高考数学二轮专题大题优练2 解三角形(2份打包，教师版+原卷版)

例1．如图，在中，，，点D在线段上．

（1）若，求的长；

（2）若，且，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，且，

∴，∴．

（2）∵，故算得，，，

在中，利用正弦定理有，

在中，有，∴，

∵，∴，

∴．

例2．已知的内角，，的对边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长．

【答案】（1）；（2）6．

【解析】（1）因为，

所以，

所以，

因为，所以，

因为，所以．

因为，所以．

（2）因为，的面积为，

所以，解得，

由余弦定理，得，

所以，所以．

所以的周长为6．

例3．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，

可得，

由正弦定理得，即，

由余弦定理，得，

因为，可得．

（2）由（1）知，设三角形的外接圆的半径为，可得，

又由余弦定理得，

即，当且仅当时取等号，

又由

，

其中是外接圆的半径，

所以的最小值为．

例4．在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，

补充到下面的横线上并作答．

问题：的内角的对边分别为，已知             ．

（1）求；

（2）若为的中点，，求的面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）选择条件①：，

由正弦定理得．

又在中，，

．

又，，，即，

又，．

选择条件②：

，

由正弦定理得．

又，，，

即，

，即，

又，．

（2）由题意知，

，即．

又，（当且仅当时等号成立）．

由三角形面积公式可知，

的面积的最大值为．

1．在中，内角，，所对的边分别为，，，若．

（1）求角A的大小；

（2）若，，点在边上，且，求及．

【答案】（1）；（2），．

【解析】（1）由正弦定理，原式可化为，

即，

∴，

∵，∴，∴，

又，∴．

（2）由余弦定理可得，∴，

∵点在边上，且，∴，

又，

∴，∴．

2．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．

（1）求角A；

（2）若的面积，求a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知结合正弦定理可得，

即，

则由余弦定理可得，

，．

（2），则，

由，当且仅当时等号成立，

．

3．在中，，，分别为角，，的对边，且．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

由正弦定理得，

又，

所以，

所以．

因为，所以，所以．

因为，所以．

（2）由（1）得，

根据题意得，解得．

在中，由正弦定理得，

所以．

因为，所以，

所以，所以．

故的取值范围为．

4．在①；②；③，

这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．

在中，内角，，的对边分别为，，，且________．

（1）求；

（2）若，求面积的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）方案一：选条件①．

由正弦定理可知，

即，

即．

，，

，．

又，．

方案二：选条件②．

由，

得，

整理得．

，，，

又，．

方案三：选条件③．

由及正弦定理得，

，

，，

．

，，

，

，，

，．

（2）由可得，．

由及余弦定理可得，

由基本不等式得，．

的面积（当且仅当时取等号），

面积的最大值为．

5．在中，内角A、B、C对应的边长分别为，且满足．

（1）求；

（2）若，求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意得，

正弦定理边化角得，

所以，

所以，

又，所以，，

所以，

又因为，所以，所以．

（2）由（1）可得，

由余弦定理得，

所以，

由基本不等式可得，

所以，解得，

当且仅当时等号成立，所以的最大值为．

6．如图，在四边形中，，，．

（1）求；

（2）若，求周长的最大值．

【答案】（1）；（2）12．

【解析】（1）在中，，

，

利用正弦定理得，

，

又为钝角，为锐角，．

（2）在中，由余弦定理得，

解得或（舍去），

在中，，

设，，

由余弦定理得，

即，整理得，

又，，

利用基本不等式得，即，

即，当且仅当时，等号成立，即，

所以，

所以周长的最大值为12．

7．已知函数．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）在锐角中，角所对的边分别．若，，为的中点，

求的最大值．

【答案】（1）递减区间；（2）．

【解析】（1），

由，解得，

所以递减区间．

（2），得，

为锐角三角形，，

，，，

由余弦定理得，，

且，

两式相加得，

由，

当时，等号成立，

即的最大值为，所以的最大值为．

8．在中，内角、、的对边分别为、、．已知．

（1）求角；

（2）若，在边上，且，，求．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

由正弦定理得，

因为代入上式得，

即，

因为，所以，

又因为是三角形内角，所以．

（2）如图所示：

由题知，

即，，，

即，解得．