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    模拟卷05 导数及其应用——【新高考】2023年高考数学专题模拟卷汇编(原卷版+解析版)
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    模拟卷05 导数及其应用——【新高考】2023年高考数学专题模拟卷汇编(原卷版+解析版)

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    这是一份模拟卷05 导数及其应用——【新高考】2023年高考数学专题模拟卷汇编(原卷版+解析版),文件包含模拟卷05导数-解析版docx、模拟卷05导数-原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共91页, 欢迎下载使用。

    模拟试卷汇编五:导数解析版
    一、单选
    1. (2022年广东小榄中学高三月考模拟试卷)若函数是增函数.则实数的取值范围为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【详解】解:的定义域为,
    由,得,
    因为是增函数,
    所以在上恒成立,即在上恒成立,
    所以,解得,
    故选:D
    2. (2022年福州八中高三月考模拟试卷)已函数及其导函数定义域均为,且,,则关于不等式的解集为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【详解】由,设是实数集上的减函数,且,
    所以由,
    故选:B

    3. (2022年华美实验高三月考模拟试卷)对任意的,当时,恒成立,则实数的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【详解】依题意,,令,,
    则对任意的,当时,,即有函数在上单调递减,
    因此,,,而,则,
    所以实数的取值范围是.
    故选:C
    4.(2022年湖北黄冈高三月考模拟试卷)已知是自然对数的底数,设,,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    解析:已知是自然对数的底数, ,,,
    设,则,
    当时,,函数在上是增函数,
    当时,,函数在上是减函数,
    ,,而,所以,
    又∵(),为常用不等式,可得,
    令,,
    当时,,函数在上是减函数,
    故,则,即,则,故:
    故选:A.
    5. (2022年广东梅州市高三月考模拟试卷)已知函数,若函数的单调递减区间(理解为闭区间)中包含且仅包含两个正整数,则实数的取值范围为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【详解】因为的单调递减区间(理解为闭区间)中包含且仅包含两个正整数,
    所以的解集中恰有两个正整数,
    由可得, ,
    令,则,,单调递增,
    ,单调递减,
    作出函数与的图象如图,

    当恰有两个正整数解时,即为1和2,
    所以,
    故选: C
    6. (2022年湖南省长沙市高三月考模拟试卷)已知定义在上的函数满足,,则关于的不等式的解集为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【详解】令,则,所以在单调递减,
    不等式可以转化为,即,所以.
    故选:D.
    7.(2022年湖南省长沙市高三月考模拟试卷) 函数,则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为( )
    A. 2 B. 1 C. 4 D. 0
    【答案】A
    【解析】
    【详解】令,得,
    令,,
    故在和上是单调递增函数,
    令,得,
    的图象可由的图象向右平移1个单位长度得到,
    易知和的图象都关于中心对称,
    在同一个坐标系作出和的图象如图所示:


    易知它们有两个交点,且关于中心对称,
    所以.
    故选:A
    8.(2022年河北承德市高三月考模拟试卷) 函数在上有且仅有一个极值点,则实数的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【详解】因为,所以,
    函数在上有且仅有一个极值点,
    在上只有一个变号零点.令,得.
    设在单调递减,在上单调递增,,
    又,得当,在上只有一个变号零点.
    经检验,不合题意,
    故选:B.
    9. (2022年福建福州高级中学高三月考模拟试卷)若对任意的,,且,都有,则的最小值是( )
    A. B. C. 1 D.
    【答案】A
    【解析】
    【详解】因为,所以由可得,
    ,即.
    所以在上是减函数,

    当时,,递增,时,,递减,
    即的减区间是,
    所以由题意的最小值是.
    故选:A.
    10.(2022年河北南宫中学高三月考模拟试卷)已知函数,若存在使得关于的不等式成立,则实数的取值范围( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【详解】因为,由可得,即函数的定义域为,
    可得,
    即,
    构造函数,其中,则,故函数在上单调递增,
    所以,,可得,则,
    即,其中,令,其中,
    则,当时,,此时函数单调递减,
    当时,,此时函数单调递增,
    所以,,解得
    故选:C.
    11. (2022年河北衡水中学高三月考模拟试卷)已知函数的定义域为,为的导函数,且,,若为偶函数,则以下四个命题:①;②;③;④中一定成立的个数为( )
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
    【答案】C
    【详解】∵,,∴,
    又是偶函数,,两边求导得,∴是奇函数,,,
    ∴,即,
    是周期函数,4是它的一个周期,,
    ,∴是周期函数,4是它的一个周期,
    ,,

    是周期为4的周期函数,又是奇函数,,,
    ,,
    ,,所以,
    ,,因此,不能得出,
    一定正确的有①②④,共3个.
    故选:C.
    12.(2022年徐州市高三月考试卷) 设,若函数有且只有三个零点,则实数的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【详解】令,则,
    令,得;令,得;
    所以在上单调递减,在上单调递增,故,
    又因为对于任意,在总存在,使得,
    在上由于的增长速率比的增长速率要快得多,所以总存在,使得,
    所以在与上都趋于无穷大;
    令,则开口向下,对称轴为,
    所以在上单调递增,在上单调递增,故,
    .
    因为函数有且只有三个零点,
    而已经有唯一零点,所以必须有两个零点,则,即,解得或,
    当时,,则,
    即在处取不到零点,故至多只有两个零点,不满足题意,
    当时,,则,所以在处取得零点,
    结合图像又知与必有两个交点,故在与必有两个零点,
    所以有且只有三个零点,满足题意;
    综上:,即.
    故选:C.
    13. (2022年江苏泰州市高三月考模拟试卷)已知函数,其中实数,则下列结论错误的是( )
    A. 必有两个极值点
    B. 有且仅有3个零点时,的范围是
    C. 当时,点是曲线的对称中心
    D. 当时,过点可以作曲线的3条切线
    【答案】B
    【解析】
    【详解】对于A,,
    令,解得:或,
    因为,所以令,得或,
    令,得,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    所以在处取得极大值,在处取得极小值,
    所以A正确;
    对于B,要使有且仅有3个零点,
    只需即,所以,
    所以的范围是,故B不正确;
    对于C,当时,,

    ,所以点是曲线的对称中心,所以C正确;
    对于D,,设切点为,
    所以在点处的切线方程为:,
    又因为切线过点,所以,
    解得:,令,
    所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数.
    ,
    令,解得:或,
    因为,所以令,得或,
    令,得,
    则在上单调递增,在上单调递减,
    ,如下图所示,

    当时,与图象有3个交点,即过点可以作曲线的3条切线,故正确,
    故选:B
    14. (2022年江苏宿迁市高三月考模拟试卷)设,,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性,进一步得到,根据基本不等式化简求出c的范围以及b的范围,进一步求出答案.
    【详解】设,∴,
    ∴在的范围内单调递增,,

    由此可得,
    设,∴,
    ∴在的范围内单调递减,,


    由此可得,,
    显然,



    所以,
    综合可得.
    故选:D.
    15. (2022年江苏苏州八校联盟高三月考模拟试卷)设,(e是自然对数的底数),则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【详解】记,则,所以在上单调递减,所以,所以在上,所以.
    又单调递增,所以
    所以,即.
    而由二项式定理得:.
    对于a、c,由,.
    记,则,
    所以在上单调递增,所以.所以,所以.
    综上所述:.
    故选:C
    16. (2022年湖南师范大学附属中学高三月考模拟试卷)若实数,满足,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【详解】因为,
    所以,即,
    所以,
    令,
    则,即,
    所以,
    令,则,
    当时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    所以在处取得极大值,也是最大值,

    要想使得成立,只有时,即时,满足要求,
    所以,
    由定义域可知:,
    解得:,
    ,A选项正确;
    ,BC错误.
    ,D错误;
    故选:A.
    二、 多选
    17.(2022年江苏徐州市高三月考模拟试卷) 已知函数的导函数为,则( )
    A. 若在处取得极值,则
    B. 若函数在上是减函数,则当时,
    C. 若为偶函数,则是奇函数
    D. 若是周期函数,则也是周期函数
    【答案】ACD
    【解析】
    【详解】A:根据极值的定义,极值点处导数值为0,A对;
    B:反例是减函数,但是故B错;
    C:为偶函数,所以
    所以是奇函数,C对;
    D:是周期函数,若为其一个周期,则,也为周期函数,故D对;
    故选:ACD
    18. (2022年苏州八校联盟高三月考模拟试卷)定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立,则下列正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】ACD
    【解析】
    【详解】因为,所以,.
    由,得,
    设,则,
    可得,则在定义域上单调递减,
    因为,所以,则,故A正确;
    因为,所以,则 ,故B错误;
    因为,所以,则,故C正确;
    因为,所以,则,故D正确.
    故选:ACD.
    19.(2022年广东华美实验高三月考模拟试卷) 若直线与曲线相切,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】AD
    【解析】
    【详解】由得,
    设直线与曲线相切于点,
    则且,消去得,
    所以A正确,B错误;
    取等号,C错误;
    ,设,由得,
    所以函数在上递增,在上递减,
    所以,即,D正确,
    故选:AD.
    20. (2022年广东真光中学-深圳二高高三月考模拟试卷)已知函数的定义域为R,为的导函数,且,,若为偶函数,则下列一定成立的有( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】ABD
    【解析】
    【详解】解:若为偶函数,则,故,则为奇函数
    故,
    由可得,
    又可得,两式相减得,
    所以函数的周期为4;
    由可得
    又可得,两式相加得
    所以函数的对称中心为;
    则,,故A选项正确;
    又,则,由函数的周期为4
    可得,,故B,D选项正确;
    可得,所以,故C选项不正确;
    故选:ABD.
    21.(2022年福州八中高三月考模拟试卷) 已知函数和,有相同的极小值,若存在,使得成立,则( )
    A. B.
    C. 当时,
    D. 当时,若所有根记为,,,,且,则
    【答案】ACD
    【解析】
    【详解】,,,
    上单调递减,上单调递增,
    在处取得极小值,而,且,
    在上单调递减,上单调递增,
    在处取得极小值,依据题意,和有相同的极小值,
    故,解得,故A正确;
    作出函数图象如下图所示,若,则与、相交时,或者,故B错误.

    由图像可知,当时,,所以,C正确;
    若的所有根记为,,且时,
    则有,,可得,
    即,又
    ,同理可得,,则,故D正确.
    故选:ACD.
    22.(2022年福州高级中学高三月考模拟试卷) 若函数有两个极值点,且,则下列结论中正确的是( )
    A. B. 的取值范围是
    C. D.
    【答案】ACD
    【解析】
    【详解】,有两个极值点,且,
    ∴,有两个零点,,且在,各自两边异号,
    ∴与有两个交点,,
    记,则,易知:时,时,
    ∴在上递增,在上递减,即在上递增,在上递减.
    ∴有最大值,且时;时,又,,
    由上的图象如下,

    ∴当且仅当时与有两个交点,才符合条件,且,故A正确,B不正确.
    又,
    ∴,故 C正确.
    令,则,
    ∴,则,,
    ∴要证,只需证,只需证,
    令,则,
    ∴在上单调递减,即时,不等式得证,故D正确.
    故选:ACD
    23. (2022年福建闽江附中高三月考模拟试卷)定义在上的函数的导函数为,且恒成立,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BCD
    【解析】
    【详解】令
    所以
    因为,
    所以
    故在单调递减
    所以,得,即,故A错误;
    ,得,即,故B正确;
    ,得,即,故C正确;
    得,即,故D正确.
    故选:BCD
    24. (2022年江苏镇江高三月考模拟试卷)下列判断正确的有( )
    A. 当时,方程存在唯一实数解
    B. 当时,
    C.
    D.
    【答案】BCD
    【解析】
    【详解】时,,即在上无解,
    故A错误;
    时令,

    在单调递减,所以即
    故B正确;
    因为

    令,
    所以在单调递减,所以,

    则在上单调递减,
    ,即,即
    故C正确;

    故D正确;
    故选:BCD.
    25. (2022年江苏南通市高三月考模拟试卷)已知函数,其导函数为,下列说法正确的是( )
    A. 函数的单调减区间为
    B. 函数的极小值是
    C. 当时,对于任意的,都有
    D. 函数的图像有条切线方程为
    【答案】AB
    【解析】
    【详解】因为
    所以,,
    所以的单调减区间为,
    故A正确.
    令,
    则或
    所以在,单调递增
    在单调递减
    所以函数的极小值为,
    故选项B正确;
    由,




    矛盾,
    故选项C错误.

    解的或,
    当时切点不在上
    当时切点不在上,
    故选项D错误,
    故选:AB.
    26. (2022年江苏连云港市高三月考模拟试卷)已知为函数的导函数,若,,则下列结论错误的是( )
    A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
    C. 在上有极大值 D. 在上有极小值
    【答案】ABC
    【解析】
    【详解】由,可知,则,即.
    设,则由得,由得,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    所以当时,函数取得极小值.
    故选:ABC.
    三、填空题
    27. (2022年广东梅州市高三月考模拟试卷)已知函数,则______.
    【答案】
    【解析】
    【详解】由已知,,则
    所以,,
    所以,.
    故答案为:.
    28. (2022年福建闽江附中高三月考模拟试卷)曲线在点处的切线方程为______.
    【答案】
    【解析】
    【详解】,令,此时,,故切线方程为,
    化简得,
    故答案为:.
    29.(2022年江苏镇江中学高三月考模拟试卷) “m>1”是“函数的最大值小于1”的___________条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空)
    【答案】充分不必要
    【解析】
    【详解】①时,,即;
    ②对于函数,,
    若,则,f(x)在x>0时单调递减,没有最大值;
    若,则时,,单调递增;时,,单调递减;
    ∴,若,则.
    故“m>1”是“函数的最大值小于1”的“充分不必要”条件.
    故答案为:充分不必要.
    30. (2022年广东梅州市高三月考模拟试卷)已知函数(e是自然对数的底数),则曲线在处的切线方程是__________.
    【答案】
    【解析】
    【详解】依题意,由,得,即切点;
    又,则曲线在点处切线的斜率,
    ∴切线方程为,即.
    故答案为:
    31. (2022年广东真光中学-深圳二高高三月考模拟试卷)已知,是曲线的两条倾斜角互补的切线,且,分别交y轴于点A和点B,O为坐标原点,若,则实数a的最小值是______.
    【答案】##
    【解析】
    【详解】设切线,的切点坐标为,,
    由函数,求导可得,
    由题意可知,,即,
    可得,,
    令,,
    故,同理可得,
    则,由于,则等号不能取,
    即,解得,即的最小值为.
    故答案为:.
    32. (2022年福建德化高三月考模拟试卷)已知函数,若方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是______________.
    【答案】
    【解析】
    【详解】因为函数,
    则,
    令,解得:;令,解得:或,
    所以函数在和上单调递减,在上单调递增,
    所以当时,函数取最小值,
    当时,函数取极大值时函数值为正,
    作出函数的草图,

    如图,要使方程有两个不相等的实数根,则有或,
    故答案为:.
    33.(2022年福建福州八中高三月考模拟试卷) 若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合,则___________.
    【答案】0
    【解析】
    【详解】解:由切点,,则在点处的切线方程为,
    即,
    由切点,,则在点处的切线方程为,
    即,
    由题知:两条直线是同一条直线,
    则:,
    化简得:.
    ∴ .
    故答案为:0.
    34.(2022年湖北黄石高三月考模拟试卷)若指数函数(且)与三次函数的图象恰好有两个不同的交点,则实数的取值范围是__________.
    【答案】
    解析:联立,消去得(),两边取对数得,即,
    设(),则,当时,,函数递增,当时,,函数递减,∴,
    又,当时,,∴,即,故填:.
    35. (2022年江苏镇江中学高三月考模拟试卷)已知,若有且仅有三个整数解,则a的取值范围是___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】,令,利用导数求出函数的单调区间,再根据函数的单调性结合已知即可得解.
    【详解】解:,
    令,
    令,则,
    所以函数在上递减,
    又,
    当时,,当时,,
    所以函数在上递增,在上递减,
    因为有且仅有三个整数解,
    所以,即,
    所以a的取值范围是.
    故答案为:.
    36. (2022年江苏泰州市高三月考模拟试卷)若曲线在点处的切线也是曲线的切线,则的最小值为_____.
    【答案】
    【解析】
    【详解】曲线在点A处的切线可写作
    设该切线在曲线上的切点为,
    则有,消去t得

    当且仅当,即时取得该最小值.
    故答案为:.
    37.(2022年江苏连云港市高三月考模拟试卷) 已知函数的图象在点处的切线的斜率为,则的最小值为___________
    【答案】9
    【解析】
    【详解】分析:求出原函数的导函数,由=2a+b=2,得a+=1,把变形为+后整体乘以1,展开后利用基本不等式求最小值.
    详解:由f(x)=ax2+bx,得=2ax+b,
    又f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,
    所以=2a+b=2,即a+=1.
    则=+=(+)(a+)=5++≥9.
    当且仅当=,即a=,b=时“=”成立.
    所以的最小值是9.
    故答案为9

    四、简答题
    38. (2022年江苏盐城市高三月考模拟试卷)已知函数,若在点处的切线方程为.
    (1)求,的值;
    (2)求函数在上的最大值.
    【答案】(1),
    (2)
    【解析】
    【小问1详解】
    因为,
    所以,
    由题意得,
    所以,;
    【小问2详解】
    由(1)得,,
    因为,
    当时,,函数单调递增,
    当时,,函数单调递减,
    当时,,函数单调递增,
    故当时,函数取得极大值,
    又,,
    因为
    故函数在上的最大值为.
    39. (2022年广东梅州市高三月考模拟试卷)已知函数.
    (1)求的极值;
    (2)若时,恒成立,求实数的取值范围.
    【答案】(1)答案见解析
    (2)
    【解析】
    【小问1详解】
    解:函数的定义域为,,
    当时,在恒成立,在单调递减,故无极值;
    当时,令,则,
    时,,在单调递减;
    时,,在单调递增;
    故在取极小值,且,无极大值
    综上,当时,无极值;
    当时,在取极小值,且,无极大值.
    【小问2详解】
    解:∵,∴,即且
    ∴且,即,为的两个零点
    ∴由(1)知,当时,在取极小值,且,故
    又∵,∴,
    又∵恒成立,∴对任意恒成立,
    ∵,∴,且
    ∴对任意恒成立
    ∴令,则,对任意恒成立,则.
    ∴对任意恒成立
    令,则
    当,即时,恒成立
    故在为单调递增函数,
    又∵,∴对恒成立
    当,即时,为单调增函数,
    又∵,,∴使,
    当时,,故在单调递减
    ∴当时,,不合题意
    综上,实数的取值范围为.
    40.(2022年广东广州第十七中学市高三月考模拟试卷) 已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)若,证明:.
    【答案】(1)答案见解析;
    (2)证明见解析.
    【解析】
    【小问1详解】
    函数的定义域为,求导得:,
    当时,恒成立,则在上单调递增,
    当时,的解集为,的解集为,
    即的单调增区间为,单调减区间为,
    所以,当时,在上单调递增,
    当时,在上单调递增,在上单调递减.
    【小问2详解】
    因为,由(1)知,,且,解得,
    设,则,要证,即证,即证,
    即证,设,
    则,即在上单调递减,有,
    即,则成立,因此成立,
    要证,即证,即证,即证,即证,
    而,即证,
    令,则,
    设,求导得,即在上单调递增,
    则有,即,在上单调递减,而,当时,
    ,则当时,成立,故有成立,
    所以,.
    41. (2022年广东小榄中学高三月考模拟试卷)已知函数,和.
    (1)若与有相同的最小值,求a的值;
    (2)设有两个零点,求a的取值范围.
    【答案】(1);
    (2).
    【解析】
    小问1详解】
    ,则,
    当时,,在R上单调递减,无最值,舍去;
    当时,令,解得,所以上单调递减,在上单调递增,则;
    因为,所以的定义域为,
    ,令,解得,
    所以在上单调递增,上单调递减,则,
    根据题意得,解得.
    【小问2详解】
    由题意得,,
    令,整理得,,
    令,,所以在上单调递增,
    又,所以,则题意可转化为在上有两个根,
    令,则,
    令,解得,,解得,
    所以在上单调递增,上单调递减,,图象如下所示,

    所以,解得,所以.
    42.(2022年广东真光中学-深圳二高高三月考模拟试卷) 已知函数,,在上有且仅有一个零点.
    (1)求的取值范围;
    (2)证明:若,则在上有且仅有一个零点,且.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析
    【解析】
    【小问1详解】
    ,设,

    ①当时,若,则,
    在上无零点,不符合题意;
    ②当时,若,则,
    ∴在上单调递增,
    ∴,∴在上无零点,不符合题意;
    ③当时,若,则,∴在上单调递增,
    ∵,,
    ∴存在唯一,使得.
    当时,;当时,,
    故在上单调递减,在上单调递增,
    ∵,,
    故在上有且仅有一个零点,符合题意;
    综上,的取值范围为.
    【小问2详解】
    记,

    由(1)知:若,当时,,,
    当时,,,
    故在上单调递减,在上单调递增,
    又,,
    故存在唯一,使得,且.
    注意到,可知在上有且仅有一个零点,
    且,即.
    43. (2022年广东新高考广东高中模拟试卷)已知函数(,)
    (1)若曲线在处的切线的斜率为,求的值;
    (2)若,在上存在唯一零点,求的值.
    【答案】(1);(2).
    【解析】
    【详解】解:(1),.
    又曲线在处的切线的斜率为2e,
    ∴,解得;
    (2)若,则

    令,得,
    当时,有唯一解,即,
    当时,;当时,.
    ∴在单调递减,在单调递增.
    又∵有且只有1个零点,∴.即.
    ∵,,整理可得,故
    44.(2022年广东小榄中学高三月考模拟试卷)已知函数.
    (1)当时,讨论的单调性;
    (2)当时,若,求b的最小值.
    【答案】(1)当时,在R上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增
    (2)
    【解析】
    【小问1详解】
    当时,,,当时,,在R上单调递增;当时,令有,当时,,单调递减,当时,,单调递增.
    【小问2详解】
    当时,由(1)若,则有解即可,即有解,即有解,设,则,故当时,,单调递减;当时,,单调递增.故,故当.故b的最小值为
    45. (2022年福建德化高中模拟试卷)已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)设函数有两个极值点,证明:.
    【答案】(1)答案见解析
    (2)证明见解析
    【解析】
    【小问1详解】
    定义域为,且

    令得,或,
    ①当时,与,,单调递增,
    ,,单调递减,
    ②当时,,在单调递增,
    ③当时,与,,单调递增,
    ,,单调递减,
    综上,当时,在区间,上单调递增,在区间上单调递减;
    当时,在区间上单调递增;
    当时,在区间,上单调递增,在区间单调递减;
    【小问2详解】
    由已知,,则,
    函数有两个极值点,,即在上有两个不等实根,
    令,只需,故,
    又,,
    所以

    要证,即证,
    只需证,
    令,,
    则,
    令,则恒成立,
    所以在上单调递减,
    又,,
    由零点存在性定理得,使得,
    即,
    所以时,,单调递增,
    时,,单调递减,
    则,
    ∵由对勾函数知在上单调递增,
    ∴,
    ∴,即,得证.
    46. (2022年福建福州八中高中模拟试卷)已知函数 在区间内存在极值点.
    (1)求实数的取值范围;
    (2)求证:在区间内存在唯一的,使,并比较与的大小.
    【答案】(1).
    (2)证明见解析,.
    【解析】
    【小问1详解】
    由题设,,又,则且,
    ∴,即在上递增,故,
    当时,在上,即递增,又,,
    ∴上,上,则在上递减,在上递增,
    ∴在处取极小值,符合题设.
    ∴.
    【小问2详解】
    要证在内存在唯一的使,只需证在上有唯一零点,
    ∴,由(1)知:在上递减,在上递增,
    又时,,即在上递增,
    综上,在上递减,在上递增,而,,
    ∴在无零点,在上存在一个零点,故存在唯一使.
    由(1)知:,
    ∴,
    令且,则,
    令,则,则递增,
    ∴,即,故在上递增,则,
    ∴在有,
    即有,又在上递增且,

    47. (2022年福建闽江附中高三月考模拟试卷)已知函数.
    (1)若恒成立,直接写出a的值,并证明该不等式;
    (2)证明:当时,;
    (3)当时,不等式恒成立,求a的取值集合.
    【答案】(1),证明详见解析
    (2)证明详见解析 (3)
    【解析】
    【小问1详解】
    的值为,即不等式,证明如下:
    构造函数,
    ,所以在区间递减;
    在区间递增.
    所以,故,即不等式恒成立.
    【小问2详解】

    构造函数,

    当时,,,,
    所以,
    所以在区间上递减.
    当时,,,,
    所以,
    所以在区间上递增.
    当时,,,
    所以,
    所以在区间上递增.
    所以,
    即.
    【小问3详解】
    当时,不等式恒成立,
    即时,不等式恒成立,
    构造函数,即,
    由于且,所以当时,取得最小值,
    由于是可导函数,且,
    则是函数的极小值点,
    所以,解得.
    下面证明当时,为的极小值点:
    此时,

    令,

    由(2)可知,当时,,
    所以在区间上递增,

    所以在区间递减;在区间递增,
    所以是的极小值点,符合题意.
    所以的取值集合是.
    48.(2022年湖北黄冈高三月考模拟试卷)已知函数,若关于的方程有两个正实数根,且.
    (1)求实数的取值范围;
    (2)求证:.
    【答案】(1);(2)见解析
    解析:(1)由,得,
    令,则或,
    ∴当或时,;当时,,
    ∴在和上单调递减,在上单调递增,
    ∵且有两个正根,∴,
    ∴,∴的取值范围为.
    (2)∵关于的方程有两个正实数根,,且.
    由(1)知,∵,∴,
    即,解得
    设(),
    则,
    ∴在上单调递减,∴,
    ∴,又在上单调递减,
    ∴,∴,
    要证,只需证,即证,
    ∵且,∴成立
    49.(2022年湖北黄石高三月考模拟试卷)函数,是的导函数.
    (1)若,,求函数的最小值.
    (2)对,且,证明:恒成立.
    【答案】(1)2;(2)见解析.
    解析:(1)证明:,当时,,
    令,则,,
    ∴在[0,+∞)单调递增,∴,在[0,+∞)上单调递增.
    ∴时,,
    ∵,∴为偶函数,即时,,∴的最小值为2.
    (2)


    ①,
    令,
    则①式等价于,,
    当时,,
    又∵,,∴,,
    ∴,
    令,则,∴在上单调递减,
    ∴,故.
    综上所述,对,且,恒成立
    50. (2022年河北南宫中学高三月考模拟试卷)已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)若,使得,求实数的取值范围.
    【答案】(1)单调性见解析
    (2)
    【解析】
    【小问1详解】
    由题意知:的定义域为,,
    当时,恒成立,在上单调递增;
    当时,令有,故当,则;若,则;
    在上单调递减,在上单调递增;
    综上所述:当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.
    【小问2详解】
    当时,,;,;
    恒成立,不合题意;
    当时,取,,
    则,符合题意;
    当时,若,,使得,则;
    由(1)知:;
    ,,在上单调递增,

    ,即,,解得:;
    综上所述:实数的取值范围为.
    51.(2022年河北衡水中学高三月考模拟试卷)已知函数,.
    (1)当时,
    ①求曲线在处的切线方程;
    ②求证:在上有唯一极大值点;
    (2)若没有零点,求取值范围.
    【答案】(1)①;②证明见解析
    (2)
    【解析】
    【小问1详解】
    若,则,.
    ①在处,,.
    所以曲线在处的切线方程为.
    ②令,,
    在区间上,,则在区间上是减函数.
    又,
    所以在上有唯一零点.
    列表得:





    +

    -


    极大值

    所以在上有唯一极大值点.
    【小问2详解】

    令,则.
    ①若,则,在上是增函数.
    因为,,
    所以恰有一个零点.
    令,得.
    代入,得,
    解得.
    所以当时,的唯一零点为0,此时无零点,符合题意.
    ②若,此时的定义域为.
    当时,,在区间上是减函数;
    当时,,在区间上是增函数.
    所以.
    又,
    由题意,当,即时,无零点,符合题意.
    综上,的取值范围是.
    52.(2022年河北承德市高三月考模拟试卷)已知函数.
    (1)若时,求函数在点处的切线方程;
    (2)若函数在时取得极值,当时,求函数的最小值;
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【小问1详解】
    时,,则
    则切线方程为,即.
    故答案为:.
    【小问2详解】

    因为函数在时取得极值,所以,解得,
    所以
    令,得或,
    令,解得
    则函数在上单调递增,在上单调递减,所以函数的最小值是或,
    又因为,所以.
    故答案为:.
    53.(2022年河北承德市中学高三月考模拟试卷) 已知函数,
    (1)当时,求函数的单调区间;
    (2)若函数在区间上有1个零点,求实数的取值范围;
    (3)是否存在正整数,使得在上恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,说明理由.
    【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
    【解析】
    【详解】试题分析:(1)当时,得到,求得,利用和,即可求解函数的单调区间;
    (2)由,分和两种情况分类讨论,得到函数的单调性与极值,结合函数的图象,即可求解实数的取值范围;
    (3)假设存在正整数,使得在上恒成立,分类参数得出对恒成立,设函数,求得,求得函数单调性与极值,即可求解实数的最大值.
    试题解析:
    (1)当时,,.
    令,解得,令,解得,
    ∴的单调增区间为,单调减区间为.
    (2),
    当时,由,知,
    所以,在上是单调增函数,且图象不间断,
    又,∴当时,,
    ∴函数在区间上没有零点,不合题意.
    当时,由,解得,
    若,则,故在上是单调减函数,
    若,则,故在上是单调增函数,
    ∴当时,,
    又∵,在上的图象不间断,
    ∴函数在区间上有1个零点,符合题意.
    综上所述,的取值范围为.
    (3)假设存在正整数,使得在上恒成立,
    则由知,从而对恒成立(*)
    记,得,
    设,,
    ∴在是单调增函数,
    又在上图象是不间断的,
    ∴存在唯一的实数,使得,
    ∴当时,在上递减,
    当时,在上递增,
    ∴当时,有极小值,即为最小值,,
    又,∴,∴,
    由(*)知,,又,,∴的最大值为3,
    即存在最大的正整数,使得在上恒成立.
    54. (2022年江苏镇江中学高三月考模拟试卷)已知函数.
    (1)求函数f(x)的单调区间;
    (2)若对任意的x>1,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;
    (3)证明:若函数f(x)有极值点,则f(x)必有3个不同的零点.
    【答案】(1)答案见解析
    (2)
    (3)证明见解析
    【解析】
    【小问1详解】
    定义域为

    令,即,
    (i)若,即时,在上单调递增.
    (ii)若时,在上恒成立,则有,在上单调递增.
    (iii)若时,令,则;
    当时,有;
    当时,有.
    因此在上单调递增,上单调递减,上单调递增.
    综上:时,单增区间为,无单减区间;
    时,单调递增区间为,
    单递减区间为
    【小问2详解】
    由(1)知,当时,在上单调递增,此时
    当时,在上单调递减,此时有
    这与矛盾,综上:的取值范围为.
    【小问3详解】
    由(1)知,当时,无极值点
    当时,在上单调递增,上单调递减,
    上单调递增且
    则为极大值,为极小值.

    要使有3个不同的零点,则,
    当时,,令
    ,当时,,令
    ,上各有一个零点
    另一个零点为1,共3个不同的零点.
    55. (2022年河北衡水中学高三月考模拟试卷) 已知函数,,其中.
    (1)若在上有两个不同零点,求a的取值范围.
    (2)若在上单调递减,求a的取值范围.
    (3)证明:,.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)答案见解析
    【解析】
    【小问1详解】
    ,,
    所以时,,单调递减,
    时,,单调递增,
    所以时,取最小值.
    因为在有两个不同的零点,所以,所以.
    下面验证:当时,在有两个不同的零点.
    当时,,,
    令,则,
    当时,,单调递减,
    则,
    所以,又,,
    时,单调递减,时,单调递增,
    所以在,上各有一个零点,即在有两个不同的零点.
    综上,.
    【小问2详解】
    在区间上单调递减,
    即在上恒成立,
    即在上恒成立.
    令,,
    当时,,,
    所以,即在上单调递增,
    所以当时,,所以.
    【小问3详解】
    由(2)知时,,所以,即,.
    令得,
    所以,
    即,.
    56. (2022年江苏扬州市中学高三月考模拟试卷)设函数
    (1)求函数的极值;
    (2)若方程在有两个实数解,求的取值范围;
    (3)证明:当时,.
    【答案】(1);(2);(3)证明见详解.
    【解析】
    【详解】(1)由,定义域为,


    当时,单调递增,
    当时,单调递减,
    所以为函数的极大值点,
    则函数的极值为.
    (2)由(1)知,在上单调递增,
    在上单调递减,
    又,
    ∴ .
    ∴ 当时,方程有两解.
    (3)∵ .
    ∴ 要证:只需证,
    只需证:.
    设,
    则.
    由(1)知在单调递减,
    又,
    ∴ ,
    即是减函数,而.
    ∴ ,故原不等式成立.
    57. (2022年江苏徐州市中学高三月考模拟试卷)已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)若,证明:.
    【答案】(1)当时,单调递增区间为,单调递减区间为;
    当时,单调递增区间为与,单调递减区间为;
    当时,单调递减区间为与,单调递增区间为;
    (2)详见解析.
    【解析】
    【小问1详解】

    当时,,
    当时,单调递增,
    当时, 单调递减,
    当时,,
    令得,
    当或时,单调递增,
    当时, 单调递减,
    当时,当或时, 单调递减,
    当时, 单调递增,
    综上:当时,单调递增区间为,单调递减区间为;
    当时,单调递增区间为和,单调递减区间为;
    当时,单调递减区间为和,单调递增区间为;
    【小问2详解】
    要证,即证 ,
    令,,
    令,,显然在上为增函数,
    所以,在上为增函数,
    又 ,
    ,即 ,
    当时, 为减函数,
    当时, 为增函数,

    令,显然在上为减函数,
    所以,,
    所以,,
    即当时,成立.
    58. (2022年江苏宿迁市高三月考模拟试卷)已知函数.
    (1)试判断函数零点个数;
    (2)若对,不等式恒成立,求实数的取值范围.
    【答案】(1)个
    (2)
    【解析】
    【小问1详解】
    解:函数的定义域为,,
    所以,函数为奇函数,且,
    下面确定函数在上的零点个数,
    当,记,
    记,,在上递增,
    又,在上递增,
    又,,
    所以存在唯一实数,使得,
    当时,,当时,,
    所以函数在上单调递减,在上单调递增.
    ,,
    又,所以函数在上有且只有一个零点,故函数在上有且只有一个零点,
    由奇函数的性质可知,函数在上只有一个零点,
    所以函数有三个零点.
    【小问2详解】
    解:由,可得,
    由(1)知:
    ①当时,,,
    此时,对于任意,恒成立.
    ②当时,,
    由,得,
    令,下面研究的最小值,

    令,则,令,
    对任意的成立,
    函数在上为增函数,


    又,存在唯一实数,使得,
    当时,;当时,.
    函数在上递减,在递增,

    ,函数在上递减,
    ,.
    ③当时,,
    由,得,
    由②可知,
    所以函数在上为减函数,
    当时,,
    ,综上,
    59.(2022年江苏苏州市八校联盟高三月考模拟试卷)设,函数.
    (1)求证:存在唯一零点;
    (2)在(1)的结论下,若,求证:.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)证明见解析
    【解析】
    【小问1详解】
    解法一:

    令,
    在上单调递减;上单调递增,∴,
    ∴,在上单调递增.
    当时,,
    令,∴,,
    ∴在上有唯一的零点.
    解法二:
    ∵,
    ∴,
    ∴.
    ∴当时,在内单调递减,
    当时,在内单调递增,
    ∴,∴在上单调递增,
    ∵,∴当时,存在唯一零点;
    当时,,取,


    所以,由零点存在性定理可知:,使得.
    综上,存在唯一零点.
    【小问2详解】
    由(1)中可知:,
    ∴,
    ∵,∴,
    ∴,
    令,∴,∴.
    下证:
    设,∴,∴在R上单调递减
    又,∴当时,,∴


    ∴在上单调递增
    ∴,∴在上单调递减
    再设


    ∴在上单调递增
    ∴,∴在上单调递减
    ∴,∴,当时取“=”
    综上,与在上都单调递减,且,,,∴,即得证.
    60. (2022年江苏连云港市八校联盟高三月考模拟试卷)已知函数,其导函数的图象关于轴对称.
    (Ⅰ)求实数的值;
    (Ⅱ)若函数的图象与轴有三个不同的交点,求实数的取值范围.
    【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)
    【解析】
    【详解】(Ⅰ).
    导函数的图象关于轴对称,.
    又,解得.
    .

    (Ⅱ)由(Ⅰ),得.
    令,解得.
    当 或时,, 在上分别单调递增.
    又当时,, 在上单调递减.
    的极大值为,极小值为.
    实数的取值范围为.
    61. (2022年江苏淮安市高三月考模拟试卷)已知函数
    (1)设函数,若在其定义域内恒成立,求实数a的最小值;
    (2)若方程恰有两个相异的实根,试求实数a的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【小问1详解】
    因为的定义域为,
    所以由,得在上恒成立,
    设,则,,
    当时,,单调递增,当时,,单调递减,
    所以,
    故,即,所以实数a的最小值为
    【小问2详解】
    由得,即,即,
    令,
    则,
    设,则,
    故函数在上单调递减,又,
    所以在上,故,所以单调递增,
    在上故,所以单调递减,
    所以,
    因为方程恰有两个相异的实根,所以恰有两个零点,
    结合的单调性可知,必有,即,故,
    下面证明当时,在上恰有两个零点,
    因为在上单调递增,又,,,则,故,
    又,所以,
    又,所以在上有唯一零点,即在上有唯一零点;
    因为在上单调递减,又,,,则,故,
    又,故,所以,
    令,则,故在上单调递减,
    所以,则,故,
    又,所以在上有唯一零点,即在上有唯一零点;
    综上:当时,在上有两个零点,则恰有两个相异的实根,
    故实数a的取值范围为
    62.(2022年湖南省师范大学附属中学高三月考模拟试卷)已知函数,.
    (1)若直线是曲线的切线,求的最小值;
    (2)设,若函数有两个极值点与,且,证明.
    【答案】(1);(2)证明见解析.
    【解析】
    【详解】(1)设切点,
    由得,
    因为切线为,故,所以.
    又因为,
    所以,所以,
    因此.
    令,,
    则对恒成立,
    所以在上单调递增,则,
    所以的最小值为.
    (2)因为,
    若函数有两个极值点与,
    则,,,所以;
    因此

    令,,
    则,
    构造函数,
    则在上显然恒成立,
    所以在上单调递增,则;
    所以,即,
    又,则,因此,
    所以.
    63. (2022年湖南省师长沙市高三月考模拟试卷)已知函数.
    (1)证明:.
    (2)若函数,若存在使,证明:.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)证明见解析
    【解析】
    【小问1详解】
    令,,,
    令,解得:;令,解得:,
    ∴在递增,在递减,则,
    ∴恒成立,即.
    小问2详解】
    ∵,,∴,
    令,解得:;令,解得:;
    ∴在递增,在递减.
    又∵,,,,且,.
    要证,即证.
    ∵,∴,
    又∵,∴只证即可.
    令,,
    恒成立,
    ∴在单调递增.
    又∵,∴,∴,
    即,∴.
    64. (2022年湖南省张家界市高三月考模拟试卷)已知函数,其中.
    (Ⅰ)讨论的单调性;
    (Ⅱ)设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;
    (Ⅲ)若关于的方程有两个正实根,求证:
    【答案】(Ⅰ) 当为奇数时,在,上单调递减,在内单调递增;当为偶数时,在上单调递增,在上单调递减. (Ⅱ)见解析; (Ⅲ)见解析.
    【解析】
    【详解】(Ⅰ)由,可得,其中且,
    下面分两种情况讨论:
    (1)当为奇数时:
    令,解得或,
    当变化时,的变化情况如下表:

























    所以,在,上单调递减,在内单调递增.
    (2)当为偶数时,
    当,即时,函数单调递增;
    当,即时,函数单调递减.
    所以,在上单调递增,在上单调递减.
    (Ⅱ)证明:设点的坐标为,则,,曲线在点处的切线方程为,即,令,即,则
    由于在上单调递减,故在上单调递减,又因为,所以当时,,当时,,所以在内单调递增,在内单调递减,所以对任意的正实数都有,即对任意的正实数,都有.
    (Ⅲ)证明:不妨设,由(Ⅱ)知,设方程的根为,可得
    ,当时,在上单调递减,又由(Ⅱ)知可得.
    类似的,设曲线在原点处的切线方程为,可得,当,
    ,即对任意,
    设方程的根为,可得,因为在上单调递增,且,因此.
    由此可得.
    因为,所以,故,
    所以.
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