【高考二轮题型复习】2023年高考数学题型精讲精练学案（全国通用）——专题02 函数性质（单调性、奇偶性（对称性）与周期性综合）（原卷版+解析版）

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函数的性质一直都是高考考查的热点，综合考查抽象函数或具体函数的性质是高考中的难点，该类问题常把函数的奇偶性（对称性）、单调性综合考查，如果涉及周期性难度会更大（如2022年全国乙卷12题，2022年新高考1卷12题，2022年新高考2卷第8题）。正确理解函数的四大性质（单调性（最值）、奇偶性（对称性）、周期性），只有对这些概念做到准确、深刻的理解，才能正确、灵活地加以应用。函数性质主要考查数学抽象思维与逻辑推理能力。
一、热点题型归纳
题型1、单调性与最值（值域）
题型2、奇偶性及其运用
题型3、对称性及其运用
题型4、利用单调性与奇偶性（对称性）解不等式
题型5、与三角函数结合的对称性
题型6、周期性及其运用
题型7、利用双对称（中心对称、轴对称）构造出周期性
题型8、函数四大性质综合压轴
题型9、放大镜函数（似周期函数）问题
题型10、恒成立与存在性问题
题型11、函数整数解（根）问题
二、最新模考题组练
三、十年高考真题练
【题型1】 单调性与最值（值域）
【解题技巧】
1）若或，则函数是单调增函数；
2）若或，则函数是单调减函数；
3）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，复合函数单调性——同增异减。
4）注意区分单调区间与在区间上单调。
5）单调性法是求函数最值的通法．求函数最值时，首先考虑讨论函数的单调性，除非某些特殊函数可以用其他方法求最值，如基本不等式法，配方法，导数法等。
【典例分析】
例1．（2022·成都市高三模拟（理））已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·河南洛阳市·高三模拟）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2022·安徽·高三二模）设函数，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·贵州·高三三模）设函数，则（ ）
A．是偶函数，在上单调递减B．是奇函数，在上单调递增
C．是偶函数，在上单调递增D．是奇函数，在上单调递增
3．（2022·山东高三专题练习）已知函数在上的最大值是6，则实数的值是_______.
【题型2】 奇偶性及其运用
【解题技巧】
1）是偶函数;是奇函数.
2）若函数在处有意义，则.
3）若 满足对任意实数a,b都有,则是奇函数;
4）若的定义域，且对任意，都有，则是偶函数.
5）常见复杂的奇函数：
(1)，；，；
(2)，；
(3)，，。
【典例分析】
例1．（2022·江西·高三阶段练习）设函数，若是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·河南·高三专题练习）已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
【变式演练】
1．（2021·全国新高考真题1卷）已知函数是偶函数，则______.
2．（2022·河南·偃师市高三阶段练习（理））已知函数 ，若，则（ ）
A．2B．1C．－2D．－5
3．（2022·甘肃·高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．6B．4C．2D．
【题型3】对称性及其运用
【解题技巧】函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；②；③
（2）点对称：若函数关于点对称，则
①；②；③。
（3）点对称：若函数关于点对称，则
①；②；③。
【典例分析】
例1．（2022·河南高三期中）已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·山西·高三三模）已知函数，现有下列四个命题：
①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于(，0)对称；
④f(x)的图象关于(π，0)对称.其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②③④D．①②④
【变式演练】
1．（2022·全国高三二模（理））已知是定义域为的奇函数，，当时，，则时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·高三模拟）函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，以下选项不正确的有（ ）
A．关于中心对称
B．关于中心对称
C．函数的图象关于点对称，则
D．函数的图象关于对称的充要条件是为偶函数
3．（2022·黑龙江高三三模）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【题型4】 利用单调性与奇偶性（对称性）解不等式
【解题技巧】
当题目中出现一些比较复杂的不等式（画不了图，也不方便求导分析，或含绝对值等），一般分析函数的奇偶性（对称性）和单调性，利用这些性质解决即可。
【典例分析】
例1．（2022·广东·高三二模）已知函数，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·福建高三模拟）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2022·江苏泰州市·高三模拟）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·辽宁·高三二模）设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.
3.（2021·上海高三二模）已知函数，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【题型5】 与三角函数结合的对称性
【解题技巧】
1）三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适 。
2）要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点
【典例分析】
例1.（2022.江西高三模拟）已知函数与在（，且）上有个交点，，……，，则
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2022.河南高三月考）函数在上的所有零点之和等于______.
2.（2022.江西高三期中）已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有（ ）
①函数是周期函数；②函数既有最大值又有最小值；
③函数的定义域为，且其图象有对称轴；
④对于任意的，（是函数的导函数）
A．②③B．①③C．②④D．①②③
【题型6】 周期性
【解题技巧】
1.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数），
① ，则是以为周期的周期函数；
②，则是以为周期的周期函数；
③，则是以为周期的周期函数；
④，则是以为周期的周期函数；
⑤，则是以为周期的周期函数；
⑥，则是以为周期的周期函数；.
⑦，则是以为周期的周期函数。
【典例分析】
例1．（2022·哈尔滨市高三一模）已知定义在上的函数满足时，，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
例2．（2022·全国高三模拟）已知定义在上的函数满足，当时，，则___________.
【变式演练】
1．（2018·江苏高考真题）函数满足，且在区间上，则的值为____．
2．（2022·江苏·高三一模）已知是定义在上的函数，，且对任意的，都有，，若，则（ ）
A．2020B．3C．2D．1
【题型7】 利用双对称（中心对称、轴对称）构造出周期性
【解题技巧】关于对称中心与对称轴构造周期的结论
1）若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
2）若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
3）若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
【典例分析】
例1．（2022·山东烟台市·高三模拟）已知函数的定义域为，且满足，，则的最小正周期为___________，的一个解析式可以为___________.
例2．（2018·全国高考真题（文））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2021·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·山东省高三模拟）已知偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．函数是以2为周期的周期函数B．函数是以4为周期的周期函数
C．函数为奇函数D．函数为偶函数
3.（2022·重庆高三模拟）定义在R上的奇函数满足：，且当时，，若，则实数m的值为（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【题型8】 函数四大性质综合压轴
【典例分析】
例1．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）（多选题）
A．B．C．D．
例2．（2022·广东高三专题练习）已知函数是上的偶函数，对任意的都有，当且时，都有，给出下列命题：
①；②函数在上是递增的；③函数的图像关于直线对称；
④函数在上有四个零点.其中所有真命题的序号是___________.
【变式演练】
1．（2021高考甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·成都市高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型9】放大镜函数（似周期函数）问题
【解题技巧】“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1）是从左往右放大，还是从右往左放大；
2）放大（缩小）时，要注意是否函数值有0；
3）放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
【典例分析】
例1.（2022·北京高三模拟）设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”的“似周期”为，那么它是周期为2的周期函数；
②函数是“似周期函数”；
③如果函数是“似周期函数”，那么“或”．
以上正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
例2.（2022山东高考适应性训练）已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2022·广东·高三阶段练习）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·山西大同·高三阶段练习）定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【题型10】恒成立与存在性问题
【解题技巧】
常见不等式恒成立转最值问题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
【典例分析】
1.（2022·宁夏·高三三模）已知函数是奇函数，当时，.若不等式（ 且）对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________.
2.（2022·广东·高三三模）已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2022·山西·高三三模）已知函数，.设为实数，若存在实数，使得，则的取值范围是___________.
2.（2022·吉林松原市·高三月考）已知，，若对于，使得，则实数m的取值范围是_________．
【题型11】 函数整数解（根）问题
【解题技巧】
涉及到整数解问题，一般要用到奇偶性和对称性，周期性，单调性，对学生的分析问题解决问题的能力、转化与化归能力要求较高，试题综合度高，没有固定的方法，较难
【典例分析】
例1.定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为
A．15B．16C．17D．18
例2.（2023广东高三月考）定义在R上的偶函数满足，且，若关于x的不等式在上有且仅有15个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1．（2023江苏扬州高三上学期期初检测）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．当时，的取值范围为
C．为奇函数D．方程仅有5个不同实数解
2．（2022广东高三模拟）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则_________．
3.（2023湖南邵阳高三上学期第二次月考）已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·山东高三专题练习）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
2．（2022·重庆一中高三其他模拟）已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于点对称
C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则
D．令，若，则实数的取值范围是
3．（2022·浙江·高三开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（ ）（多选题）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C． D．
4．（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．当时，的取值范围为
C．为奇函数 D．方程仅有5个不同实数解
5．（2023·甘肃·模拟预测（理））设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·模拟预测）若，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数 B．函数在上单调递增
C． D．函数在上单调递减
7．（2023·全国·高三专题练习）设的定义域为，且满足，若，则（ ）
A．2023B．2024C．3033D．3034
8．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设，函数是定义在R上的奇函数，且，在单调递增，，则（ ）
A．B．C．D．
10（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三期中）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在上是减函数D．方程仅有个实数解
13．（2021·山东泰安市·高三三模）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数是周期为4的周期函数B．
C．当时，D．不等式的解集为
13．（2022·四川·高三三模）已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：
①的图象关于对称；②的图象关于对称；③在内至少有5个零点；④若在上单调递增，则它在上也是单调递增.其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．②③④D．①③④
14．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数存在导函数，且满足，则曲线在点处的切线方程可以是___________（写出一个即可）
15．（2022·全国·高三专题练习）设，若，则＝______．
16．（2021·上海高三二模）已知函数最小值为，则____________．
17．（2022·江苏南通市·高三模拟）已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数___________.
1.（2022·全国乙（理）T12）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A. B. C. D.
2．（2022·新高考Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
3.（2020新高考山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. （2021新高考全国2卷）已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则（ ）
A. B. C. D.
5．（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全国高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·海南高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022年全国乙卷（文）第16题）若是奇函数，则_____，______．