高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线达标测试

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一、选择题
双曲线方程为x2－2y2＝2，则它的左焦点坐标为( )
A.(－eq \f(\r(2),2)，0) B.(－eq \f(\r(5),2)，0) C.(－eq \f(\r(6),2)，0) D.(－eq \r(3)，0)
【答案解析】答案为：D
解析：双曲线标准方程为eq \f(x2,2)－y2＝1，∴c2＝2＋1＝3.∴左焦点坐标为(－eq \r(3)，0).
方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线，则m的取值范围为( )
A.﹣2＜m＜2 B.m＞0 C.m≥0 D.|m|≥2
【答案解析】答案为：A；
解析：∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2﹣m)＞0.∴﹣2＜m＜2.
双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是( )
A．(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－eq \r(2))，(0，eq \r(2)) D．(0，－2)，(0,2)
【答案解析】答案为：B；
以eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1 C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1
【答案解析】答案为：D
解析：方程可化为eq \f(y2,12)－eq \f(x2,4)＝1，∴焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2eq \r(3))．
从而椭圆方程中，a＝4，c＝2eq \r(3)，∴b＝2.∵焦点在y轴上，∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1.
双曲线eq \f(x2,10)－eq \f(y2,2)＝1的焦距为( )
A.3eq \r(2) B.4eq \r(2) C.3eq \r(3) D.4eq \r(3)
【答案解析】答案为：D
解析：由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，则2c＝4eq \r(3).故选D.
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,9)＝1(a＞0)与双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(10) C.4 D.eq \r(34)
【答案解析】答案为：C.
解析：因为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,9)＝1(a＞0)与双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1有相同的焦点(±eq \r(7)，0)，
则有a2－9＝7，∴a＝4.选C.
双曲线2x2﹣y2＝8的实轴长是( )
A.2 B.2eq \r(2) C.4 D.4eq \r(2)
【答案解析】答案为：C
解析：将双曲线2x2﹣y2＝8化成标准方程eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,8)＝1，则a2＝4，所以实轴长2a＝4.
已知方程eq \f(x2,m2＋n)﹣eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A.(﹣1,3) B.(﹣1，eq \r(3)) C.(0,3) D.(0，eq \r(3))
【答案解析】答案为：A
解析：根据双曲线的焦距，建立关于n的不等式组求解.
若双曲线的焦点在x轴上，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋n>0，,3m2－n>0.))又∵(m2＋n)＋(3m2﹣n)＝4，
∴m2＝1，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋n>0，,3－n>0，))∴﹣1＜n＜3.
若双曲线的焦点在y轴上，
则双曲线的标准方程为eq \f(y2,n－3m2)﹣eq \f(x2,－m2－n)＝1，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－3m2>0，,－m2－n>0，))
即n＞3m2且n＜﹣m2，此时n不存在.故选A.
椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点，则a的值为( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.3
【答案解析】答案为：A.
解析：由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且a＞0.∵4﹣a2＝a＋2，∴a2＋a﹣2＝0，
∴a＝1或a＝﹣2(舍去).故选A.答案为：A
若k＞1，则关于x，y的方程(1﹣k)x2＋y2＝k2﹣1所表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线
【答案解析】答案为：C.
已知F是双曲线C：x2﹣eq \f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,2)
【答案解析】答案为：D；
解析：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，
得4﹣eq \f(y2,3)＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，
又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝eq \f(1,2)|PF|·|AP|＝eq \f(1,2)×3×1＝eq \f(3,2).
已知双曲线的两个焦点分别为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1 C.x2－eq \f(y2,4)＝1 D. eq \f(x2,4)－y2＝1
【答案解析】答案为：D.
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在Rt△PF1F2中m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，
由双曲线定义知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16.∴4a2＝16.∴a2＝4，b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
二、填空题
已知(2,0)是双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.
【答案解析】答案为：eq \r(3).
解析：[因为(2,0)是双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的一个焦点，所以1＋b2＝4，则b＝eq \r(3).]
设m是常数，若点F(0,5)是双曲线eq \f(y2,m)－eq \f(x2,9)＝1的一个焦点，则m＝__________.
【答案解析】答案为：16.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线eq \f(y2,m)－eq \f(x2,9)＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，
解得m＝16.
已知P是双曲线eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1上一点，F1，F2是双曲线两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|值为_____.
【答案解析】答案为：33.
解析：由双曲线方程eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1知，a＝8，b＝6，则c＝eq \r(a2＋b2)＝10.
∵P是双曲线上一点，∴||PF1|－|PF2||＝2a＝16，
又|PF1|＝17，∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.又|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33.
已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则 SKIPIF 1 < 0 的值等于________.
【答案解析】答案为：eq \f(4,5).
三、解答题
已知曲线eq \f(x2,16－m)－eq \f(y2,m)＝1.
(1)当曲线是椭圆时，求实数m的取值范围，并写出焦点坐标；
(2)当曲线是双曲线时，求实数m的取值范围，并写出焦点坐标.
【答案解析】解：(1)曲线为椭圆
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－m>0,－m>0,16－m≠－m))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m