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高考数学三轮冲刺小题必练9 立体几何(2份打包,教师版+原卷版)
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1.掌握球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.3.能借助长方体,认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系.4.能从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系.5.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 1.【2020年新高考全国Ⅰ卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为),地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角,点处的水平面是指过点且与垂直的平面.在点处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点处的纬度为北纬,则晷针与点处的水平面所成角为( )A. B. C. D.2.【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 一、选择题.1.设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若,,则②若,,,则③若,,则④若,,则其中正确命题的序号是( )A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④2.在正方体中,如图,、分别是正方形、的中心.则过点、、的截面是( )A.正三角形 B.正方形 C.梯形 D.直角三角形3.某三棱锥的三视图如图所示,如果网格纸上小正方形的边长为,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.4.如图,正三角形为圆锥的轴截面,为的中点,为弧的中点,则直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.5.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,则下列命题中,错误的是( )A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则或6.如图所示,正方体中,分别为棱,的中点,则在平面内与平面平行的直线( )A.不存在 B.有条 C.有条 D.有无数条7.如图,在四面体中,截面是正方形,则在下列命题中,错误的为( )A. B.截面C. D.异面直线与所成的角为8.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为的等边三角形,若球的体积为,则直线与平面所成角的正切值为( )A. B. C. D.9.如图,正方体中,为底面的中心,为棱的中点,则下列结论中错误的是( )A.平面 B.平面C.二面角等于 D.异面直线与所成的角等于10.在平面五边形中,,,,,且.将五边形沿对角线折起,使平面与平面所成的二面角为,则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积为( )A. B. C. D.11.如图,在四棱锥中,底面为菱形,,侧面为正三角形,且平面平面,则下列说法错误的是( )A.在棱上存在点使平面B.异面直线与所成的角为C.二面角的大小为D.平面12.在棱长为的正方体中,是内(不含边界)的一个动点,若,则线段的长的取值范围为( )A. B. C. D. 二、填空题.13.已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是_______.14.一个长方体被一平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .15.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,点,分别为,的中点,则平面将四棱锥所分成的上下两部分的体积的比值为 .16.已知三棱锥中,满足,,,则当三棱锥体积最大时,直线与夹角的余弦值是 .
1.【答案】B【解析】画出截面图如下图所示,其中是赤道所在平面的截线;是点处的水平面的截线,依题意可知;是晷针所在直线,是晷面的截线,依题意依题意,晷面和赤道平面平行,晷针与晷面垂直,根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得.由于,,所以,由于,所以,也即晷针与点处的水平面所成角为.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化,考查球体有关计算,涉及平面平行,线面垂直的性质.2.【答案】B【解析】依题意是空间不过同一点的三条直线,当在同一平面时,可能,故不能得出两两相交;当两两相交时,设,,,根据公理可知,确定一个平面,而,,根据公理可知,直线即,所以在同一平面,综上所述,“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查公理和公理的运用. 一、选择题.1.【答案】A【解析】对于①,因为,所以经过作平面,使,可得,又因为,,所以,结合得.由此可得①是真命题;对于②,因为且,所以,结合,可得,故②是真命题;对于③,设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线,而平面是正方体下底面所在的平面,则有且成立,但不能推出,故③不正确;对于④,设平面、、是位于正方体经过同一个顶点的三个面,则有且,但是,推不出,故④不正确,综上所述,其中正确命题的序号是①和②.2.【答案】A【解析】如下图所示,连接、、,由于、分别为正方形、的中心,则、分别为、的中点,所以,过点、、三点的截面为,易知为正三角形.因此,过点、、三点的截面为正三角形.3.【答案】A【解析】由三视图还原几体何体如图,三棱锥是从长为,宽为,高为的长方体中截得,所以.4.【答案】C【解析】如图所示,取中点,中点,连接,则,所以就是直线与所成角,设,则,,,可得,,则,因为为弧的中点,可得,进而可得平面,因为平面,所以,在直角中,可得,即直线与所成角的余弦值为.5.【答案】A【解析】对于A:若,则或,故A错误,BCD正确.6.【答案】D【解析】平面与平面有公共点,由公理知平面与平面必有过的交线,在平面内与平行的直线有无数条,且它们都不在平面内,由线面平行的判定定理可知它们都与平面平行.7.【答案】C【解析】因为截面是正方形,所以、,则平面、平面,所以,,由可得,故A正确;由可得截面,故B正确;异面直线与所成的角等于与所成的角,故D正确.8.【答案】A【解析】设的中心为,为的中点,过作,则为的中点,∴是直线与平面所成角.∵是边长为的等边三角形,∴,∵,∴,∴,∴,∴.9.【答案】C【解析】对于A,连接,交于,则四边形为平行四边形,故,∵平面,平面,∴平面,故正确;对于B,连接,因为为底面的中心,为棱的中点,∴,易证平面,则平面,故正确;对于C,因为,,则为二面角的平面角,显然不等于,故错误;对于D,∵,∴为异面直线与所成的角,为等边三角形,,故正确.10.【答案】C【解析】设的中心为,矩形的中心为,过作垂直于平面的直线,过作垂直于平面的直线,则由球的性质可知,直线与的交点,即几何体外接球的球心.取的中点,连接,,由条件得,.连接,因为,从而.连接,则为所得几何体外接球的半径.又,则,故所得几何体外接球的表面积等于.11.【答案】D【解析】解:如图,对于,取的中点,连接,∵侧面为正三角形,∴,又底面是菱形,,∴是等边三角形,∴,又,,平面,∴平面,故A正确;对于B,∵平面,∴,即异面直线与所成的角为,故B正确;对于C,∵平面平面,,平面,∴,,∴是二面角的平面角,设,则,,在中,,即,故二面角的大小为,故C正确;对于D,假设平面,则,又依题意平面平面,,则平面,故,而,相交,且在平面内,故平面,与平面矛盾,因此与平面不垂直,故D错误.12.【答案】C【解析】由正方体的性质可知,是正四面体,且正四面体的棱长为,∵在内,∴的最大值为,的最小值是到平面的距离,设在平面的射影为,则为正三角形的中心,,,∴的最小值为,又因为不在三角形的边上,所以的范围是. 二、填空题.13.【答案】【解析】设圆锥底面半径为,母线长为,则,解得,.14.【答案】【解析】根据几何体的三视图得该几何体的体积为长宽高分别为,,的长方体体积的一半,即体积为.15.【答案】【解析】设四棱锥的体积为,连接,,则下面部分几何体的体积为,其中,,所以,则上面部分几何体的体积为,故平面将四棱锥所分成的上下两部分的体积的比值为.16.【答案】【解析】如图所示,因为的面积为定值,所以当平面平面时,三棱锥体积最大,过作,过作,所以为与所成角或补角.过点作交于,则平面,所以平面,即,因为,,,所以为直角三角形,所以,,因为,,,所以为直角三角形,,所以,则,,所以,因此直线与夹角的余弦值是.
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