初中数学北师大版七年级下册2 探索直线平行的条件精品精练

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第7讲 探索直线平行的条件
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1.了解“三线八角”模型特征；
2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.
知识精讲

知识点01 同位角、内错角、同旁内角
一、同位角、内错角、同旁内角的概念
1. “三线八角”模型
如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.
图1

要点诠释：
⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．
⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．
2. 同位角、内错角、同旁内角的定义
在“三线八角”中，如上图1，
（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.
（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.
（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.
要点诠释：
(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.
(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征












要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：
(1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨.
(2)借助方位来识别
根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．


【知识拓展1】（2021秋•香坊区期末）在如图中，∠1和∠2不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据同位角的特征逐一判断即可．
【解答】解：∵同位角是F型，内错角是Z型，同旁内角是U型，
∴A，B，C不符合题意，D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握它们的特征是解题的关键．
【即学即练1】（2021春•普陀区校级月考）图中，∠B的同位角是 　∠ECD，∠ACD　．

【分析】根据同位角的意义结合图形进行判断即可．
【解答】解：∠B与∠ECD是直线AB、CE被直线BD所截的一组同位角，
∠B与∠ACD是直线AB、AC被直线BD所截的一组同位角，
故答案为：∠ECD，∠ACD．
【点评】本题考查同位角，理解同位角的意义以及两条直线的截线是正确判断的前提．
【即学即练2】（2021秋•南岗区校级月考）如图，若AB，AF被ED所截，则∠1与 　∠3　是内错角．

【分析】根据两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角进行分析解答即可．
【解答】解：若AB，AF被ED所截，则∠1与∠3是内错角，
故答案为：∠3．
【点评】本题主要考查内错角的定义，理解内错角的概念是解题关键．
知识点02直线平行的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠3＝∠2
∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠1＝∠2
∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【知识拓展1】（2019秋•安居区期末）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠4＝∠5 D．∠2＝∠3
【分析】利用平行线的判定方法分别得出即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴a∥b，（内错角相等，两直线平行），故此选项错误；
B、∵∠2+∠4＝180°，
∴a∥b，（同旁内角互补，两直线平行），故此选项错误；
C、∵∠4＝∠5，
∴a∥b，（同位角相等，两直线平行），故此选项错误；
D、∠2＝∠3，无法判定直线a∥b，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确把握平行线的判定方法是解题关键．
【即学即练1】（2021秋•杜尔伯特县期末）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定AD∥BC的条件 　∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B＝180°　．

【分析】根据平行线的判定进行分析，可以从同位角相等或内错角相等或同旁内角互补的方面写出结论．
【解答】解：∵AD和BC被BE所截，
∴当∠EAD＝∠B时，AD∥BC，
或当∠DAC＝∠C时，AD∥BC，
或当∠DAB+∠B＝180°时，AD∥BC，
故答案为：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B＝180°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解决问题的关键是掌握平行线的判断方法．
【即学即练2】（2021•兰州）将一副三角板如图摆放，则 　BC　∥　ED　，理由是 　内错角相等，两直线平行　．

【分析】根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．
【解答】解：根据题意得出，∠ACB＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ACB＝∠DEF，
∴BC∥ED．
故答案为：BC；ED；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
【即学即练3】（2021秋•于洪区期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠2+∠3＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．
【解答】解：A、当∠1＝∠3时，有a∥b，故A不符合题意；
B、当∠2+∠3＝180°时，有a∥b，故B不符合题意；
C、当∠1＝∠4时，
∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠3，
∴a∥b，故C不符合题意；
D、当∠1+∠4＝180°时，不能判定a∥b，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
【即学即练4】（2021秋•道里区期末）如图，下列条件①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ADC＝180°．其中能判定AB∥CD的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．
【解答】解：①由∠1＝∠2可判定AD∥BC，不符合题意；
②由∠BAD＝∠BCD不能判定AB∥BC，不符合题意；
③由∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4知∠ABD＝∠CDB，可判定AB∥CD，符合题意；
④由∠BAD+∠ADC＝180°可判定AB∥CD，符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【即学即练5】（2021秋•宽城区期末）直线AB、BC、CD、EG如图所示．若∠1＝∠2，则下列结论错误的是（　　）

A．AB∥CD B．∠EFB＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠3＝∠5
【分析】根据平行线的判定和性质、对顶角相等判断即可得解．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
故A正确，不符合题意；
∠EFB＝∠3，
故B正确，不符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠5，
故C正确，不符合题意；
无法得到∠3＝∠5，
故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的判定和性质定理是解题的关键．
【即学即练6】（2021春•呼和浩特期末）如图，下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．能判定AB∥CD的条件为 　①③④　．

【分析】根据平行线的判定定理，①③④能判定AB∥CD．
【解答】解：①∠B+∠BCD＝180°，同旁内角互补，两直线平行，则能判定AB∥CD；
②∠1＝∠2，但∠1，∠2不是截AB、CD所得的内错角，所不能判定AB∥CD；
③∠3＝∠4，内错角相等，两直线平行，则能判定AB∥CD；
④∠B＝∠5，同位角相等，两直线平行，则能判定AB∥CD．
故能判定AB∥CD的条件为①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了两直线平行的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行，并要分清给出的角所截的是哪两条直线．
【即学即练7】（2021春•安丘市期末）如图，其中能判断直线l1∥l2的条件有 　ACD　．
A．∠4＝∠5
B．∠2+∠5＝180°
C．∠1＝∠3
D．∠6＝∠1+∠2

【分析】平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；依此对各小题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
②由∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不符合题意；
③∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
④∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．
故答案为：ACD．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
【即学即练8】（2021秋•嵩县期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠7+∠4﹣∠1＝180°，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠2＝∠3中能判断直线a∥b的有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．
【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7＝∠1+∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
故能判断直线a∥b的有5个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
【知识拓展2】（2021春•普陀区校级月考）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 　已知　），
∠AGC+∠AGD＝180°（ 　邻补角的定义　），
所以∠BAG＝∠AGC（ 　同角的补角相等　）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝　∠BAG　（ 　角平分线的定义　）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝　∠AGC　，
得∠1＝∠2（ 　等量代换　），
所以AE∥GF（ 　内错角相等，两直线平行　）．

【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．
【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义），
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
【即学即练1】（2020秋•秦都区期末）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，求证：AB∥EF．

【分析】（1）根据互相垂直的意义，以及同角的余角相等，得出结论；
（2）根据角平分线定义以及等量代换，得出∠A＝∠AEF，利用内错角相等两直线平行，得出结论．
【解答】证明：（1）∵EB⊥EF，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DEF+∠BEG＝180°﹣90°＝90°．
又∵∠EBG+∠BEG＝90°，
∴∠DEF＝∠EBG；
（2）∵∠EBG＝∠A，∠DEF＝∠EBG，
∴∠A＝∠DEF．
∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF，
∴∠A＝∠AEF，
∴AB//EF．
【点评】本题考查角平分线、互相垂直的意义，余角的性质，以及平行线的性质和判定，等量代换在证明过程中起到非常重要的作用．
【即学即练2】（2021秋•庐阳区期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．求证：AB∥CD．
证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C．（ 　三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和　）
又∵∠BEC＝∠B+∠C，
∴∠B＝　∠EFC　，（等量代换）
∴AB∥CD． （ 　内错角相等，两直线平行　）

【分析】延长BE交CD于点F，利用三角形外角的性质可得出∠BEC＝∠EFC+∠C，结合∠BEC＝∠B+∠C可得出∠B＝∠EFC，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AB∥CD，即可得出结论．
【解答】证明：延长BE交CD于点F．则∠BEC＝∠EFC+∠C．（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）．
又∵∠BEC＝∠B+∠C，
∴∠B＝∠EFC，（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和，∠EFC，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定以及三角形外角的性质，利用各角之间的关系，找出∠B＝∠EFC是解题的关键．
【即学即练3】（2021秋•广南县期末）如图，点E为直线AB上一点，∠CAE＝2∠B，BC平分∠ACD，求证：AB∥CD．

【分析】由已知和三角形外角的性质证∠B＝∠ACB，再由角平分线的定义得∠ACB＝∠DCB，即可得出结论．
【解答】证明：由题意知∠CAE＝∠ACB+∠B（三角形外角的性质），
∵∠CAE＝2∠B（已知），
∴∠B＝∠ACB（等量代换），
又∵BC平分∠ACD（已知），
∴∠ACB＝∠DCB（角平分线的定义），
∴∠B＝∠DCB（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
【即学即练4】（2021秋•杜尔伯特县期末）完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠　BAC　＝90° （ 　垂直的定义　），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝　180°　（ 　等量关系　），
即∠　BAD　+∠B＝180°，
∴AD∥BC （ 　同旁内角互补，两直线平行　）．

【分析】由AB⊥AC，根据垂直的定义得到∠BAC为90°，再由图形可得：同旁内角∠B与∠BAD的和为∠B，∠BAC与∠1三角的度数之和，求出度数为180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得出AD与BC平行，得证．
【解答】解：证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠BAC＝90° （垂直的定义），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝180°（等量关系），
即∠BAD+∠B＝180°，
∴AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：BAC；垂直的定义；180°；等量关系；BAD；同旁内角互补，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，垂直的定义，是一道证明题，其中平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【即学即练5】（2021秋•榆林期末）如图，已知∠C+∠E＝∠EAB，求证：AB∥CD．

【分析】如图，延长EA交CD于H．根据三角形外角的性质和已知条件证明∠EAB＝∠EHD即可求解．
【解答】解：如图，延长EA交CD于H．
∵∠EHD＝∠C+∠E，∠EAB＝∠C+∠E，
∴∠EAB＝∠EHD，
∴AB∥CD．

【点评】本题考查平行线的判定，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
【即学即练6】（2021秋•西乡县期末）如图，已知∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．求证：BE∥CD．

【分析】欲证明BE∥CD，只要证明∠ABE＝∠C即可
【解答】证明：∵∠A＝∠ADE，
∴DE∥AC，
∴∠ABE＝∠E，
又∵∠C＝∠E，
∴∠ABE＝∠C，
∴BE∥CD．
【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【即学即练7】（2018秋•蓬溪县期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．

【分析】设AB与DE相交于H，若判断ED与FB的位置关系，首先要判断∠1和∠EHA的大小；由∠3＝∠4可证得BD∥CF（内错角相等，两直线平行），可得到∠5＝∠BAF；已知∠5＝∠6，等量代换后发现AB∥CD，即∠2＝∠EHA，由此可得到∠1＝∠EHA，根据同位角相等，两直线平行即可判断出BF、DE的位置关系．
【解答】解：BF、DE互相平行；
理由：如图；
∵∠3＝∠4，
∴BD∥CF，
∴∠5＝∠BAF，
又∵∠5＝∠6，
∴∠BAF＝∠6，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠EHA，
又∵∠1＝∠2，即∠1＝∠EHA，
∴BF∥DE．
另解：BF、DE互相平行；
理由：如图；
∵∠3＝∠4，
∴BD∥CF，
∴∠5＝∠BAF，
∵∠5＝∠6，
∴∠BAF＝∠6，
∵△BFA、△DEC的内角和都是180°
∴△BFA＝∠1+∠BFA+BAF；△DEC＝∠2+∠4+∠6
∵∠1＝∠2；∠BAF＝∠6
∴∠BFA＝∠4，
∴BF∥DE．
另解：BF、DE互相平行；
∵∠3＝∠4，
∴BD∥CF，
∵∠2+∠3+∠6＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∴∠1+∠3+∠5＝180°（等量代换），
∴BF∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．

【点评】解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
【即学即练8】（2021春•金坛区期末）已知：如图，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．求证：AD∥EF．

【分析】根据平行线的判定推出GD∥AC，根据平行线的性质得出∠CAD＝∠2，根据等量关系可得∠3+∠CAD＝180°，再根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠C，
∴GD∥AC，
∴∠CAD＝∠2，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠3+∠CAD＝180°，
∴AD∥EF．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，注意：平行线的性质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
【即学即练9】（2021秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．

【分析】由条件可先证明EH∥AB，再利用平行线的性质可得到∠3＝∠ADE＝∠B，可证明DE∥BC．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∵∠1＝∠4（对顶角相等）
∴∠2+∠4＝180°（等量代换）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
【即学即练10】（2021秋•朝阳区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）若∠1＝25°，则∠2的度数为 　65°　；
（2）直接写出∠1与∠3的数量关系：　∠1＝∠3　；
（3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　∠2+∠ACB＝180°　；
（4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值 　30°或45°或120°或135°或165°　．

【分析】（1）结合图可知∠1+∠2＝90°，从而可求解；
（2）利用∠ACD＝∠BCE＝90°，从而可求得∠1＝∠3；
（3）结合图形可得∠ACB＝∠1+∠2+∠3，则可求解；
（4）分5种情况进行讨论：①BC∥AD；②BE∥AC；③AD∥CE；④BE∥CD；⑤BE∥AD，结合平行线的判定与性质进行求解即可．
【解答】解：（1）∵∠1＝25°，∠ACD＝90°，
∴∠2＝∠ACD﹣∠1＝65°，
故答案为：65°；
（2）∵∠1+∠2＝∠ACD＝90°，∠2+∠3＝∠BCE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，
故答案为：∠1＝∠3；
（3）∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠2
＝∠1+∠2+∠3+∠2
＝∠ACD+∠BCE
＝180°，
即∠2+∠ACB＝180°，
故答案为：∠2+∠ACB＝180°；
（4）存在，
①当BC∥AD时，
∵BC∥AD，
∴∠BCD＝∠D＝30°，
∴∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°；
②当BE∥AC时，如图，

∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°；
③当AD∥CE时，如图，

∵AD∥CE，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
④当BE∥CD时，如图，

∵BE∥CD，
∴∠DCE＝∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°；
⑤当BE∥AD时，如图，

过点C作CF∥AD，
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝30°+45°＝75°，
∴∠ACE＝90°+75°＝165°．
综上所述：当∠ACE＝30°或45°或120°或135°或165°时，有一组边互相平行．
故答案为：30°或45°或120°或135°或165°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，注意利用两角互余的性质，角的和差进行计算．
能力拓展

类型一、“三线八角”模型
例1.





(1)图3中，∠1、∠2由直线 被直线 所截而成．
(2)图4中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？
【答案】(1) EF，CD； AB． （2）不是 ．
【解析】（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．
（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．
【总结升华】判断 “三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.
类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别
例2.如图，(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?
(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？
(3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?


【答案与解析】解：（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；
（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；
（3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角.
【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析.
【变式】下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
解：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
选项C中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
例3.如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．

【答案与解析】解：内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；
同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；
同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．
【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然.
【变式】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？

【答案】解：同位角：∠5与∠1，∠4与∠3；
内错角：∠2与∠3，∠4与∠1；
同旁内角：∠4与∠2，∠5与∠3，∠5与∠4.
例4. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.

【答案与解析】解： 同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；
内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；
同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．
【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析．
【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．



【答案】解：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；
∠2与∠8，∠3与∠5是内错角；
∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角.
类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系
例5. 如图直线DE、BC被直线AB所截，
(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？
(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？

【答案与解析】解：(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角． 每组中两角的大小均不确定．
(2) ∠1与∠2相等，∠1和∠3互补. 理由如下：
① ∵∠1=∠4（已知）
∠4＝∠2（对顶角相等）
∴∠1＝∠2.
② ∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)
∠1＝∠4(已知)
∴∠1＋∠3＝180°
即∠1和∠3互补.
综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．
【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补．
【变式1】若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是 ( ) ．
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2
【答案】D
【变式2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C （提示：②④正确）．
类型四、两直线平行的判定
例6.下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（　　）
　 A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：

∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B
【总结升华】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
【答案】A
提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．

图B显然不同向，因为路线不平行．
图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．
图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．
只有图A路线平行且同向，故应选A．
例7. 如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．

【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来．
【答案与解析】
解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．

∵ ∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，
∴ ∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．
∴ AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．
又∵ ∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，
∴ ∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．
∴ ∠DCM＝∠CDN(等量代换)．
∴ CM∥DN(内错角相等，两直线平行)．
∵ AB∥CM，EF∥DN(已证)，
∴ AB∥EF(平行线的传递性)．
解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．

∵ ∠BCD＝45°，∴ ∠NCB＝135°．
∵ ∠B＝25°，
∴ ∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)．
又∵ ∠CDE＝30°，∴ ∠EDM＝150°．
又∵ ∠E＝10°，
∴ ∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)．
∴ ∠CNB＝∠EMD(等量代换)．
所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．
【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取．
【变式1】已知，如图，BE平分ÐABD，DE平分ÐCDB，且Ð1与Ð2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．

【答案】解：AB∥CD，理由如下：
∵ BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴ ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．
又∵ ∠1+∠2＝90°，
∴ ∠ABD+∠CDB＝180°．
∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【变式2】已知，如图，AB^BD于B，CD^BD于D，Ð1+Ð2=180°，求证：CD//EF．

【答案】证明：∵AB^BD于B，CD^BD于D，
∴AB∥CD．
又∵Ð1+Ð2=180°，
∴AB∥EF．
∴CD//EF．
分层提分

题组A 基础过关练
一．选择题（共6小题）
1．（2021秋•绿园区期末）如图，直线b，c被直线a所截，则∠1与∠2是（　　）

A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【解答】解：由题意可得，∠1与∠2是直线b，c被直线a所截而成的同位角．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同位角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
2．已知图①～④，

在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①
【分析】根据同位角的定义；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行判断即可．
【解答】解：图①③中，∠1与∠2是同位角；
故选：C．
【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形．
3．（2021秋•宜宾期末）如图所示，不能推出AD∥BC的是（　　）

A．∠DAB+∠ABC＝180° B．∠2＝∠4
C．∠1＝∠3 D．∠CBE＝∠DAE
【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，因而A正确；
B、∠2、∠4是AB与CD被AC所截得到的内错角，∠2＝∠4可以判定CD∥AB，而不能判定AD∥BC．
C、内错角相等，两直线平行，因而C正确；
D、同位角相等，两直线平行，因而D可以判定平行．
故选：B．
【点评】解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
4．（2021秋•菏泽月考）如图，下列条件中能判断直线l1∥l2的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠5 C．∠2＝∠4 D．∠3＝∠5
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【解答】解：A、根据∠1＝∠2不能判断直线l1∥l2，故本选项不符合题意．
B、根据∠1＝∠5不能判断直线l1∥l2，故本选项不符合题意．
C、根据“内错角相等，两直线平行”知，由∠2＝∠4能判断直线l1∥l2，故本选项符合题意．
D、根据∠3＝∠5不能判断直线l1∥l2，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
5．（2021•范县模拟）如图，直线a、b被直线c所截．若∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）时能判定a∥b．

A．35° B．45° C．125° D．145°
【分析】根据内错角相等，两直线平行的判定定理进行解答．
【解答】解：如图，∵∠2＝125°，∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝55°，
∵∠1＝55°，
∴∠1＝∠3，
∴a∥b，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
6．（2021•河北模拟）如图，∠1与∠2的关系是（　　）

A．互为对顶角 B．互为同位角
C．互为内错角 D．互为同旁内角
【分析】根据同位角的定义解决此题．
【解答】解：根据同位角的定义，∠1与∠2互为同位角．
故选：B．
【点评】本题主要考查同位角，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．（2021•桂林）如图，直线a，b被直线c所截，当∠1 　＝　∠2时，a∥b．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）

【分析】由图形可知∠1 与∠2是同位角，只需这两个同位角相等，便可得到a∥b．
【解答】解：要使a∥b，只需∠1＝∠2．
即当∠1＝∠2时，
a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故答案为＝．
【点评】此题考查了平行线的判定．难度不大，注意掌握同位角、内错角、同旁内角的识别．
8．（2021秋•虎林市期末）如图，请你添加一个条件使得AD∥BC，所添的条件是 　∠EAD＝∠B或∠CAD＝∠C或∠BAD+∠B＝180°　．

【分析】根据平行线的判定方法进行添加．
【解答】解：根据同位角相等，两条直线平行，可以添加∠EAD＝∠B；
根据内错角相等，两条直线平行，可以添加∠CAD＝∠C；
根据同旁内角互补，两条直线平行，可以添加∠BAD+∠B＝180°，
故答案为：∠EAD＝∠B或∠CAD＝∠C或∠BAD+∠B＝180°．
【点评】此题考查了平行线的判定，为开放性试题，答案不唯一，熟悉平行线的判定方法是解题的关键．
9．（2021春•富拉尔基区期末）如图所示，添加一个条件 　∠A＝∠ECD或∠A+∠ACD＝180°　使得AB∥CD．

【分析】由“同位角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”判断求解即可．
【解答】解：∠A＝∠ECD或∠A+∠ACD＝180°，理由如下：
∵∠A＝∠ECD，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
∵∠A+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为：∠A＝∠ECD或∠A+∠ACD＝180°．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解此题的关键．
10．（2021春•利川市期末）如图，直线c，d分别与直线a，b相截，在图中已用数字标记的4个角中，能判定a∥b的条件有 　∠1＝∠2或∠3+∠4＝180°　．

【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∠1＝∠2或∠3+∠4＝180°，理由如下：

∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，
∴∠1＝∠5，
∴a∥b；
∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠6，
∴∠3+∠6＝180°，
∴a∥b；
故答案为：∠1＝∠2或∠3+∠4＝180°．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
11．（2021春•石景山区期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件 　∠6＝∠D（答案不唯一）　，则有CE∥DF，理由是 　同位角相等，两直线平行（答案不唯一）　．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）

【分析】根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．
【解答】解：满足条件为：∠6＝∠D（答案不唯一），理由如下：
∵∠6＝∠D，
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠6＝∠D（答案不唯一），同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．
12．（2021春•鼓楼区校级期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是　同位角相等，两直线平行　．

【分析】根据平行线的判定和性质，平行公理进行判断即可．
【解答】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理，解决本题的关键是掌握平行线的判定和性质．
三．解答题（共6小题）
13．（2021春•新城区校级期末）如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点D在线段EC上，求证：AB∥CD．

【分析】根据AD⊥BE，BC⊥BE，可以得到AD∥BC，从而可以得到∠ADE＝∠C，再根据∠A＝∠C，即可得到∠ADE＝∠A，从而可以得到AB∥CD．
【解答】证明：∵AD⊥BE，BC⊥BE，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠A＝∠C，
∴∠ADE＝∠A，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（2021春•利川市期末）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．
已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d．
证明：如图，
∵∠2+∠3＝180°（ 　邻补角的定义　），
∠1+∠2＝180° （ 　已知　），
∴　∠3　＝　∠1　（同角的补角相等），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠4 （ 　等量代换　），
∴　c　∥　d　（ 　内错角相等，两直线平行　）．

【分析】由已知及邻补角的定义得到∠3＝∠1，等量代换得出∠1＝∠4，即可判定 c∥d．
【解答】证明：如图，
∵∠2+∠3＝180°（邻补角的定义），
∠1+∠2＝180° （已知），
∴∠3＝∠1（同角的补角相等），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠4 （等量代换），
∴c∥d（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：邻补角的定义；已知；∠3；∠1；等量代换；c；d；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
15．（2021春•利川市期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，EF平分∠AED交AB于F，已知∠ADE＝∠B，求证：EF∥CD．（证明时，请注明推理的理由）

【分析】根据∠ADE＝∠B可判定DE∥BC，根据平行线的性质得到∠ACB＝∠AED，再根据角平分线的定义推出∠ACD＝∠AEF，即可判定EF∥CD．
【解答】证明：∵∠ADE＝∠B（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠ACB＝∠AED（两直线平行，同位角相等），
∵CD平分∠ACB，EF平分∠AED（已知），
∴∠ACD＝∠ACB，∠AEF＝∠AED（角平分线的定义），
∴∠ACD＝∠AEF（等量代换），
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
16．（2021春•开江县期末）如图，已知∠A＝∠ADE．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）若∠C＝∠E，求证：BE∥CD．

【分析】（1）由题意可判定AC∥DE，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数；
（2）根据AC∥DE，∠C＝∠E，即可得出∠C＝∠ABE，进而判定BE∥CD．
【解答】（1）解：∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°，
∴∠C＝45°；
（2）证明：∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
【点评】本题主要考查了平行线的判定的运用，解题时注意：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行．
17．（2021春•隆回县期末）如图，∠1与∠2互余，∠3＝∠4，AF⊥BD，垂足为G，那么AB∥CD吗？下面是说明AB∥CD的过程，请在括号内写上理由．
解：∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°．
又∵AF⊥BD于G，
∴∠4+∠2＝90°，
∴∠1＝∠4（等量代换）．
又∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠3（ 　等量代换　）．
∴AB∥CD（ 　内错角相等，两直线平行　）．

【分析】由余角的定义及垂直的定义求出∠1＝∠4，等量代换得到∠1＝∠3，即可判定AB∥CD．
【解答】解：∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵AF⊥BD于G，
∴∠4+∠2＝90°，
∴∠1＝∠4（等量代换），
又∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
18．（2021春•温江区期末）如图，已知AC、BC分别是∠BAD、∠ABE的平分线，且∠1+∠2＝∠ACB．求证：AD∥BE．

【分析】根据三角形的内角和得出∠1+∠2＝90°，再根据角平分线的定义得出∠BAD+∠ABE＝2×（∠1+∠2）＝180°，即可判定AD∥BE．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝∠ACB，∠1+∠2+∠ACB＝180°，
∴∠1+∠2＝×180°＝90°，
∵AC、BC分别是∠BAD、∠ABE的平分线，
∴∠1＝∠BAD，∠2＝∠ABE，
∴∠BAD+∠ABE＝2×（∠1+∠2）＝180°，
∴AD∥BE．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•平顶山期末）如图，点B，C，E在一条直线上，下列条件能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠4
C．∠5＝∠D D．∠D+∠BCD＝180°
【分析】根据平行线的判定逐一进行判断即可．
【解答】解：A．因为∠2＝∠3，
所以AD∥BC，故A选项不符合题意；
B．因为∠1＝∠4，
所以AB∥DC，故B选项符合题意；
C．因为∠5＝∠D，
所以AD∥BC，故C选项不符合题意；
D．因为∠D+∠BCD＝180°，
所以AD∥BC，故A选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定方法．
2．（2021春•娄星区期末）给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；
（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离；
其中正确的说法有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】（1）当且仅当两条平行的直线被第三条直线所截，同位角才相等，故（1）不正确．
（2）若两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧且在被截线的同一方向的两个角是同位角，同位角不一定相等，故（2）不正确．
（3）若直线l与直线AB相交，AB∥CD中，假设直线l与CD不相交，则l∥CD，故推断出l∥AB，即l与AB不相交与题干矛盾．那么，l与CD也相交，故（3）正确．
（4）根据点到直线的距离定义，可知（4）正确．
【解答】解：（1）两条平行的直线被第三条直线所截，同位角才相等，故（1）不正确．
（2）若两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧且在被截线的同一方向的两个角是同位角．两直线平行，同位角相等．不平行的两条直线被第三条直线所截，则同位角不相等．那么，（2）不正确．
（3）当平面内的一条直线l和两条平行线AB与CD中的一条AB相交，若l与CD不相交，则l∥CD，故推断出l∥AB，即l与AB不相交与题干矛盾．那么，l与CD也相较，故（3）正确．
（4）根据点到直线的距离定义，可知（4）正确．
∴正确的说法有2个．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的定义、同位角的定义以及点到直线的距离的定义，熟练掌握平行线的定义、点到直线的距离的定义以及同位角的定义是解决本题的关键．
3．（2021春•大连期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1+∠4＝180° D．∠1＝∠5
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠5，
因为”同旁内角互补，两直线平行“，
所以本选项不能判断AB∥CD；
B、∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD；
C、∵∠1+∠4＝180°，∠1+∠53＝180°
∴∠3＝∠4，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD；
D、∵∠1＝∠5，∠1+∠3＝180°，
∴∠3+∠5＝180°，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD；
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解此题的关键，平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
4．（2021春•饶平县校级期末）如图，能判定EB∥AC的条件是（　　）

A．∠C＝∠ABE B．∠A＝∠EBD C．∠C＝∠DBE D．∠A＝∠ABC
【分析】通过角相等判定两直线平行，则判断两角是否能推出同位角或内错角相等即可．
【解答】解：∵只有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补才能判断两直线平行，
只有选项C中∠C＝∠DBE是同位角相等，故能判定两直线平行，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补才能判断两直线平行．
5．（2021春•江西月考）如图，∠ABD的同旁内角共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据同旁内角的定义，结合图形进行判断即可．
【解答】解：∠ABD与∠ADB是直线AB、AD，被直线BD所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠AEB是直线AB、AC，被直线BD所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠BAE是直线AC、BD，被直线AB所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠BAD是直线AD、BD，被直线AB所截而成的同旁内角，
故选：D．
【点评】本题考查同旁内角，理解同旁内角的定义是正确判断的前提．
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•潍坊期末）如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是 　A、C　．
A．∠AEC＝∠C
B．∠C＝∠BFD
C．∠BEC+∠C＝180°
D．∠C＝∠B

【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【解答】解：A．由∠AEC＝∠C，根据内错角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故A符合题意；
B．由∠C＝∠BFD，根据同位角相等，两直线平行可判定CE∥BF，不能判断AB∥CD，故B不符合题意；
C．由∠BEC+∠C＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可判定AB∥CD，故C符合题意；
D．由∠C＝∠B，不能判断AB∥CD，故D不符合题意；
故答案为：A、C．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
7．（2021春•青山区期中）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定AB∥CD的条件　∠1＝∠2（答案不唯一）　．

【分析】根据平行线的判定求解即可．
【解答】解：添加∠1＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：∠1＝∠2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
8．（2021春•前郭县月考）如图，要使BE∥DF，需补充一个条件，你认为这个条件应该是　∠D＝∠COE　（填一个条件即可）．

【分析】由平行线的判定条件作答．内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行．
【解答】解：添加条件为：∠D＝∠COE．
理由如下：
∵∠D＝∠COE，
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠D＝∠COE（答案不唯一）．
【点评】本题考查平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定方法．
9．（2021春•抚顺期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠1+∠2＝90°；③∠2＝2∠1；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 　①④⑤　．（填序号）

【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
【解答】解：∵∠1＝25.5°，∠2＝55°30′，∠ABC＝30°，
∴∠ABC+∠1＝55.5°＝55°30′＝∠2，
∴m∥n，故①符合题意；
∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2＝2∠1，∠ABC＝30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CE∥m，
∴∠3＝∠4，
∵∠ACB＝∠1+∠3，∠ACB＝∠4+∠5，
∴∠1＝∠5，
∴EC∥n，
∴m∥n，故④符合题意；
∵∠ABC＝∠2﹣∠1，
∴∠2＝∠ABC+∠1，
∴m∥n，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．

【点评】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2021春•中原区校级期中）两块含30°角的三角尺叠放如图所示，现固定三角尺ABC不动，将三角尺DEC绕顶点C顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，且点D在直线BC的上方，则∠BCD所有可能符合的度数为 　30°或60°或90°或120°　．

【分析】有7种情形分别画出图形求解即可．
【解答】解：如图1中，当DE∥AB时，∠BCD＝30°

如图2中，当AB∥CE时，∠BCD＝60°．

如图3中，当DE∥BC时，∠BCD＝90°．

如图4中，当AB∥CD时，∠BCD＝120°

综上所述，满足条件的∠BCD的值为30°或60°和90°或120°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三．解答题（共8小题）
11．（2021春•随县期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）若∠BCD＝110°，则∠ACE＝　70°　．
（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（3）若按住三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，试探究∠ACE等于多少度时，CE∥AB，请画出图，并说明理由．

【分析】（1）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【解答】解：（1）∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°，
∵∠BCD＝110°，
∴∠ACE＝70°，
故答案为：70°；
（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．

∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．

∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
12．（2021春•铁岭月考）已知，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝108°．证明：AB∥EF，DE∥BC．

【分析】由∠1＝72°，∠2＝72°得出∠1＝∠2，再由内错角相等，两直线平行得出DE∥BC；
由∠3＝108°，∠3+∠DGB＝180°得出∠DGB＝72°，再由∠2＝72°得出∠DGB＝∠2，最后根据同位角相等，两直线平行得出AB∥EF．
【解答】证明：∵∠1＝72°，∠2＝72°（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
∵∠3＝108°（已知），∠3+∠DGB＝180°（邻补角定义），
∴∠DGB＝180°﹣108°＝72°．
∴∠DGB＝∠2（等量代换）．
∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴AB∥EF，DE∥BC．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．
内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
13．（2021春•青浦区期中）如图，直线AB、CD被直线EF所截，GH是∠EGC的平分线，∠EGH＝56°，∠EIB＝68°，说明AB∥CD的理由．
解：因为GH是∠EGC的角平分线（　已知　），
所以∠EGH＝∠HGC＝56°（　角平分线的定义　）．
因为CD是条直线（已知），
所以∠HGC+∠EGH+∠IGD＝180°（　平角的定义　）．
所以∠IGD＝68°．
因为∠EIB＝68°（已知），
所以　∠IGD　＝　∠EIB　（　等量代换　）．
所以AB∥CD（　同位角相等，两直线平行　）．

【分析】根据题意和图形，可以写出解答过程中空格中需要填写的内容，本题得以解决．
【解答】解：因为GH是∠EGC的角平分线（已知），
所以∠EGH＝∠HGC＝56°（角平分线的定义），
因为CD是条直线（已知），
所以∠HGC+∠EGH+∠IGD＝180°（平角的定义），
所以∠IGD＝68°，
因为∠EIB＝68°（已知），
所以∠IGD＝∠EIB（等量代换），
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：已知，角平分线的定义，平角的定义，∠IGD，∠EIB，等量代换，同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（2021春•新吴区月考）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．

【分析】根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定a∥b．
【解答】解：平行．理由如下：

如图，∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠5＝∠2+∠6，
∴a∥b．
【点评】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
15．（2021春•恩施市期末）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD
证明：∵CE平分∠ACD
∴∠　2　＝∠　ECD　（　角平分线的定义　_），
∵∠1＝∠2．（已知）
∴∠1＝∠　ECD　（　等量代换　）
∴AB∥CD（　内错角相等两直线平行　）

【分析】根据平行线的判定依据角平分线的定义即可解决问题．
【解答】证明：∵CE平分∠ACD
∴∠2＝∠ECD（角平分线的定义），
∵∠1＝∠2．（已知）
∴∠1＝∠ECD（等量代换））
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．
故答案为：2，ECD，角平分线的定义，ECD，等量代换，内错角相等两直线平行．
【点评】本题主要考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．（2021春•抚顺期末）如图，某工程队从点A出发，沿北偏西67°方向铺设管道AD，由于某些原因，BD段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续铺设BC段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设CE段，∠ECB应为多少度，可使所铺管道CE∥AB？试说明理由．此时CE与BC有怎样的位置关系？

【分析】结论：CE⊥BC．利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：∵分别过A，B两点的指正北方向是平行的，
∴∠1＝∠A＝67°（两直线平行，同位角相等）
∴∠CBD＝23°+67°＝90°，
当∠ECB+∠CBD＝180°时，
可得CE∥AB．（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠ECB＝90°，
∴CE⊥BC．（垂直定义）．
【点评】本题考查平行线的判定，方向角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（2020秋•台儿庄区期末）将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）AB与DF平行．根据翻折可得出∠DFC＝∠C，结合∠B＝∠C即可得出∠B＝∠DFC，从而证出AB∥DF；
（2）连接GC，由翻折可得出∠DGE＝∠ACB，再根据三角形外角的性质得出∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，通过角的运算即可得出∠1+∠2＝2∠B．
【解答】解：（1）AB与DF平行．理由如下：
由翻折，得∠DFC＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFC，
∴AB∥DF．
（2）连接GC，如图所示．
由翻折，得∠DGE＝∠ACB．
∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，
∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．
∵∠B＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝2∠B．

【点评】本题考查了平行线的判定以及翻折得性质，解题的关键是：（1）找出∠B＝∠DFC；（2）根据三角形外角的性质利用角的计算求出∠1+∠2＝2∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角是关键．
18．（2021春•盐都区月考）如图1，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．
（1）若∠DCF＝70°，试判断射线AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．

【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）AB∥CD，
理由：∵∠DCF＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°，
∵∠BAF＝110°，
∴∠BAF＝∠ACD，
∴AB∥CD；
（2）解：存在．分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝2；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝38，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝38，
此时t＞50，
∵38＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，t为2秒或38秒时，CD与AB平行．

【点评】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
题组C 培优拔尖练
一．填空题（共1小题）
1．（2021春•满洲里市期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是　①②③　（只填序号）．

【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，结合图形逐个判断即可．
【解答】解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；
∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；
∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，
∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，
故答案为：①②③．

【点评】考查同位角、内错角、同旁内角的意义，理清哪两条直线被第三条直线所截，形成的角进行判断是关键．
二．解答题（共9小题）
2．（2021春•碑林区校级期末）如图，CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求证：FG∥BC．

【分析】根据平行线的判定推知DE∥FC；然后由平行线的性质、等量代换推知内错角∠3＝∠2，则易证得结论．
【解答】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴DE∥FC，
∴∠1＝∠3．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴FG∥BC
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
3．（2021春•华容县期末）如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1与∠2互余，试判断直线AB，CD是否平行？为什么？

【分析】先用角平分线的性质得到∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，再用∠1与∠2互余，即可得到∠ABD与∠BDC互补．
【解答】解：直线AB，CD平行．
证明：∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
∴∠ABD+∠BDC＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AB∥DC．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，角平分线的意义，解本题的关键是用角平分线的意义得到∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2．
4．（2021春•浏阳市期末）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，求证：DE∥AC．

【分析】先由垂直于同一条直线的两条直线平行，得出∠1＝∠3，再用∠1＝∠2代换，最后用内错角相等得出结论；
【解答】证明：∵AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，
∴AD∥EF．
∴∠1＝∠3．
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3．
∴DE∥AC．

【点评】此题是平行线的判定，主要考查了平行线的性质和判定，用判断垂直于同一条直线的两直线平行，解本题的关键是判断出AD∥EF．
5．（2021春•饶平县校级期末）（1）完成下列推理，并填写理由
已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，证明：CF∥DO
证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）
∴∠DEA＝∠BOA＝90°（　垂直的定义　　　）
∵DE∥BO（　同位角相等，两直线平行　　）
∴∠EDO＝　∠DOB　（　两直线平行，内错角相等　　）
又∵∠CFB＝∠EDO（　已知　　）
∴∠DOF＝∠CFB（　等量代换　　）
∴CF∥DO（　同位角相等，两直线平行　　）
（2）如图，已知：AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF，请问∠B＝∠D吗？为什么？

【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DEA＝∠BOA，根据平行线的判定得到DE∥BO，利用平行线的性质得到∠EDO＝∠DOB，等量代换得到∠DOF＝∠CFB，根据平行线的判定得到结论；
（2）首先由平行线的性质得∠A＝∠C，由AE＝CF可得AF＝CE，利用全等三角形的判定定理和性质定理可得结论．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）
∴∠DEA＝∠BOA＝90°（垂直的定义）
∵DE∥BO（同位角相等，两直线平行）
∴∠EDO＝∠DOB（两直线平行，内错角相等）
又∵∠CFB＝∠EDO（已知）
∴∠DOF＝∠CFB（等量代换）
∴CF∥DO（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠DOB；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行
（2）解：∠B＝∠D．
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠B＝∠D．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定以及全等三角形的性质和判定定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．（2021春•饶平县校级期末）如图，已知∠1＝45°，∠2＝135°，∠D＝45°，问：BC与DE平行吗？AB与CD呢？为什么？

【分析】先利用邻补角计算出∠BCD＝180°﹣∠2＝45°，由于∠1＝45°，∠D＝45°，则∠1＝∠BCD，∠D＝∠BCD，于是根据同位角相等，两直线平行可判断AB∥CD，根据内错角相等，两直线平行可判断BC∥DE．
【解答】解：∵∠2＝135°，
∴∠BCD＝180°﹣∠2＝45°，
而∠1＝45°，∠D＝45°，
∴∠1＝∠BCD，∠D＝∠BCD，
∴AB∥CD，BC∥DE．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．
7．（2021春•吉州区期末）如图，已知CD⊥DA，AB⊥DA，∠1＝∠2，试判断直线DF与AE关系，并说明理由．

【分析】根据垂直定义可得∠CDA＝∠DAB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠3＝∠4，再根据内错角相等，两直线平行可直接证出结论．
【解答】DF∥AE，
证明：∵CD⊥DA于点D，AB⊥DA于点A，
∴∠CDA＝∠DAB＝90°，
∵∠1＝∠2．
∴∠3＝∠4，
∴DF∥AE．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等两直线平行的知识．
8．（2019春•寿光市期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．
（1）若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为　135°　；
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE之间存在什么数量关系？并说明理由；
（4）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在AD与BC平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；
（2）根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；
（3）根据∠ACE＝90°﹣∠DCE以及∠ACB＝∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
（4）当∠ACE＝30°时，CB∥AD时，根据平行线的判定即可解决问题；
【解答】解：（1）∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°
∴∠ACE＝45°
∵∠BCE＝90°
∴∠ACB＝90°+45°＝135°
故答案为：135°；
（2）∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°
∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°
∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；
（3）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°
理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE
又∵∠ACB＝∠ACE+90°
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE
即∠ACB+∠DCE＝180°；
（4）30°；
理由：∵∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°，
∴∠D＝∠DCB＝30°，
∴CB∥AD．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时注意不能重复，也不能遗漏．
9．（2021春•洪山区期中）【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：
在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectionlaw）．
【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．
【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．
（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝　180°﹣2α　；
（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝β，则α与β之间满足的等量关系是 　β＝2a　．

【分析】【数学推理】根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用∠2+∠3＝90°得出∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，即可得出∠DCB+∠ABC＝180°，即可证得AB∥CD；
（1）根据三角形内角和定理求得∠2+∠3＝125°，根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，得∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD；
（2）利用平角的定义得出∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3，利用外角的性质∠BED＝∠ABC﹣∠BCD＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）＝2（∠3﹣∠2）＝β，而∠BOC＝∠3﹣∠2＝α，即可证得β＝2α．
【解答】解：如图1，∵OM⊥ON，
∴∠CON＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∠DCB+∠ABC＝180°，
AB∥CD；
【尝试探究】
（1）如图2，在△OBC中，∵∠MON＝α，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD
＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣a）﹣180°
＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α；
（2）如图4，B＝2a，
理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ABC＝180°﹣2∠2，
∠BCD＝180°﹣2∠3，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BCD
＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠3﹣∠2）＝∠β，
∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝a，
∴β＝2a．
故答案为：β＝2a．
【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．
10．（2020春•封开县期末）将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；
（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．

【分析】（1）由∠BCD＝150°，∠ACB＝90°，可得出∠DCA的度数，进而得出∠ACE的度数；
（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由∠BCD＝∠ACB+∠ACD，∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD可得出结论；
（3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解．
【解答】解：（1）∵∠BCA＝∠ECD＝90°，∠BCD＝150°，
∴∠DCA＝∠BCD﹣∠BCA＝150°﹣90°＝60°，
∴∠ACE＝∠ECD﹣∠DCA＝90°﹣60°＝30°；

（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝180°；
（3）当∠BCD＝120°或60°时，CD∥AB．
如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，
当∠B+∠BCD＝180°时，CD∥AB，此时∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°；
如图③，根据内错角相等，两直线平行，
当∠B＝∠BCD＝60°时，CD∥AB．


【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键．