第八章 立体几何初步 —2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册单元巩固练习

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第八章 立体几何初步 复习参考题【教材课后习题】1.从多面体角度去考察棱柱、棱锥、棱台，填写下列表格：多面体顶点数V棱数E面数Fn棱柱    n棱锥    n棱台    2.在直四棱柱中，，，，，，.（1）画出四棱柱的直观图；（2）将四棱柱补成一个长方体，并说出补上的几何体的名称.3.填空题（1）正方体的棱长扩大到原来的n倍，则其表面积扩大到原来的______倍，体积扩大到原来的______倍；（2）球的半径扩大到原来的n倍，则其表面积扩大到原来的______倍，体积扩大到原来的______倍.4.如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积V（单位：cm）表示为x（单位：cm）的函数.5.三个平面可将空间分成几部分?请分情况说明.6.已知是三个平面，且，，.（1）若，求证：a，b，c三线共点.（2），则a与c，b与c有什么关系?为什么?7.如图，四边形是在平面上的投影（），求证：四边形是平行四边形.8.如图，一块正方体形木料的上底面有一点E.若经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直，则应该怎样画？9.如图，在三棱锥中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点.求证：（1）平面PAC；（2）.10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将，，分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点.（1）求证；（2）求三棱锥的体积.11.如图，在四面体中，平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.求证：平面BCD.12.如图，在正方体中，求证：（1）平面；（2）与平面的交点H是的重心.13.如图，在三棱锥中，，PA上底面ABC.（1）求证：平面平面PBC；（2），M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值.14.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.15.从直线a，b和平面这三个空间元素中任取两个，若已知它们与第三个元素有平行或垂直关系，则所取的两个元素是否也有平行或垂直关系?你能得到哪些结论?写出一些你认为重要的.如果三个元素分别是直线m、平面和，你能得到哪些结论?16.已知m，n为异面直线，平面，平面.若直线l满足，，，，则(   ).A.，  B.与相交，且交线平行于lC.，  D.与相交，且交线垂直于l【定点变式训练】17.在正方体中，E是的中点.若，则点B到平面ACE的距离等于(   )A. B. C. D.318.如图，在四棱锥中，侧面底面，侧面为等边三角形，底面为正方形，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(   )A. B. C. D.19.已知a，b为两条不同直线，为两个不同的平面，给出以下四个命题：①若，则；②，则；③若a，b是异面直线，，则；④若，则或a，b是异面直线.其中假命题的个数是(   )A.0 B.1 C.2 D.320.如图，在长方体中，，，E，F，M分别为，，的中点，过点M的平面与平面DEF平行，且与长方体的面相交，则交线围成的平面图形的面积为(   )A. B. C.12 D.2421.已知圆锥的底面半径为2，高为1，经过圆锥顶点的平面α截此圆锥所得的截面面积为，则平面α与底面所成的锐二面角的正切值为(   )A. B.1 C.或 D.或122.如图，在正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，的中点，过E，F，G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是(   )A.在平面内存在直线与平面EFG平行B.在平面内存在直线与平面EFG垂直C.平面平面EFGD.直线与EF所成角为45°23.已知四棱锥SABCD的底面是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，，则四棱锥的外接球的表面积为(   ).A. B. C. D.24.如图，在直四棱柱中，底面ABCD是正方形，.记异面直线与BD所成的角为，则的值为________.25.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________.26.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法不正确的序号是______________.①平面EOF；②平面EOF；③；④；⑤平面平面AOF.27.如图，三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的表面积为_______________.28.如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，M，N分别是BC，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线AB与平面所成角的余弦值.29.如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱上，.（1）证明：平面；（2）若，，求四棱锥的体积.30.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面，(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD.(2)求证：平面PCD.(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.
答案以及解析1.答案：多面体顶点数V棱数E面数Fn棱柱2n3n2n棱锥2n2n棱台2n3n2解析：2.答案：（1）四棱柱的直观图如图（1）.（2）补成的长方体如图（2），补上的几何体是三棱柱.解析：3.答案：（1）；（2）；解析：4.答案：解析：由题意，得，，且四边形ABCD为正方形，，..5.答案：三个平面可将空间分成4或6或7或8部分，它们的直观图如图：解析：6.答案：（1）见解析（2），.原因见解析解析：（1），，，，.又，，O为与的公共点.又，，a，b，c三线共点.（2）解：，，原因如下：，，，.，，，.同理可证.7.答案：见解析解析：，与确定平面，与确定平面.且平面.又在中，，平面，平面.又，平面，平面，平面平面.易知平面，平面，.同理，四边形是平行四边形.8.答案：见解析解析：如图，连接.在上底面过点E㤰直线即可.因为面，所以，根据作法知.又因为，所以平面，所以.9.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）D，E分别是AB，PB的中点，.又平面PAC，平面PAC，平面PAC（2）底面ABC，底面ABC，.又，.平面PBC.平面PBC..10.答案：（1）见解析（2）解析：（1）折叠前，，，折叠后，，，又，平面，.（2）由（1）可知，平面，棱锥的高.又折前为，E，F分别为AB，BC的中点，..11.答案：见解析解析：在CD上取点E，使，连接QE，，，且.取BD的中点F，连接PF，EF，P为BM的中点，.M是AD的中点，..四边形PQEF是平行四边形..又平面BCD，平面BCD.平面BCD.12.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）如图所示，连接BD，，则.平面，.又，平面.平面，，同理.，平面.（2）连接，CH，，由，得，因此点H为的外心.又为正三角形，点H是的重心.13.答案：（1）见解析（2）解析：（1）底面ABC，底面ABC，.又，即.，平面PAC.平面PBC，平面平面PBC.（2）取PC的中点D，连接AD，DM...由（1）知，平面PAC，又平面PAC，.而，平面PBC.DM是斜线AM在平面PBC上的射影.就是AM与平面PBC所成的角，目.设，则由M是PB中点得，..即AM与平面PBC所成角的正切值为.14.答案：（1）见解析（2）解析：（1）在正方形ABCD中，，又侧面底面ABCD，侧面底面.平面PAD.平面PAD，.是正三角形，M是PD的中点，.又，平面PCD.（2）解：取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF.则，.又在正中，.，平面PEF.正方形ABCD中，，平面PEF.是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角.由平面PAD，，平面PAD.平面PAD，.设正方形ABCD的边长，则，.，，即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为.15.答案：见解析解析：对直线a，b和平面：①，；②，；对直线m、平面和：①，；②，.16.答案：B解析：若，则由平面，平面，可得，这与m，n是异面直线矛盾，故与相交.设，过空间内一点P，作，，与相交，与确定的平面为.因为，所以，，因为，，所以，，所以，，所以，又因为，，所以l与a不重合所.以.17.答案：B解析：在正方体中，，E是的中点，则，，，.设点B到平面ACE的距离为h，由，得，解得.故选B.18.答案：D解析：如图，连接，相交于点O.∵四边形为正方形，为的中点.连接为的中点，，且(或其补角)为异面直线与所成角.由题易知.∵平面平面，平面平面平面.又平面.设，则，∴在中，由余弦定理的推论得，故选D.19.答案：B解析：若，则，故①正确；若，当时，无法得到，故②错误；若a，b是异面直线，，则，故③正确；若，则或a，b是异面直线，故④正确，故选B.20.答案：A解析：如图，取的中点N，连接MN，AN，AC，CM，，则四边形MNAC为所求图形.因为，所以四边形为平行四边形，所以.又M，N分别为，的中点，所以，故，且，所以四边形MNAC为梯形，.过点M作交AC于点P.因为，所以.在中，，所以梯形MNAC的面积为.故选A.21.答案：D解析：如图，设圆锥的顶点为P，底面圆的圆心为O，平面α与圆O的交点分别为，过点P作于点H，连接.由题意可知，平面α截此圆锥所得的截面为等腰三角形，且点H为的中点.设，则在中，，在中，，所以的面积.整理，得，解得或(负值已舍去).因为平面α与底面所成的锐二面角即为，所以或.故选D.22.答案：D解析：设BD交AC于点O，EF交BD于点P，连接，PG.因为，，所以.因为平面EFG，平面EFG，所以平面EFG.又平面，故A正确.连接，.因为平面，所以.又，所以.因为平面，所以.又，，所以平面，所以.又，所以.因为，所以平面EFG.又平面，故B正确.因为，，EG，平面EFG，，平面EFG，所以平面EFG，平面EFG.又因为平面，平面，，所以平面平面EFG，故C正确.因为，为等边三角形，故直线与AC所成角为60°，即直线与EF所成角为60°，故D不正确.故选D.23.答案：C解析：如图所示，连接AC，BD交于点O，取AD的中点E，连接SE，OE，因为且，所以，又由平面平面ABCD，可得平面ABCD，所以，则，又，可得外接球的球心为O，半径，所以四棱雉的外接球的表面积.故选C.24.答案：解析：连接，因为在直四棱柱中，底面ABCD是正方形，所以，所以是异面直线与BD所成的角(或所成的角的补角)，设，所以，记异面直线与BD所成的角为，则.25.答案：解析：如图，正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，点E，F，G，H分别为线段PA，PB，PC，PD的中点，O为底面中心，，，，故圆柱的高为1.设EG与OP交于点I，则I为正方形EFGH外接圆的圆心，，以点O，I为上下底面圆心的圆柱的体积.26.答案：②解析：依题意，得，，，平面EOF，故①正确，②错误.由①知，平面EOF，又平面EOF，，故③正确.由①可得.又，，平面AOF.又平面AOF，，故④正确.由④及平面AOE，得平面平面AOF，故⑤正确.故答案为②.27.答案：解析：如图，取AB中点O，连接OD.在中，由，，，得，则.又平面平面BCD，且平面平面，平面BCD，则.在中，，，，则.，平面ACD，得.则O为三棱锥的外接球的球心，则外接球的半径，球O的表面积为.故答案为.28.答案：（1）见解析（2）解析：（1）因为，且M为BC的中点，所以.在正三棱柱中，平面平面ABC，平面ABC，且平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为M，N分别为BC，的中点，所以.又因为，，所以，所以，，所以，所以.又因为平面，平面，，所以平面.（2）设，连接AO.由（1）可知平面，所以为AB与平面所成的角.连接AN，由题可知，所以为等腰三角形，作于E，则E为AB的中点，所以，所以.在中，，所以，所以直线AB与平面所成角的余弦值为.29.答案：（1）见解析（2）四棱锥的体积为18解析：（1）由已知得平面，平面，故.又，所以平面.（2）由（1）知.由题设知，所以，故，.作，垂足为F，则平面，且.所以，四棱锥的体积.30.答案：(1)见解析.(2)见解析.(3)正弦值为.解析：(1)连接BD，易知，又由，故，又因为平面平面PAD，所以平面PAD.(2)取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得，又因为平面平面PCD，平面平面，所以平面PAC，又平面PAC，故，又因为，所以平面PCD.(3)连接AN，由(2)中平面PAC，可知为直线AD与平面PAC所成的角.因为为等边三角形，且N为PC的中点，所以，又，在中，，所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.