北师大版初中数学八年级下册期中测试卷（困难）（含答案解析）

这是一份北师大版初中数学八年级下册期中测试卷（困难）（含答案解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北师大版初中数学八年级下册期中测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第一，二，三单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=22AB，②AE2+BF2=EF2，③S四边形CEDF=12SΔABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是(    )
A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
2. 如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=48∘，点O为△ABC内一点，∠OAB=12∘，∠OBC=18∘，则∠ACO=(    )

A. 60∘ B. 72∘ C. 70∘ D. 65∘
3. 在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(1,1)，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有(    )
A. 8个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
4. 若关于x的不等式组3x+12−4x+23>1,2(m−x)≥4.无解，则m的取值范围是
A. m≤9 B. m≥9 C. m≥5 D. m≤−5
5. 若关于x的不等式组x2+x+13>03x+5a+4>4(x+1)+3a恰有三个整数解，则a的取值范围是(    )
A. 1≤a<32 B. 132
6. 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高(    )
A. 40% B. 33.4% C. 33.3% D. 30%
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠EPF=90°，P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，现给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形PEAF=12S△ABC；④EF=AP，其中所有正确结论的序号为(    )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
8. 如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，使点P′在△ABC内，已知∠AP′B=135°，若连接P′C，P′A：P′C=1：4，则P′A：P′B=(    )
A. 1：4
B. 1：5
C. 2：30
D. 1：15
9. 如图，等边△ABC中，AB=10，E为AC中点，F，G为AB边上动点，且FG=5，则EF+CG的最小值是(    )
A. 57 B. 56 C. 53+5 D. 15
10. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD=110°，则∠ACB的度数为(    )

A. 40° B. 35° C. 60° D. 70°
11. 数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]=3，[2]=2，[−2.1]=−3，给出如下结论：
①[−x]=−x；
②若[x]=n，则x的取值范围是n≤x ③当−1 ④x=−2.75是方程4x−2[x]+5=0的唯一一个解．
其中正确的结论有(    )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
12. 如图，已知△OAB是正三角形，OC⊥OA，OC=OA.将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OB与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是(    )


A. 150° B. 120° C. 90° D. 60°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是______(填序号)．


14. 商店购进一批文具盒，进价每个4元，零售价每个6元，为促销决定打折销售，但利润率仍然不低于20％，那么该文具盒实际价格最多可打______折销售．
15. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=1，点D为边AB上一个动点，将△CDB沿CD翻折，得到△CDBˈ(其中C，D，B′，A在同一平面内)，∠ADBˈ=30°，则AD=____．
16. 在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，点D在AB边上，连接CD，CD=13，则线段AD的长为____．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE.求证：EF=2DE．
18. (本小题8.0分)
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF.求证：AC=DF.(说明：此题的证明过程需要批注理由)

19. (本小题8.0分)
已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，AB=10，D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，F是AB的中点，连接EF．

(1)如图，点D在线段CB上．
 ①求证：△AEF≌△ADC;
 ②连接BE，设线段CD=x，BE=y，求y2−x2的值．
(2)当∠DAB=15∘时，求△ADE的面积．
20. (本小题8.0分)
某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的54倍．4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮科销售额为250000元，荔枝味饮料销售额为280000元．
(1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价；
(2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的32；不多于桔子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？
21. (本小题8.0分)
在抗击新冠肺炎的非常时期，某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务，要求在8天之内(含8天)生产A型和B型两种型号的口罩共5万只，其中A型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产A型口罩每天能生产0.6万只，若生产B型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元．若设该厂在这次任务中生产了A型口罩x万只．
(1)该厂生产A型口罩可获利润______万元，生产B型口罩可获利润______万元．
(2)设该厂这次生产口罩的总利润是y万元，试写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(3)在完成任务的前提下，如何安排生产A型和B型口罩的只数，使获得的总利润最大，最大利润是多少？
(4)若要在最短时间内完成任务，如何来安排生产A型和B型口罩的只数？最短时间是几天？
22. (本小题8.0分)
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？(直接写出答案)

23. (本小题8.0分)
如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
(1)求∠PCQ的度数；
(2)当AB=4，AP=2时，求PQ的大小；
(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A，C重合)，求证：2PB2=PA2+PC2．

24. (本小题8.0分)
如图，在方格网中已知格点△ABC和点O.画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称．

25. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于点A(3,0)，点B(0,3)．

(1)求直线AB的解析式;
(2)若点C是线段AB上的一个动点，当△AOC的面积为3时，求出此时点C的坐标;
(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得△COP是等腰三角形?若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明△ADE≌△CDF是关键．连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE=CF，进而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，由勾股定理就可以求出结论．
【解答】
解：连接CD，

∵AC=BC，点D为AB中点，∠ACB=90°，
∴AD=CD=BD=12AB.∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°．
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∵∠EDC+∠CDF=∠GDH=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
{∠A=∠DCFAD=CD∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，DE=DF，SΔADE=SΔCDF．
∵AC=BC，
∴AC−AE=BC−CF，
∴CE=BF．
∵AC=AE+CE，
∴AC=AE+BF．
∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=22AB，
∴AE+BF=22AB.故①正确；
∵DE=DF，∠GDH=90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形．故④正确；
∵CE2+CF2=EF2，
∴AE2+BF2=EF2.故②正确；
∵S四边形CEDF=SΔEDC+SΔCDF，
∴S四边形CEDF=SΔEDC+SΔADE=12SΔABC，故③正确；
∴正确的有①②③④．
故选D．
  
2.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一性质添加辅助线是解题的关键．根据已知易证CA=CB，所以想到等腰三角形的三线合一性质，过点C作CD⊥AB于点D，延长BO交CD于点P，然后连接AP，易证∠CAP=∠CBP=18°，从而求出∠PAO=18°，再利用三角形的外角求出∠POA的度数，放在直角三角形中求出∠ACP的度数，进而得出△ACP≌△AOP，可得AC=AO，最后放在等腰三角形ACO中求出∠ACO即可．
【解答】
解：过点C作CD⊥AB于点D，延长BO交CD于点P，连接AP，如图：

∵∠OBC=18°，∠CBA=48°，
∴∠ABP=∠CBA−∠OBC=30°．
∵∠CAB=∠CBA=48°，
∴CA=CB．
∵CD⊥AB，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=30°，
∴∠CAP=∠CAB−∠PAB=18°．
∵∠AOP是△AOB的一个外角，
∴∠AOP=∠OAB+∠OBA=42°．
∵∠CDA=90°，
∴∠ACD=90°−∠CAD=42°，
∴∠AOP=∠ACD．
∵∠PAB=30°，∠OAB=12°，
∴∠PAO=∠PAB−∠OAB=18°，
∴∠CAP=∠OAP．
在△ACP和△AOP中，
∠ACP=∠AOP,∠CAP=∠OAP,AP=AP,
∴△ACP≌△AOP(AAS)，
∴AC=AO．
∵∠CAO=∠CAP+∠OAP=36°，
∴∠ACO=∠AOC=(180°−∠CAO)÷2=72°．
故选：B．  
3.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．此题应该分情况讨论．以OA为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有2个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个，即可得．
【解答】
解：如图所示：

(1)若AO作为腰时，有两种情况，
①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个；
②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有2个；
(2)若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．
以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个．
故选B．
  
4.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．首先解第一个不等式，然后根据不等式组无解确定m的范围．
【解答】
解：3x+12−4x+23>1①2m−x≥4②，
解不等式①得：
x>7，
解不等式②得：
x≤m−2，
∵不等式组无解，
∴m−2≤7，
故答案是：m≤9．
故选A．
  
5.【答案】B 
【解析】解：解不等式x2+x+13>0，得：x>−25，
解不等式3x+5a+4>4(x+1)+3a，得：x<2a，
∵不等式组恰有三个整数解，且−25 ∴这三个整数解为0、1、2，
∴2<2a≤3，
解得1 故选B．
先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数a的取值范围．
此题考查的是一元一次不等式组的解法和特殊解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了．

6.【答案】B 
【解析】解：设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为(1+x)b元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ab元，但在售出时，水果只剩下(1−10%)a千克，售货款为(1−10%)a(1+x)b=0.9a(1+x)b元，根据公式：利润率=(售货款−进货款)÷进货款×100%可列出不等式：
(1−10%)a×(1+x)b⩾(1+20％)ab
解得x≥13≈33.3％，
∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%．
故选B．


7.【答案】A 
【解析】根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF，证△APE≌△CPF，推出AE=CF，EP=PF，推出SAPE=S△CPF，求出S四边形AEPF=S△APC=12S△ABC，求出BE+CF=AE+AF>EF，即可得出答案．
解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPF−∠APF=∠APC−∠APF，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中，
∠EAP=∠FCP=45°AP=AP∠APE=∠CPF,
∴△APE≌△CPF(ASA)，
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴①正确；②正确；
∵△APE≌△CPF，
∴SAPE=S△CPF，
∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=12S△ABC，
∴③正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=12BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，
故④错误；
即正确的有①②③，
故选：A．
本题考查了等腰直角三角形性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．

8.【答案】C 
【解析】
【分析】
      连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP=∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的2倍，代入整理即可得解．
      本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P′A、P′C以及P′B长度的2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．
【解答】
解：如图，连接AP，

∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵BP=BP′∠ABP=∠CBP′AB=CB,
∴△ABP≌△CBP′(SAS)，
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：4，
∴AP=4P′A，
连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=2PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°−45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A=x，则AP=4x，
∴PP′=AP2−P′A2=15x，
∴P′B=PB=302x，
∴P′A：P′B=2：30，
故选：C．  
9.【答案】A 
【解析】解：如图：作C点关于AB的对称点C′，取BC的中点Q，连接C′Q，交AB于点G，此时CG+EF最小，作C′H⊥BC交BC的延长线于点H，

∵BC=BC′=10，∠CBC′=120°，
∴HC′=53，HB=5，
∴HQ=10，
∴C′Q=75+100=57，
∴EF+CG的最小值是57．
故选：A．
作C点关于AB的对称点C′，取BC的中点Q，连接C′Q，交AB于点G，此时CG+EF最小，作C′H⊥BC交BC的延长线于点H，再根据等边三角形的性质和勾股定理可得答案．
本题考查等边三角形的性质，能够利用图形的对称作出辅助线是解题关键．

10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，属于常考题．
连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC=∠B′AC，∠DAE=∠B′AE，即可得出∠CAE=12∠BAD，再根据三角形内角和定理，即可得到答案．
【解答】
解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，

∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∴∠BAC=∠B′AC，
∵AB=AD，
∴AD=AB′，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE=∠B′AE，
∴∠CAE=12∠BAD=55°，
又∵∠AEC=90°，
∴∠ACB=∠ACB′=35°，
故选B．  
11.【答案】B 
【解析】解：因为[−3.1]=−4≠−3，所以[−x]≠−x，故①错误；
若[x]=n，则x的取值范围是n≤x 当−1 当x=0时，[1+x]+[1−x]=1+1=2，
当0 由题意，得0≤x−[x]<1，
4x−2[x]+5=0，
2x−[x]+52=0，
x−[x]=−x−52，
∴0≤−x−52<1，
∴−3.5 当−3.5 解得x=−3.25；
当−3≤x≤−2.5时，方程变形为4x−2×(−3)+5=0，
解得x=−2.75；
所以−3.25与−2.75都是方程4x−2[x]+5=0的解．故④是错误的．
故选：B．
①可举反例；②可根据题意中的规定判断；③当−1 本题考查了不等式组、方程的解法．题目难度较大．理解题意和学会分类讨论是解决本题的关键．

12.【答案】A 
【解析】解：∵△OAB是正三角形，
∴∠BOA=60°，
∵OC⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠BOC=∠BOA+∠AOC=60°+90°=150°，
即旋转角是150°，
故选：A．
根据等边三角形的性质求出∠BOA，根据垂直求出∠AOC，求出∠BOC即可．
本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质，能求出∠BOC的度数是解此题的关键．

13.【答案】①②③ 
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握对角互补模型−旋转型全等是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等，想到过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作PF⊥OB，垂足为F，证明△PEM≌△PFN，Rt△PEO≌Rt△PFO，即可一一解答．
【解答】
解：过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作PF⊥OB，垂足为F，

∴∠PEO=90°，∠PFO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠EPF=360°−∠AOB−∠PEO−∠PFO=60°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠MPN=180°−∠AOB=60°，
∴∠MPN−∠EPN=∠EPF−∠EPN，
∴∠MPE=∠NPF，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
在△MEP和△NFP中，
∠PEM=∠PFNPE=PF∠MPE=∠NPF,
∴△MEP≌△NFP(ASA)，
∴PM=PN，ME=NF，
故①正确；
在Rt△PEO和Rt△PFO中，
OP=OPPE=PF
∴Rt△PEO≌Rt△PFO(HL)，
∴OE=OF，
∴OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE，
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=12∠AOB=60°，
∴∠EPO=90°−∠EOP=30°，
∴PO=2OE，
∴OM+ON=OP，
故②正确；
∵△MEP≌△NFP，
∴四边形PMON的面积=四边形PEOF的面积，
∴四边形PMON的面积保持不变，
故③正确；
∵PM=PN，∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
∵MN的长度是变化的，
∴△PMN的周长是变化的，
故④错误；
所以，说法正确的是：①②③，
故答案为：①②③．  
14.【答案】8 
【解析】解：设可以打x折出售此商品，由题意得：6×x10−4≥20%×4，
解得：x≥8，
答：该文具盒实际价格最多可打8折，
故答案为：8
由题意可知：利润率为20%时，获得的利润为4×20%=0.8元；若打x折该商品获得的利润=该商品的标价×x10−进价，列出不等式，解得x的值即可．
本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．

15.【答案】3−1或2−3 
【解析】解：①如图，点B′在直线AB的上方时，过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠ADB′=30°，∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠BDB′=180°−30°=150°，∠B=30°，
∵将△CDB沿CD翻折，得到△CDB′，
∴∠CDB=∠CDB′=12(360°−150°)=105°，
∴∠BCD=180°−105°−30°=45°，

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，
∴AB=2，BC=3，
设AD=x，则BD=2−x，
在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠B=30°，
∴DE=12BD=1−12x，EB=3DE=3−32x，
在Rt△CDE中，∠DEC=90°，∠DCE=45°，
∴CE=DE=1−12x，
∴CE+EB=BC，
∴1−12x+3−32x=3，
解得x=3−1；
②点B′在直线AB的下方，如图2：

根据图形翻折的性质可得，∠CDB′=∠CDB=180°−∠ADB′2=180°−30°2=75°
∴∠BCD=180°−∠CDB−∠B=180°−75°−30°=75°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC=3，
∴AD=AB−BD=2−3，
综上所述，AD=3−1或2−3．
故答案为：3−1或2−3．
本题主要考查了翻折变换，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，解答本题的关键是根据题意准确作出辅助线；根据题意分两种情况，①点B′在直线AB的上方，②点B′在直线AB的下方，然后利用含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，分情况求出AD的长，即可求解．

16.【答案】2或6 
【解析】
【分析】
此题考查等腰三角形的性质和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
首先过C作CE⊥AB垂足为E，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理求出CE的长，再根据勾股定理求出DE的长，分类讨论即可求出AD的长．
【解答】
如图1，过C作CE⊥AB垂足为E，

∵AC=BC=5，AB=8，
∴AE=BE=12AB=4，
在Rt△ACE中，CE=AC2−AE2=52−42=3，
在Rt△DCE中，CD=13，DE=CD2−CE2=(13)2−32=2，
∴AD=AE−DE=4−2=2；
如图2，过C作CE⊥AB垂足为E，

∵AC=BC=5，AB=8，
∴AE=BE=12AB=4，
在Rt△BCE中，CE=BC2−BE2=52−42=3，
在Rt△DCE中，CD=13，DE=CD2−CE2=(13)2−32=2，
∴AD=AE+DE=4+2=6．
故答案为2或6．  
17.【答案】(1)解：直线l即为所求．                             
分别以AB为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．
                                           

(2)证明：在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∠ABC=60°．
又∵l为线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=30°，∠AED=∠BED=60°，
∴∠EBC=30°=∠EBA，∠FEC=60°．
又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED=EC.                        
在Rt△ECF中，∠FEC=60°，∴∠EFC=30°，
∴EF=2EC，∴EF=2ED. 
【解析】本题主要考查了直角三角形中有一个角是30度，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
(1)按照画线段垂直平分线的方法做出即可
 (2)∠A=30°易证∠F=30°，因而EF=2EC.要证EF=2DE，只要证明EC=DE，而根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到．


18.【答案】证明：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线(已知)，
∴AE=BE，∠EDB=90°(线段垂直平分线的性质)，
∴∠EAB=∠EBA=15°(等边对等角)，
∴∠AEC=30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
Rt△EDB中，∵F是BE的中点(已知)，
∴DF=12BE(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)，
Rt△ACE中，∵∠AEC=30°(已知)，
∴AC=12AE(直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半)，
∴AC=DF(等量代换)． 
【解析】先根据线段垂直平分线的性质得：AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．
本题考查了直角三角形含30度角的性质、直角三角形斜边中线及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键，属于基础题．

19.【答案】(1)①证明：在Rt△ABC中，
∵∠B=30°，AB=10，
∴∠CAB=60°，AC=12AB=5，
∵点F是AB的中点，
∴AF=12AB=5，
∴AC=AF，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠EAD=60°，
∵∠CAB=∠EAD，即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB，
∴∠CAD=∠FAE，
在△AEF和△ADC中，
AD=AE∠CAD=∠FAEAC=AF
∴△AEF≌△ADC(SAS)；
②∵△AEF≌△ADC，
∴∠AEF=∠C=90°，EF=CD=x，
又∵点F是AB的中点，
∴AE=BE=y，
在Rt△AEF中，勾股定理可得：y2=25+x2，
∴y2−x2=25
(2)①当点在线段CB上时，
由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形，
∴AD2=50，
△ADE的面积为2532；
②当点在线段CB的延长线上时，
由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，BD=BA=10，
∴在Rt△ACD中，勾股定理可得AD2=200+1003，
△ADE的面积为503+75，
综上所述，△ADE的面积为2532或503+75． 
【解析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，熟练掌握勾股定理．
(1)①在直角三角形ABC中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再由F为AB中点，得到AC=AF=5，确定出三角形ADE为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，砸由AD=AE，利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEF为直角，EF=CD=x，在三角形AEF中，利用勾股定理即可列出y关于x的函数解析式及定义域；
(2)分两种情况考虑：①当点在线段CB上时；②当点在线段CB的延长线上时，分别求出三角形ADE面积即可．

20.【答案】解：(1)设每瓶荔枝味饮料的售价为x元，则每瓶桔子味饮料的售价为54x元，
根据题意得：25000054x+280000x=60000，
解得：x=8，
经检验，x=8是原方程的解，且符合题意，
∴54x=10，
答：每瓶桔子味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元．
(2)设销售荔枝味饮料m瓶，则销售桔子味饮料(12000−m)瓶，
根据题意得：m≥32(12000−m)m≤2(1200−m)，
解得：7200≤m≤8000，
设总销售额w元，则w=10×0.7×(12000−m)+6m=−m+84000，
∵w是m的一次函数，且K=−1<0，
∴当m=7200时，销售额最大，w最大值是76800元． 
【解析】(1)根据题意找到等量关系，根据等量关系列分式方程求解即可．
(2)根据题意找不等关系列出不等式组，求出解集，再列出销售数量与销售额的函数关系，在求出的解集的范围内求销售额的最大值即可．
本题考查了分式方程的应用、不等式组的应用和一次函数求最值的应用问题，能找出等量关系和不等关系，列出分式方程和不等式组是出本题的关键．

21.【答案】解：(1)0.5x，1.5−0.3x；
(2)设该厂在这次任务中生产A型口罩x万只，则生产B型口罩(5−x)万只；
由题意得：y=0.5x+0.3×(5−x)=0.2x+1.5，
∴x0.6+5−x0.8≤81.8≤x≤5，
解得：1.8≤x≤4.2．
(3)由(2)得y=0.2x+1.5
∵0.2>0，∴y随x的增大而增大．
∴当x=4.2时，y最大=0.2×4.2+1.5=2.34(万元)．
此时生产A型4.2万只，生产B型0.8万只．
(4)如果要在最短时间内完成任务，全部生产B型所用时间最短，
但题意要生产A型不少于1.8万只，
因此，生产A型口罩1.8万只，生产B型口罩3.2万只，
所需最短时间为1.8÷0.6+3.2÷0.8=7(天)． 
【解析】(1)由每只利润×口罩的只数=利润，可求解；
(2)根据等量关系“总利润=A型口罩利润+B型口罩利润”列出y关于x的函数关系式；根据完成任务的天数和A型口罩的数量列不等式组求自变量的取值范围；
(3)由条件“8天之内完成”“A型口罩不能少于1.8万只”确定所获利润的最大值；
(4)因为生产A型口罩耗时长，若要在最短的时间完成任务应尽量多生产B型口罩，但要保证A型口罩不少于1.8万只．
本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，需借助函数方程及不等式求解，学生应当注重培养对题理解的能力，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围，还必须使实际问题有意义．

22.【答案】(1)证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形．

(2)解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=90°，
∵∠α=150°，∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°−∠α−∠AOB−∠COD=360°−150°−110°−60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，
即△AOD是直角三角形．

(3)当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形． 
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°−110°−60°−α=190°−α，∠ADO=α−60°，
∴190°−α=α−60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠OAD=180°−(∠AOD+∠ADO)=180°−(190°−α+α−60°)=50°，
∴α−60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵∠AOD=360°−110°−60°−α=190°−α，
∠OAD=180°−(α−60°)2=120°−α2，
∴190°−α=120°−α2，
解得α=140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．

(1)根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
(2)结合(1)的结论可作出判断；
(3)找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．
本题考查了几何变换综合题，此题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等)，能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．

23.【答案】解：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ACB=45°，
∵△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
∴△ABP≌△CBQ，
∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=45°+45°=90°；
(2)在等腰直角三角形ABC中，
∵AB=4，
∴AC=42，
∵AP=2，
∴PC=AC−AP=42−2=32，
由(1)知，△ABP≌△CBQ，
∴CQ=AP=2，
由(1)知，∠PCQ=90°，
根据勾股定理得，PQ=PC2+CQ2=(32)2+(2)2=25；
(3)证明：由(1)知，△ABP≌△CBQ，
∴∠ABP=∠CBQ，AP=CQ，PB=BQ，
∴∠CBQ+∠PBC=∠ABP+∠PBC=90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形，
∴PQ=2PB，
∵AP=CQ，
在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2 ，
∴2PB2=PA2+PC2． 
【解析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△PCQ是直角三角形是解本题的关键．
(1)先由旋转得出△ABP≌△CBQ，即：∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，即可得出结论；
(2)先求出AC，进而求出PC，最后用勾股定理即可得出结论；
(3)先判断出△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形，最后用勾股定理即可得出结论．

24.【答案】解：画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称的图形如下：
 
【解析】根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形．
此题考查了作图−旋转变换，关键是掌握中心对称的作法．

25.【答案】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将A(3,0)，B(0,3)代入得：
∴3k+b=0b=3，
∴k=−1b=3
∴直线AB的解析式为y=−x+3；
(2)设点C的坐标为(m,−m+3)，
S△AOC=12×3×(−m+3)=3，
∴m=1，
∴−m+3=−1+3=2，
∴C的坐标为(1,2)；
(3)存在点P，点P的坐标为(−5,0)或(5,0)或(2,0)或(52,0)． 
【解析】
【分析】
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，将A(3,0)，B(0,3)代入计算即可；
(2)设点C的坐标为(m,−m+3)，则S△AOC=12×3×(−m+3)=3，解方程即可得出m；
(3)由C(1,2)，得OC=12+22=5，分OC=OP，OC=CP，OP=CP三种情况，分别计算即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)存在点P，使得△COP是等腰三角形，
∵C(1,2)，
∴OC=12+22=5，
当OC=OP时，
P(−5,0)或P(5,0)，
当OC=CP时，
P(2,0)，
当OP=CP时，如图：

设OP=x，则CP=x，DP=x−1，
在Rt△CDP中，由勾股定理得：
CD2+DP2=CP2，
∴22+(x−1)2=x2，
解得x=52，
∴P(52,0)，
∴存在一点P，使得△COP是等腰三角形，点P的坐标为(−5,0)或(5,0)或(2,0)或(52,0)．