，要利用法拉第电磁感应定律来分析。有些问题还要画出等效电路来辅助分析。

    另外，要正确解决图像问题，必须能根据图像的定义把图像反映的规律对应到实际过程中去，又能根据实际过程的抽象规定对应到图像中去，最终根据实际过程的物理规律进行判断，这样，才抓住了解决图像问题的根本。

解决这类问题的基本方法：

（1）明确图像的种类，是图像还是图像，图像，或者图像。对于切割

磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随线圈位移

x变化的图像，即E－x图像和I－x图像。

（2）分析电磁感应的具体过程。

（3）结合楞次定律、法拉第电磁感应定律、左手定则、右手定则、安培定则、欧姆定律、牛顿运动定律等规律判断方向、列出函数方程。

（4）根据函数方程，进行数学分析，如斜率及其变化、两轴的截距等。

（5）画图像或判断图像。

典例1：（2021·浙江·高考真题）一种探测气体放电过程的装置如图甲所示，充满氖气（）的电离室中有两电极与长直导线连接，并通过两水平长导线与高压电源相连。在与长直导线垂直的平面内，以导线为对称轴安装一个用阻值的细导线绕制、匝数的圆环形螺线管，细导线的始末两端c、d与阻值的电阻连接。螺线管的横截面是半径的圆，其中心与长直导线的距离。气体被电离后在长直导线回路中产生顺时针方向的电流I，其图像如图乙所示。为便于计算，螺线管内各处的磁感应强度大小均可视为，其中。

（1）求内通过长直导线横截面的电荷量Q；

（2）求时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量；

（3）若规定为电流的正方向，在不考虑线圈自感的情况下，通过计算，画出通过电阻R的图像；

（4）若规定为电流的正方向，考虑线圈自感，定性画出通过电阻R的图像。

【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析

【规范答题】（1）由电量和电流的关系可知图像下方的面积表示电荷量，因此有

代入数据解得

（2）由磁通量的定义可得

代入数据可得

（3）在时间内电流均匀增加，有楞次定律可知感应电流的方向，产生恒定的感应电动势

由闭合回路欧姆定律可得

代入数据解得

在电流恒定，穿过圆形螺旋管的磁场恒定，因此感应电动势为零，感应电流为零，而在时间内电流随时间均匀变化，斜率大小和大小相同，因此电流大小相同，由楞次定律可知感应电流的方向为，则图像如图所示

（4）考虑自感的情况下，线框会产生自感电动势阻碍电流的变化，因此开始时电流是缓慢增加的，过一段时间电路达到稳定后自感消失，电流的峰值和之前大小相同，在时间内电路中的磁通量不变化电流要减小为零，因此自感电动势会阻碍电流的减小，使得电流缓慢减小为零。同理，在内电流缓慢增加，过一段时间电路达到稳定后自感消失，在之后，电路中的磁通量不变化电流要减小为零，因此自感电动势会阻碍电流的减小，使得电流缓慢减小为零。图像如图

典例2：（2022·重庆·高考真题）某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在时间内从0均匀增加到，求：

（1）戒指中的感应电动势和电流；

（2）戒指中电流的热功率。

【答案】（1），；（2）

【规范答题】（1）设戒指的半径为，则有

磁感应强度大小在时间内从0均匀增加到，产生的感应电动势为

可得

戒指的电阻为

则戒指中的感应电流为

（2）戒指中电流的热功率为

典例3：（2022·浙江·高考真题）舰载机电磁弹射是现在航母最先进的弹射技术，我国在这一领域已达到世界先进水平。某兴趣小组开展电磁弹射系统的设计研究，如图1所示，用于推动模型飞机的动子（图中未画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，可在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B。开关S与1接通，恒流源与线圈连接，动子从静止开始推动飞机加速，飞机达到起飞速度时与动子脱离；此时S掷向2接通定值电阻R0，同时施加回撤力F，在F和磁场力作用下，动子恰好返回初始位置停下。若动子从静止开始至返回过程的v-t图如图2所示，在t1至t3时间内F=(800－10v）N，t3时撤去F。已知起飞速度v1=80m/s，t1=1.5s，线圈匝数n=100匝，每匝周长l=1m，飞机的质量M=10kg，动子和线圈的总质量m=5kg，R0=9.5Ω，B=0.1T，不计空气阻力和飞机起飞对动子运动速度的影响，求

（1）恒流源的电流I；

（2）线圈电阻R；

（3）时刻t3。

【答案】（1）80A；（2）；（3）

【规范答题】（1）由题意可知接通恒流源时安培力

动子和线圈在0~t1时间段内做匀加速直线运动，运动的加速度为

根据牛顿第二定律有

代入数据联立解得

（2）当S掷向2接通定值电阻R0时，感应电流为

此时安培力为

所以此时根据牛顿第二定律有

由图可知在至期间加速度恒定，则有

解得

，

（3）根据图像可知

故；在0~t2时间段内的位移

而根据法拉第电磁感应定律有

电荷量的定义式

可得

从t3时刻到最后返回初始位置停下的时间段内通过回路的电荷量，根据动量定理有

联立可得

解得

1．（2022·海南·昌江黎族自治县矿区中学二模）如图，两光滑平行金属导轨置于水平面（纸面）内，两轨间距为l=1m，左端连有阻值为R=2Ω的电阻。一金属杆置于导轨上，金属杆右侧存在一磁感应强度大小为B=1T、方向竖直向下的匀强磁场区域。开始时，金属杆静止在磁场左边界，某时刻开始以加速度a=0.2m/s2进入磁场区域做匀加速直线运动，在t=2s末到达图中虚线位置。金属杆与导轨始终保持垂直且接触良好。除左端所连电阻R外，其它电阻忽略不计。求：

（1）2s末金属杆的速度大小v；

（2）2s末金属杆受到的安培力大小F；

（3）2s末电流的功率大小P。

【答案】（1）0.4m/s；（2）0.2N；（3）0.08W

【规范答题】（1）根据匀变速直线运动学公式有

（2）感应电动势为

电流大小为

则安培力大小为

（3）电功率

2．（2022·江苏盐城·三模）某实验小组利用塑料小车模拟探究电电磁刹车的效果在遥控小车底面安装与小车底面长宽均相同的匝矩形导线框，其总电阻为，其平面与水平地面平行，如图所示，小车在车场外以恒定功率做直线运动，受到地面阻力恒为，车头刚进入磁场时已达到最大速度，牵引力立即变为；车尾刚出磁场时速度恰好为零，已知底面长为，宽为的小车总质量为，宽为的有界磁场感应强度为，方向竖直向上，不计空气阻力；求小车：

（1）刚进磁场时，导线框中的电流强度；

（2）从进磁场到完全出磁场过程，安培力做的功。

【答案】（1）；（2）

【规范答题】（1）小车刚进磁场时，产生的电动势为

根据闭合电路欧姆定律可得导线框中的电流为

（2）从进磁场到完全出磁场过程，根据动能定理可得

解得安培力做的功为

3．（2022·天津·耀华中学二模）磁流体推动船的动力来源于电流和磁场间的相互作用。图1是在平静海面上某小型实验船的示意图，磁流体推动由磁体、电极和矩形通道（简称通道）组成。如图2所示，通道尺寸a=2.0m，b=0.25m，c=0.10m。工作时，在通道内沿z轴正方向加B=8.0T的匀强磁场；沿x轴负方向加匀强电场，使两金属板间的电压U=100V；海水沿y轴方向流过通道。已知海水的电阻率。

（1）船静止时，求电源接通瞬间推进器对海水推力的大小；

（2）船以v=5.0m/s的速度匀速前进。若以船为参考物，海水以5.0m/s的速率涌入进水口，切割磁感线的效果与导体棒类似，求此时两金属板间产生的感应电动势U感；

（3）船行驶时，通道中海水两侧的电压按计算，海水受到电磁力的80%可以转化为对船的推力。当船以v=5.0m/s的速度匀速前进时，求海水推力的功率。

【答案】（1） ；（2）；（3）2880W

【规范答题】（1）根据电阻定律

安培力

解得

（2）两金属板间产生的感应电动势

（3）通道中的电流

安培力

海水推力的功率

4．（2022·福建·福州三中模拟预测）如图甲所示，PQNM是表面粗糙的绝缘斜面，abcd是质量m＝0.5kg、总电阻、边长L＝0.5m的正方形金属线框，线框的匝数N＝10。将线框放在斜面上，使斜面的倾角由开始缓慢增大，当增大到时，线框即将沿斜面下滑。假设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，现保持斜面的倾角不变，在的区域加上垂直斜面方向的匀强磁场，使线框的一半处于磁场中，磁场的磁感应强度B随时间t变化的图像如图乙所示。（g取，）

（1）试根据图乙写出B随时间t变化的函数关系式。

（2）请通过计算判断在t=0时刻线框是否会沿斜面运动？

（3）若在t＝0时刻线框会运动，此时刻线框的加速度多大？若在t＝0时刻线框不运动，求出从t＝0时刻开始经多长时间线框即将发生运动？

【答案】（1）；（2）不会沿斜面运动；（3）2.5s

【规范答题】（1）由图乙可知：磁感应强度B随时间均匀增大，即

其中

故B随时间t变化的函数关系式为

（2）当增大到时，线框即将沿斜面下滑，此时斜面对线框的摩擦力恰好达到最大值fm，由平衡条件有

加磁场后压力不变，最大静摩擦力不变，由楞次定律可知无论磁场方向垂直于斜面向上还是向下，当磁通量增大时安培力都是沿斜面向上，因此线框若要运动，则应沿斜面向上运动，即

由法拉第电磁感应定律得

由闭合电路欧姆定律得

在t=0时刻线框所受安培力为

故在t=0时刻线框不会沿斜面运动；

（3）当摩擦力方向沿斜面向下达到最大值时，线框即将沿斜面向上运动，此时

可得磁感应强度大小为1.2T，由（1）可知所经历的时间为

5．（2022·江苏常州·三模）如图甲所示，轻绳系一质量为m=0.8kg，半径为1m的圆形线圈，已知线圈总电阻R=0.5Ω，在线圈上半部分布着垂直于线圈平面向里，大小随时间变化的磁场，如图乙所示，g取10m/s2，求：

（1）线圈下半圆的端点的路端电压Uab；

（2）绳的拉力与时间t的关系。

【答案】（1）；（2）

【规范答题】（1）线圈中产生的感应电动势大小为

根据楞次定律可知线圈中电流沿逆时针方向，所以Ua＞Ub，根据闭合电路欧姆定律可得

（2）由乙图可知B随t变化的关系为

线圈中电流为

线圈所受安培力的有效长度等于直径，则

根据平衡条件可得绳的拉力与时间t的关系为

6．（2022·广东深圳·二模）图甲和图乙所示是手动式手电筒内振动式发电机的两个截面图，半径为、匝数为100的线圈a，所在位置的磁感应强度。线圈a接原副线圈匝数比为的理想变压器，给两个额定电流均为的灯泡供电。推动手柄使线圈a沿轴线往复运动，线圈a中电动势随时间按正弦规律变化，如图丙所示。线圈a及导线电阻不计。求：

（1）图丙中电动势的表达式；

（2）若手动发电的效率为，两灯泡正常发光，手动做功的功率；

（3）线圈a往复运动过程中的最大速度。

【答案】（1）；（2）；（3）

【规范答题】（1）由丙图可知

且

根据电动势的表达式

可得

（2）设原线圈中电压的有效值，根据可得

设副线圈两端电压为，根据理想变压器公式可得

灯泡功率

可得人对手电筒做功的功率为

（3）根据法拉第电磁感应定律得

解得

7．（2022·上海黄浦·二模）如图所示，足够长的光滑竖直平行金属轨道处于一个很大的匀强磁场中，已知轨道宽为l，磁感应强度大小为B、方向垂直轨道平面水平指向纸里。轨道上端接入一个滑动变阻器和一个定值电阻，已知滑动变阻器的最大阻值为R，定值电阻阻值为，.轨道下端有根金属棒CD恰好水平搁在轨道上，接触良好，已知金属棒质量为m。变阻器滑片位置aP=，CD棒在一平行于轨道平面的竖直向上F作用下，以某一初速度开始向上做匀减速直线运动，已知初速度大小为v0，加速度大小为a、金属棒和轨道的电阻不计，重力加速度大小为g。则

（1）请说明金属棒运动过程中棒中感应电流方向；

（2）保持滑片P位置不变，金属棒运动过程中经过多少时间时流过定值电阻的电流为零？此时外力F多大？

（3）保持滑片P位置不变，金属棒运动过程中经过多少时间时流过定值电阻的电流为I0（I0已知且非零值）？

【答案】（1）当金属棒CD向上运动时，棒中感应电流方向为：D→C ；当金属棒CD向下运动时，棒中感应电流方向为：C→D；（2）；；（3）当v0< 时，；当v0≥时，或

【规范答题】（1）金属棒先向上匀减速直线运动，减到零后向下匀加速直线运动．因此根据右手定则，当金属棒CD向上运动时，棒中感应电流方向为：D→C；然后当金属棒CD向下运动时，棒中感应电流方向为： C→D  ；

（2）若流过定值电阻的电流为零，则此时电路中没有感应电流，即感应电动势为零，根据E=BLv

可知道

v=0

根据运动学公式

0= v0+at

得到

金属棒运动过程中经过流过定值电阻的电流为零，此时安培力为零，根据牛顿第二定律，得到

mg-F=ma

此时外力

F =mg-ma

（3）保持滑片P位置不变，并联电阻为

回路总电阻为

流过定值电阻的电流为I0时，此时干路电流为

电动势为

E=2I0•R=I0R

根据

E=BLv

得到

讨论：金属棒先向上匀减速直线运动，后向下匀加速直线运动

①当v0< 时，只在向下加速过程中，才出现流过定值电阻的电流为I0。根据运动学公式得到

解得

②当v0≥时，向上和向下过程中都出现流过定值电阻的电流为I0

向上过程中，由

v=v0-at

可得

向下过程中，由

-v=v0-at

可得

8．（2022·福建·模拟预测）如图所示，水平固定、间距为的平行金属导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为。导轨上有、两根与导轨接触良好的导体棒，质量均为，电阻均为。现对施加水平向右的恒力，使其由静止开始向右运动。当向右的位移为时，的速度达到最大且刚要滑动。已知两棒与导轨间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计导轨电阻，重力加速度为。

（1）导体棒刚要滑动时，回路中的电流；

（2）定性画出导体棒所受摩擦力大小随时间变化的图像；

（3）导体棒发生位移的过程中，回路中产生的总焦耳热；

（4）当导体棒达到最大速度时，给一水平向右的瞬时速度（）。请分析此后导体棒的运动情况并求出的最终速度。

【答案】（1）；（2） ；（3）；（4）见解析

【规范答题】（1）设导体棒刚要滑动时，对导体棒，根据受力平衡可得

解得

（2）导体棒未滑动前，所受摩擦力为静摩擦力，大小等于安培力，随着导体棒速度增大，回路中感应电流变大，导体棒所受的安培力变大，导体棒做加速度逐渐减小的加速运动，电流变化率逐渐变小，则导体棒所受摩擦力随时间的变化率逐渐变小，导体棒滑动后，摩擦力为滑动摩擦力，恒定不变，导体棒所受摩擦力f大小随时间t变化的图像如图所示

（3）导体棒刚要滑动时，此时导体棒速度达到最大，则有

整个过程中对系统，由功能关系可得

联立解得

（4）当导体棒达到最大速度时，给一水平向右的瞬时速度（），此瞬间电流回路电流为

则有

可知导体棒做加速运动，导体棒做减速运动，根据

可知回路的电流增大，导体棒受到的安培力增大，当安培力等于滑动摩擦力时，导体棒的加速度为零，导体棒做匀速运动，综上所述可知，导体棒做初速度为，加速度逐渐减小的减速运动，当加速度减至0时，做匀速运动，由于

可知导体棒获得瞬时速度后，、组成的系统满足动量守恒，设最终导体棒的速度为，导体棒的速度为，对、系统，由动量守恒可得

当导体棒加速度减为0时，有

联立解得

9．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模）如图、长L=1m、电阻r=1Ω的金属棒OA与竖直金属圆环接触良好并能随手柄一起转动，同一水平面内有两条足够长且电阻不计、间距也为L=1m的平行金属导轨、，导轨上PQ两处有极小的断点，导轨左端分别与环和O点相连接。在圆环中有水平向右、PQ左侧有竖直向下磁感应强度大小均为B=1T的匀强磁场，边界PQ右侧有长为2L的光滑区。现有长L=1m、质量m=1kg、电阻R=2Ω的金属杆a垂直于磁场置于导轨上，杆a和导轨间动摩擦因数为μ=0.2。另有边长仍为L=1m，质量为M=3kg、每条边电阻均为R=2Ω的正方形金属框EFGH置于导轨上，其FG边与光滑区右边界对齐，不计金属框的摩擦作用。当杆a能运动后越过PQ后一段时间，与金属框发生瞬间碰撞并粘连在一起，随即杆a与金属框向右再运动2L停在粗糙区。（不考虑框架中的电流产生的磁场影响，最大静摩擦力和滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g=10m/s2）。求：

（1）某时刻杆a开始向右运动时，手柄的角速度大小；

（2）杆a碰撞前、后的速度；

（3）杆从PQ离开到最终停下所用时间；

（4）若金属框和杆a碰瞬间后，立即在FG右侧加一竖直向下磁感应强度B1=1T的匀强磁场，碰撞后瞬间整体的加速度大小，和碰后杆a上生成的焦耳热。

【答案】（1）12rad/s；（2），；（3）3.25s；（4），

【规范答题】（1）金属棒OA产生的电动势为

回路电流为

当杆a开始向右运动，有

联立解得

（2）设a杆碰前速度大小为，碰后速度大小为，对框和棒整体碰撞后根据动能定理可得

解得

由动量守恒有

解得

（3）杆a从PQ到碰前做匀速直线运动，则有

杆a碰撞后与框在距离内做匀速直线运动，则有

杆a碰撞后与框在距离内做匀减直线运动，则有

所以，杆从PQ离开到最终停下所用时间为

（4）碰后金属框刚进入磁场时，框的右边切割生电动势为

杆a与金属框形成的总电阻为

框的右边流过电流为

所以整体加速度为

从金属框刚进入磁场到整个框进入磁场过程，根据动量定理有

又

联立解得

之后金属框全部进入磁场不再产生焦耳热，所以根据能量守恒可得

其中杆a的焦耳热为

10．（2022·湖南永州·三模）如图（甲），超级高铁（Hyperloop）是一种以“真空管道运输”为理论核心设计的交通工具。如图（乙），已知管道中固定着两根平行金属导轨、，两导轨间距为；材料不同的运输车一、二的质量都为，横截面都是半径为的圆。运输车一、二上都固定着有间距为、与导轨垂直的两根相同导体棒1和2，每根导体棒的电阻都为，每段长度为的导轨的电阻也都为。其他电阻忽略不计，重力加速度为。

（1）在水平导轨上进行实验，此时不考虑摩擦及空气阻力。当运输车一进站时，管道内依次分布磁感应强度大小为，宽度为的匀强磁场，且相邻的匀强磁场的方向相反。求运输车一以速度从如图（丙）位置通过距离时的速度；

（2）如图（丁），当管道中的导轨平面与水平面成时，运输车一恰好能无动力地匀速下滑。求运输车一与导轨间的动摩擦因数；

（3）如图（丁），当管道中的导轨平面与水平面成时，此时导体棒1、2均处于磁感应强度为（以指向为轴正方向，，，为坐标原点），垂直导轨平面向上的磁场中，运输车二恰好能以速度无动力匀速下滑。求运输车二与导轨间的动摩擦因数。（、都是已知量）

【答案】（1）；（2）；（3）

【规范答题】（1）运输车进站时，电路如图所示

当车速为时，由法拉第电磁感应定律可得

，

由闭合电路的欧姆定律

导体棒所受的安培力

，

运输车所受的合力

选取一小段时间，运输车速度的变化量为，由动量定理

即

两边求和

解得

（2）分析运输车的受力，将运输车的重力分解，如图所示

设轨道对运输车的支持力为、，如图所示

由几何关系

，

又

，

运输车匀速运动

解得

（3）加磁场后，电流

则

可得

解得