【高考二轮题型复习】2023年高考数学题型精讲精练学案（全国通用）——专题07+导数中的恒成立与能成立问题（原卷版+解析版）

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恒成立与能成立（存在性）问题在近几年高考以及各种考试中经常出现，这类问题既含自变量又含参变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、知识交汇点多等特点。解决这类问题的关键是等价转化，通过化归为常见不等式的解法或利用函数求其最值等等来处理。其常用方法主要有：利用分离参数法、数形结合法、最值法、构造法、一元二次方程根的判别式、更换主元法等策略。本专题就导数小题中的单变量（多变量）恒成立与能成立问题和大家进行分享和交流。
一、热点题型归纳
题型1.分离参数法
题型2.切线法
题型3.数形结合法
题型4.分类讨论法
题型5.主参换位法
题型6.判别式法
题型7.等价转化法
题型8.双变量：转化为 f (x, k)min c( f (x, k)max c), x [a,b]类型
题型9.双变量：以静制动，变量依次固定转化
题型10.双变量：分离后两侧同结构，可构造新函数
题型11.双变量：分离后转化为两函数最值问题
题型12.双变量：齐次化或整体化构造
题型13.多变量转化为单变量问题
二、最新模考题组练
三、十年高考真题练
单变量恒成立问题处理策略：
1）若能完全分类变量，则构造函数，求其最值；若区间单调，临界点无意义，可用洛必达法则；
2）若只能部分分离，可用切线法；
3）若不能分类，也可采用数形结合；
4）若不能分类，分类讨论一般都能解决；
5）若不能分类，也可以变换主元，简化运算；
6）若不能分类，若能转化为二次不等式，也可使用判别式法；
7）若函数结构过于复杂上述方法都不合适也可用等价转化法，转化能用上述六种方法解决即可。
恒成立（能成立）问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在平时的训练中不断领悟和总结，在解决此类问题的能力上得到改善和提高。【题型1】分离参数法
【解题技巧】
1）利用分离参数法来确定不等式,（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤: = 1 \* GB3 ①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式； = 2 \* GB3 ②求在上的最大（或最小）值；若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”； = 3 \* GB3 ③解不等式(或) ,得的取值范
2)重要结论
≥f(x)恒成立⇔≥f(x)max；≤f(x)恒成立⇔≤f(x)min ；
≥f(x)能成立⇔≥f(x)min；≤f(x)能成立⇔≤f(x)max。
3）参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。
【典例分析】
1.（2022广西高三摸底）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·广东·高三模拟）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2022·重庆·高三月考）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2.（2023.山西高三期中）若对恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））若，不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【题型2】切线法
【解题技巧】把恒成立问题，转化为直线与曲线的位置关系，可通过直线与曲线相切求参数的临界值。
【典例分析】
1.（2022·成都市·高三模拟）已知函数,若对任意, 恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【变式演练】
1.（2022·山西·高三模拟）设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022江西高三期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型3】数形结合法
【解题技巧】
对于参数不能单独放在一侧的，即不能用分离参数法解决问题时，可以利用函数图象来解。利用数形结合解决恒成立问题：应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围。
函数的不等关系与图象特征：
（1）若，均有的图象始终在的下方
（2）若，均有的图象始终在的上方
利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：
（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图；（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义；（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征。
【典例分析】
1．（2022·湖北·荆门二模）设且，若对恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·河北·高三模拟）已知函数，若存在，使得，则实数的值为______．
【变式演练】
1.（2022·河南·高三期中）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
2．（2022·河南·襄城县二模）已知函数，若，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·陕西宝鸡·三模（理））定义在R上的函数f（x）满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．[，＋∞） B．[，＋∞） C．[，＋∞） D．[，＋∞）
【题型4】分类讨论法
【解题技巧】
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解：如果能转化为二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)来进行分类讨论。
【典例分析】
1.（2022·江苏扬州·模拟预测）已知为正整数，若对任意，不等式成立，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式演练】
1.（2022·辽宁·鞍山模拟预测）已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆·高二期末）已知，不等式对恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·广东广州·三模）对于任意都有，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型5】主参换位法
【解题技巧】在解决含多个变量的不等式恒成立问题时，有时可以通过“更换主元”构造适当的函数，利用函数的图像和性质解决问题，使问题更加明朗化。
【典例分析】
1．（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________.
【变式演练】
1.（2022·江苏·南京高三期中）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．
2.若不等式对任意恒成立,实数x的取值范围是 .
【题型6】利用一元二次方程的判别式法
【解题技巧】
有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成一元二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
1）若转化的恒成立问题定义域为R，则直接用判别式和开口方向解决；
不等式对任意实数恒成立⇔或
不等式对任意实数恒成立⇔或
2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法
方法1：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）；
方法2：转化为函数范围问题，即已知函数的范围为，则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即．
【典例分析】
1、已知，若，恒成立，求：的取值范围；
【变式演练】
1.已知定义在上的奇函数满足:当时,,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【题型7】等价转化法
【典例分析】
1．（2022·福建·厦门高三阶段练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖北模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_______________ .
【变式演练】
1．（2022·全国·一模（理））已知函数，，若≥恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．（2022·湖北·随州市高三阶段练习）已知函数，，对，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
多变量恒成立问题处理策略：
“多变量含参恒成立”问题 ，例如，恒成立，可等价转化为，，但参数 k 的“掺和”往往使函数的最值变得不确定，不可避免地要经分类讨论，进一步使整个解题过程显得繁琐不堪。其实，“含参恒成立”问题也可用“参变量分离” 的方法处理：将等价变形为，则等价于再解关于k的不等式即可,下面就多变量恒成立问题进行剖析。
常见多变量恒成立（能成立）的转化：
= 1 \* GB3 ①∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min
= 2 \* GB3 ②∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max
= 3 \* GB3 ③∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min
= 4 \* GB3 ④∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max
= 5 \* GB3 ⑤， ， 使得成立，则；
= 6 \* GB3 ⑥， ，均使得成立，则；
= 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦，，均使得成立，则。（其中，）。
【题型8】 双变量：转化为 f (x, k)min c( f (x, k)max c), x [a,b]类型
【典例分析】
1．（2022山西第四次模拟）函数对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2022·四川·成都模拟（理））设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_______.
2．（2022广东高三月考）已知函数 若存在实数，，使得 ．且，则实数的取值范围是________________ .
【题型9】双变量：以静制动，变量依次固定转化
【典例分析】
1．（2022·安徽高三阶段练习（理））设函数.当时，若不等式对所有的都成立，则实数的取值范围 .
【变式演练】
1．（2023江西高三调研）已知函数（）.若对任意，恒成立，则实数的取值范围 .
2．（2022广东高三模拟）已知，函数.)若，对任意的，不等式：恒成立，则的最小值 .
【题型10】双变量：分离后两侧同结构，可构造新函数
【典例分析】
1．（2022·湖北·仙桃高三阶段练习）已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2022·福建福州·高三期中）已知函数，对任意的实数，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022山东高三一模）已知函数，若对于内的任意两个数，，当时，恒成立，则实数的取值范围 ．
3．（2022.山西高三模拟）已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围 .
【题型11】双变量：分离后转化为两函数最值问题
【典例分析】
1．（2022吉林长春高三期中）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数a的取值范围是______．
【变式演练】
1．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，当，时，，，若对，，，，使得，则正实数的取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【题型12】双变量：齐次化或整体化构造
【典例分析】
1．（2022成都市高三模拟）若对于任意的正实数x，y，都有ln≤成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2022·河南·高三阶段练习（文））若不等式对任意x>0恒成立，则正实数m的最大值为（ ）
A．2B．eC．3D．e2
2．（2022·广东·惠州市光正实验学校高三阶段练习）已知函数，若对于任意，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广西北海·一模（理））已知，若，恒成立，则正数m的最小值是（ ）
A．B．1C．D．e
【题型13】多变量转化为单变量问题
【典例分析】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2022·重庆·高二期末（理））函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023山东省聊城市第二中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题）若函数，若对任意不同的实数､､，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
3．（2022湖南高三月考）已知函数.若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.
1．（2022·全国·高三（理））已知函数，若，成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·重庆八中模拟预测）已知函，（为自然对数底数，……），若对成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
4．（2022·辽宁沈阳·三模）已知函数的图象恒在的图象的上方，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知为正整数，若对任意，不等式成立，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（2022·辽宁·建平县模拟预测）已知函数，若存在实数使不等式成立，则a的取值范围为( )
A．B．C．D．
7．（2022·安徽·合肥高三阶段练习）已知函数，，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·安徽·肥东学模拟预测（文））已知函数，，若对任意的存在，使，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·浙江高三期中）若存在使对于任意不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·四川成都·高三期中（理））若（且）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·山西晋城·三模（理））已知函数，若对任意，，恒成立，则m的最大值为（ ）
A．－1B．0C．1D．e
12．（2023·江苏·高二专题练习）（多选题）已知函数f（x）=ax2﹣x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，若不等式恒成立，则t的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
13．（山西省运城市2022届高三检测）当时，不等式恒成立，则实数k的取值范围是__．
14．（2020·河北·石家庄二中高二期中）已知函数，任取x1,x2∈[t,t+1]，若不等式|f(x1)-f(x2)|