数学1 等腰三角形同步练习题

这是一份数学1 等腰三角形同步练习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A.55°，55° B.70°，40°或70°，55°
C.70°，40° D.55°，55°或70°，40°
2.如果等腰三角形的一个底角为α，那么( )
A.α不大于45° B.0°＜α＜90° C.α不大于90° D.45°＜α＜90°
3.如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是( )
A.∠B＝∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB＝2BD
4.如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为( )
A.45° B.52.5° C.67.5° D.75°
5.等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是( )
A.25° B.40° C.25°或40° D.不能确定
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( )
A.BD＝CE B.AD＝AE C.DA＝DE D.BE＝CD
7.如图，把长方形纸片 ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么有下列说法：
①△EBD 是等腰三角形，EB＝ED；
②折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等；
③折叠后得到的图形是轴对称图形；
④△EBA 和△EDC 一定是全等三角形.
其中正确的有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个
8.如图，D为BC上一点，且AB＝AC＝BD，则图中∠1与∠2关系是( )
A.∠1＝2∠2 B.∠1＋∠2＝180°
C.∠1＋3∠2＝180° D.3∠1﹣∠2＝180°
9.下列图案是由斜边相等的等腰直角三角形按照一定的规律拼接而成的.依此规律，第8个图案中的三角形与第一个图案中的三角形能够全等的共有________个.( )
A.49 B.64 C.65 D.81
10.如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是( )
A.(eq \f(1,2))n•75° B.(eq \f(1,2))n﹣1•65° C.(eq \f(1,2))n﹣1•75° D.(eq \f(1,2))n•85°
11.如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC面积为( )
A.4cm2 B.5cm2 C.6cm2 D.7cm2
12.等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD与点N．
下列结论：
①BD＝CE；②∠BPE＝180°-2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，则PE＝AP+PD．
其中一定正确的结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
13.等腰三角形的一边长是6，另一边长是3，则周长为 .
14.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝56°，CD＝CB，则∠ABD＝ .
15.如图，已知△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC.若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为 .
16.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE大小为 .
17.在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的(60°，60°)，已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的(45°，45°)，已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的(30°，30°).由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的.
马彪同学的结论是 的.(填“正确”或“错误”)
18.如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F.
给出下列四个结论：
①AE＝CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③EF＝AB；
④S四边形AEPF＝eq \f(1,2)S△ABC，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合).
上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).
三、解答题
19.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝CD，AD＝DB，求∠BAC的度数.
20.如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线OB与∠ACB的角平分线OC相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N.
(1)请写出图中所有的等腰三角形，并给予证明；
(2)若AB＋AC＝14，求△AMN的周长.
21.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F.
求证：CE＝CF.
22.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E.
(1)求证：CB＝CE；
(2)若∠CEB＝80°，求∠DBC的大小.
23.在△ABC中，AB＝AC.
(1)如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝
(2)如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝
(3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：
(4)如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由.
24.如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD.
(1)求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE.
(2)猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明.
25.如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F.
①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系(写出推理过程)？
②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？
③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系(请直接写出).
答案
D
B
D.
C
C
C
C.
D.
B.
C.
B.
C
答案为：15.
答案为：17°.
答案为：14cm.
答案为：45°.
答案为：错误.
答案为：①②④
解：∵AB＝AC，DA＝DB，
∴∠B＝∠C＝∠BAD，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD，
又∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2∠B＝2∠C，
∴∠CAD＝2∠C，
在△ACD中，∠C＋∠CDA＋∠CAD＝180°，
∴2∠C＋2∠C＋∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
∴∠BAD＝36°，∠CAD＝2∠C＝72°，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝36°＋72°＝108°.
解：(1)△MBO和△NOC是等腰三角形，
∵OB平分∠ABC，
∴∠MBO＝∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠MBO＝∠MOB，
∴MO＝MB，
同理可证：ON＝NC，
∴△MBO和△NOC是等腰三角形；
(2)∵OB平分∠ABC，
∴∠MBO＝∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠MBO＝∠MOB，
∴MO＝MB，
同理可证：ON＝NC，
∵△AMN的周长＝AM＋MO＋ON＋AN，
∴△AMN的周长＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝14.
证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°
∵BF平分∠ABC
∴∠CBF＝∠DBE
∵∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB
∴∠CFB＝∠DEB
∵∠FEC＝∠DEB
∴∠CFB＝∠FEC
∴CE＝CF
解：(1)证明：∵BD⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠C＝90°，∠DBC＋∠C＝90°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵∠CBE＝∠CBD＋∠DBE，∠CEB＝∠A＋∠ABE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CB＝CE.
(2)∵∠CEB＝∠CBE＝80°，
∴∠C＝180°﹣2×80°＝20°，
∵∠CDB＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣20°＝70°.
解：(1)∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝15°.
(2)∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠EDC＝20°.
(3)∠BAD＝2∠EDC(或∠EDC＝0.5∠BAD)
(4)仍成立，理由如下
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD＋∠B＝∠ADC
＝∠ADE＋∠EDC
＝∠AED＋∠EDC
＝(∠EDC＋∠C)＋∠EDC
＝2∠EDC＋∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠BAD＝2∠EDC.
故分别填15°，20°，∠EDC＝0.5∠BAD
解：(1)①∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
由①知AB＝AD，
又∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
(2)∠BDC＝eq \f(1,2)∠BAC，
∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，
∴∠DBC＝eq \f(1,2)∠ABC，∠DCE＝eq \f(1,2)∠ACE，
∵∠BDC＋∠DBC＝∠DCE，
∴∠BDC＋eq \f(1,2)∠ABC＝∠ACE，
∵∠BAC＋∠ABC＝∠ACE，
∴∠BDC＋eq \f(1,2)∠ABC＝eq \f(1,2)∠ABC＋eq \f(1,2)∠BAC，
∴∠BDC＝eq \f(1,2)∠BAC.
解：(1)CD＝PE＋PF，
理由：如图1，连接PA，
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F
∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB×CD，S△PAB＝eq \f(1,2)AB×PE，S△PAC＝eq \f(1,2)AC×PF，
又∵S△ABC＝S△PAB＋S△PAC
∴eq \f(1,2)AB×CD＝eq \f(1,2)AB×PE＋eq \f(1,2)AC×PF，
∵AB＝AC
∴CD＝PE＋PF；
(2)①中关系还成立，
理由：连接PA，
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F
∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB×CD，S△PAB＝eq \f(1,2)AB×PE，S△PAC＝eq \f(1,2)AC×PF，
又∵S△ABC＝S△PAB＋S△PAC
∴eq \f(1,2)AB×CD＝eq \f(1,2)AB×PE＋eq \f(1,2)AC×PF，
∵AB＝AC
∴CD＝PE＋PF；
(3)结论：PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD，
如图2，连接PA，
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F
∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB×CD，S△PAB＝eq \f(1,2)AB×PE，S△PAC＝eq \f(1,2)AC×PF，
又∵S△ABC＝S△PAC﹣S△PAB
∴eq \f(1,2)AB×CD＝eq \f(1,2)AC×PF＋eq \f(1,2)AB×PE，
∵AB＝AC，
∴CD＝PF﹣PE；
如图3，过点C作CG⊥PE于G，
∵PE⊥AB，CD⊥AB，
∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°.
∴四边形CGED为矩形.
∴CD＝GE，GC∥AB.
∴∠GCP＝∠B.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP.
在△PFC和△PGC中，
，
∴△PFC≌△PGC(AAS)，
∴PF＝PG.
∴PE﹣PF＝PE﹣PG＝GE＝CD；