高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行课时练习

8.5 空间直线、平面的平行

【教材课后习题】

1.选择题

（1）若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是(   ).

A.内的所有直线都与a异面 B.内不存在与a平行的直线

C.内的直线都与a相交 D.直线a与平面有公共点

（2）如果直线平面，，那么过点P且平行于直线a的直线(   ).

A.只有一条，不在平面内 B.有无数条，不一定在内

C.只有一条，且在平面内 D.有无数条，一定在内

2.已知平面和直线a，b，c，且，，，，则与的位置关系是_________.

3.如图，在长方体木块中，面上有一点P，怎样过点P画一条直线与棱CD平行?

4.如图，在长方体中，E，F分别是AB，BC的中点，求证.

5.如图，在四面体中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：

（1）平面EFG；

（2）平面EFG.

6.如图，a，b是异面直线，画出平面，使，且，并说明理由.

7.如图，，，，，求证.

8.如图，直线，，相交于点O，，，求证：平面平面.

9.如图，E，分别为长方体的棱AD，的中点，求证.

10.如图，，，，，求证.

11.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.

已知：，，，，

求证：.

12.一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，在木块表面应该怎样画线？

13.如图，，直线a与b分别交于点A，B，C和点D，E，F，求证.

14.如图，a，b是异面直线，，，，，求证.

15.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，有下面五个命题：

（1）有水的部分始终呈棱柱形；

（2）没有水的部分始终呈棱柱形；

（3）水面EFGH所在四边形的面积为定值；

（4）棱，始终与水面所在平面平行；

（5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值.

其中所有正确命题的序号是________，为什么?

【定点变式训练】

16.已知平面平面，直线，，直线，且b与c相交，则a和b的位置关系是(   )

A.平行  B.相交

C.异面  D.上述三种都有可能

17.如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是(   )

A.当时，四边形EFGH是平行四边形

B.当时，四边形EFGH是梯形

C.当时，四边形EFGH是平行四边形

D.当时，四边形EFGH是梯形

18.如图，在各棱长均为1的正三棱柱中，M，N分别为线段，上的动点，且平面，则这样的MN有(   )

A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条

19.如图，在棱长为2的正方体中，M是的中点，P是侧面上的动点，且平面，则线段MP长度的取值范围是(   )

A. B. C. D.

20.已知直线a和平面，那么能得出的一个条件是(   )

A.存在一条直线b，且 B.存在一条直线b，且

C.存在一个平面，且 D.存在一个平面，且

21.如图，在三棱柱中，D是BC的中点，E是上一点，且平面，则的值为_______________.

22.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为___________________.

23.如图，E是棱长为1的正方体的棱上的一点，且平面，则线段CE的长度为________________.

24.如图，在正方体中，P，Q分别是平面，平面的中心，证明：

（1）平面；

（2）平面平面.

25.如图所示，已知ABCD为梯形，，，M为线段PC上一点.

（1）设平面平面，证明：.

（2）在棱PC上是否存在点M，使得平面MBD？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由.

答案以及解析

1.答案：（1）D

（2）C

解析：

2.答案：平行或相交

解析：

3.答案：见解析

解析：在面内，过点P作直线EF，使，分别交棱，于点E，F，则EF就是过点P与棱CD平行的直线.

4.答案：见解析

解析：证明：连接AC.在长方体中，，

四边形为平行四边形..

又E，F分别是AB，BC的中点，，.

5.答案：（1）见解析

（2）见解析

解析：（1）F，G分别是BC，CD的中点，

.

平面EFG，平面EFG，

平面EFG.

（2）E，F分别是AB，BC的中点，.

平面EFG，平面EFG，平面EFG.

6.答案：见解析

解析：在直线a上取一点O，过点O作，则由a与确定的平面即为所求.

理由：如答图，，，且，所以.

7.答案：见解析

解析：，.

，，.同理，于是.

8.答案：见解析

解析：与相交于点O，.

又，，，

，.

又平面，平面，

平面.同理可证平面.

又平面ABC，平面ABC，，

平面平面.

9.答案：见解析

解析：连接.

E，分别是AD，的中点，

.

又在长方体中，.

，.

四边形与都是平行四边形.

，.

.

10.答案：见解析

解析：如图，连接CD.

，A，B，C，D共面，

平面ABDC，平面ABDC，ABDC.

，，，

平面.

，，

四边形ABDC是平行四边形，.

11.答案：见解析

解析：如图，过直线a作平面，使.

，.

又，.

，，.

12.答案：见解析

解析：如图，过平面VAC内一点P作直线，交VA于点D，交VC于点E.

过平面VBA内一点D作直线，交AB丁点F，

过平面VBC内一点E作直线，交BC于点M，连接FM，则DE，DF，EM，MF就是应画线.

13.答案：见解析

解析：如图，连接AF交于点M，连接MB，CF，ME，AD.因为，平面，乎面，所以，所以.同理，且，所以.

14.答案：见解析

解析：过b作平面交于直线.因为，，，所以.因为，，所以.又a与相交，，所以.

15.答案：（1）（2）（4）（5），原因见解析

解析：原因：因为平面平面，所以有水的部分和无水的部分始终有两个面平行，而其余各面都易证是平行四边形，所以（1）（2）是正确的.在题图（1）中，水面面积，在题图（2）中，水面面积，而题图（1）中的EF小于题图（2）中的EF，则，所以（3）是错误的.易知（4）是正确的.因为水的体积一定，形成的柱体的高度始终是BC，所以底面的面积一定，即是一个定值，即是一个定值，所以（5）是正确的.

16.答案：C

解析：若a与b平行，因为，所以，与b与c相交矛盾，所以A错；若a和b相交，因为直线，直线，平面平面，则a，b，c相交于同一点处，这与矛盾，所以B错；因为两条直线的位置关系有平行，相交，异面这三种情况，故a和b只能异面.故选C.

17.答案：D

解析：如图所示，连接BD.，，且.同理，，且..当时，，四边形EFGH是平行四边形.选项A，C正确，D错.当时，，四边形EFGH是梯形，选项B正确.

18.答案：D

解析：如图，过线段上任一点M作，交AB于点H，过点H作交BC于点G，过点G作的平行线，与一定有交点N，且平面，则这样的MN有无数条.故选D.

19.答案：B

解析：取CD的中点N，的中点R，的中点H，连接MN，NR，MR，MH，RH，则，，平面平面，平面MNRH，线段MP扫过的图形是.，，，，，是直角.线段MP长度的取值范围是.故选B.

20.答案：C

解析：在选项A，B，D中，均有可能a在平面内，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，故C正确.

21.答案：

解析：连接交于点F，连接EF.因为平面平面，平面，所以，所以.因为，所以，所以.

因为D是BC的中点，所以，所以.

22.答案：平行四边形

解析：由题知，平面平面CDHG，平面平面，平面平面，所以.同理可得，所以四边形EFGH是平行四边形.

23.答案：

解析：如图，连接交于点O，连接EO，则O为的中点.因为平面，平面，平面平面，所以，故E为的中点，所以.在中，.故答案为.

24.答案：（1）见解析

（2）见解析

解析：（1）由题可知.

平面，平面，平面.

（2）由题可知.

平面，平面，平面.

由（1）知，平面，又，

平面平面.

25.答案：（1）见解析

（2）存在点M，使得平面MBD，此时，理由见解析

解析：（1）因为，平面PDC，平面PDC，

所以平面PDC.又因为平面平面，且平面PAB，所以.

（2）存在点M，使得平面MBD，

此时.理由如下：

连接AC交BD于点O，连接MO.

因为，所以.

又，所以.

又因为，，

所以.又因为平面MBD，平面MBD，

所以平面MBD.