冀教版九年级下册29.4 切线长定理教案设计

这是一份冀教版九年级下册29.4 切线长定理教案设计，共15页。教案主要包含了模拟试题等内容，欢迎下载使用。
                                 切线长定理一. 本周教学内容：    切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段［学习目标］  1. 切线长概念    切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。  2. 切线长定理    对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。  3. 弦切角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。    直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）  4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。  5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。  6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。  7. 与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理 ⊙O中，AB、CD为弦，交于PPA·PB＝PC·PD连结AC、BD，证：△APC∽△DPB相交弦定理的推论 ⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于PPC2＝PA·PB用相交弦定理切割线定理 ⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论 PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理 ⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证  8. 圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。   例1. 如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。图1    解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE    设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理        ∴，，       例2. ⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。图2    解：由相交弦定理，得    AE·BE＝CE·DE    ∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，    ，    ∴，    即    ∴CE＝3cm或CE＝4cm。    故应填3或4。    点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。   例3. 已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。    解：∵∠P＝∠P    ∠PAC＝∠B，    ∴△PAC∽△PBA，    ∴，    ∴。    又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得        ∴，    即  ，    故应填PC。    点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。   例4. 如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。图3    解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4    ∴PB＝4PA    又∵PC＝12cm    由切割线定理，得    ∴    ∴，    ∴    ∴PB＝4×6＝24（cm）    ∴AB＝24－6＝18（cm）    设圆心O到AB距离为d cm，    由勾股定理，得        故应填。   例5. 如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。图4    点悟：要证，即要证△CED∽△CBE。    证明：（1）连结BE        （2）。    又∵，    ∴厘米。    点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。   例6. 如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。图5    求证：    证明：连结BD，    ∵AE切⊙O于A，    ∴∠EAD＝∠ABD    ∵AE⊥AB，又AB∥CD，    ∴AE⊥CD    ∵AB为⊙O的直径    ∴∠ADB＝90°    ∴∠E＝∠ADB＝90°    ∴△ADE∽△BAD    ∴    ∴    ∵CD∥AB        ∴AD＝BC，∴   例7. 如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB图6    点悟：由结论AD·BC＝CD·AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC    证明：∵PA切⊙O于A，    ∴∠PAD＝∠PBA    又∠APD＝∠BPA，    ∴△PAD∽△PBA    ∴    同理可证△PCD∽△PBC    ∴    ∵PA、PC分别切⊙O于A、C    ∴PA＝PC    ∴    ∴AD·BC＝DC·AB   例8. 如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。图7    求证：BC＝2OE。    点悟：由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。而OA＝OB，只须证AE＝CE。    证明：连结OD。    ∵AC⊥AB，AB为直径    ∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D    ∴EA＝ED，OD⊥DE    ∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB    在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B    ∵∠ODE＝90°    ∴    ∴∠C＝∠EDC    ∴ED＝EC    ∴AE＝EC    ∴OE是△ABC的中位线    ∴BC＝2OE   例9. 如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。    当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；图8    解：由∠DEF＝45°，得    ，    ∴∠DFE＝∠DEF    ∴DE＝DF    又∵AD＝DC    ∴AE＝FC    因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。    又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG。    因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点。 【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题  1. 已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（    ）    A.    B.    C. 5    D. 8  2. 下列图形一定有内切圆的是（    ）    A. 平行四边形    B. 矩形    C. 菱形      D. 梯形  3. 已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（    ）图1    A. 50°   B. 40°   C. 60°   D. 55°  4. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（    ）    A. 8cm   B. 10cm   C. 12cm   D. 16cm  5. 在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（    ）    A.     B.     C.     D.   6. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（    ）    A. 20   B. 10   C. 5   D.  二、填空题  7. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。  8. 已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。  9. 若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，，则PC的长为_____________。  10. 正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则_____________。 三、解答题  11. 如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。图2  12. 如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。图3  13. 如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半径。图4 
[参考答案]一、选择题  1. A   2. C   3. A   4. B   5. B 6. A 二、填空题  7. 90   8. 1   9. 30  10.  三、解答题：  11. 由切线长定理得△BDE周长为4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm  12. 证明：连结AC，则AC⊥CB    ∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1    ∵PC为⊙O的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，    ∴BC平分∠DCP  13. 设BM＝MN＝NC＝xcm    又∵        ∴    又∵OA是过切点A的半径，∴OA⊥AB即AC⊥AB    在Rt△ABC中，由勾股定理，得，    由割线定理：，又∵    ∴          ∴半径为。       感谢您下载使用【班海】教学资源。班海——老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！