第09讲 变量之间的关系-七年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

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第9讲 变量之间的关系
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1.一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 是自变量，是因变量.
2.表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等.
3.关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.
4.图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色.
知识精讲

知识点01．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
【知识拓展1】（2021春•成华区期末）汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（　　）
A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间
【即学即练1】（2021秋•天长市月考）一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和x分别是（　　）
A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量
【即学即练2】（2021春•莱阳市期末）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内其关系如表所示：
温度℃
﹣20
﹣10
0
10
20
30
传播速度（m/s）
318
324
330
336
342
348
则下列说法错误的是（　　）
A．自变量是传播速度，因变量是温度
B．温度越高，传播速度越快
C．当温度为10℃时，声音10s可以传播3360m
D．温度每升高10℃，传播速度增加6m/s
知识点02．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
【知识拓展2】（2021秋•成都期末）现有一小树苗高100cm，以后平均每年长高50cm．x年后树苗的总高度y（cm）与年份x（年）的关系式是 　 　．
【即学即练1】（2021秋•龙口市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C，若点C的坐标为（x﹣2，2y），则y与x的函数关系式为　 　 　．

【即学即练2】（2021秋•三水区期末）一辆车的油箱有80升汽油，该车行驶时每1小时耗油4升，则油箱的剩余油量y（升）与该车行驶时间x（小时）（0≤x≤20）之间的函数关系式为 　 　．
【即学即练3】（2021秋•香洲区期末）某种产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量y与x之间的函数表达式是 　 　．

【即学即练4】（2021秋•杜尔伯特县期末）如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm．当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量是 　 　，因变量是 　 ．
（2）梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式为　 ．
（3）当梯形的高由10cm变化到1cm时，梯形的面积由 　 　cm2变化到 　 　cm2．

【即学即练5】（2021秋•密云区期末）如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（　　）

A．S＝4x+6 B．S＝4x﹣6 C．S＝x2+3x D．S＝x2﹣3x
【即学即练6】（2021秋•临漳县期末）某油箱容量为60升的汽车，加满汽油后行驶了100千米时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x千米，油箱中剩余油量为y升，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y＝0.12x B．y＝60+0.12x
C．y＝﹣60+0.12x D．y＝60﹣0.12x
【即学即练7】（2021秋•滨海县期末）某商场为了增加销售额，推出“元月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡元月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是　 ．
知识点03．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
【知识拓展3】（2021秋•綦江区期末）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．爷爷比小强先出发20分钟
B．小强爬山的速度是爷爷的2倍
C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况
D．山的高度是480米
【即学即练1】（2021秋•长丰县期末）小明上午8：00从家里出发，跑步去他家附近的抗日纪念馆参加抗美援朝70周年纪念活动，然后从纪念馆原路返回家中，小明离家的路程y（米）和经过的时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（　　）

A．从小明家到纪念馆的路程是1800米
B．小明从家到纪念馆的平均速度为180米/分
C．小明在纪念馆停留45分钟
D．小明从纪念馆返回家中的平均速度为100米/分

【即学即练2】（2021秋•大东区期末）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为 　　万人．

【即学即练3】（2021秋•南岸区期末）一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h到达目的地，并按照原路返回甲地．
（1）返回过程中，汽车行驶的平均速度v与行驶的时间t有怎样的函数关系？
（2）如果要在3h返回甲地，求该司机返程的平均速度；
（3）如图，是返程行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的函数图象，中途休息了30分钟，休息后以平均速度为85km/h的速度回到甲地．求该司机返程所用的总时间．






【即学即练4】（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 　　吨油；运输飞机的油箱有余油量 　　吨油；
（2）这些油全部加给运输飞机需 　　分钟；
（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 　　吨油；
（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 　　小时．

【即学即练5】（2021秋•沛县期末）小明爸爸开车从单位回家，沿途部分路段正在进行施工改造，小明爸爸回家途中距离家的路程ykm与行驶时间xmin之间的函数关系如图所示．结合图象，解决下列问题：
（1）小明爸爸回家路上所花时间为 　　min；
（2）小明爸爸说：“回家路上，有一段路连续4分钟恰好行驶了2.4千米．”你认为该说法有无可能？若有，请求出这4分钟的起止时间；若没有，请说明理由．








【即学即练6】（2021秋•龙凤区校级期末）如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是80km，请你根据图象解决下面的问题．
（1）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？
（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？
（3）若用y表示自行车行驶过的路程，用x表示自行车行驶过的时间，写出y与x的关系．

知识点04．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
【知识拓展4】（（2021秋•东阳市期末）已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C与点B重合，如图①所示．△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．直到点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是（　　）

A．4 B．4 C．3 D．3


【即学即练1】（2021秋•龙岩期末）如图，正方形ABCD的边长为2，点E和点F分别在BC和CD上运动，且保持∠EAF＝45°．若设BE的长为x，EF的长为y，则y与x的函数图象是（　　）

A． B．
C． D．
【即学即练2】（2021秋•沛县期末）如图1，在矩形ABCD中，点P从点C出发，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点P运动的路程为x，△PBC的面积为y，已知y关于x的函数关系如图2所示，则长方形ABCD的面积为（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30
【即学即练3】（2021秋•金湖县期末）如图（1），△ABC和△A'B'C'是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，∠A＝∠A'＝90°．点B'、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移，开始时，点C'与点B重合，当点B'移动到与点C重合时停止．设△A'B'C'移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则BC的长是 　　．

【即学即练4】（2021秋•龙华区期末）如图1，动点P从长方形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D停止．设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为 　　cm2．


知识点05．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
【知识拓展5】（2021秋•紫金县期末）在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（h）与下滑的时间（t）的关系如下表：
支撑物高h（cm）
10
20
30
40
50
…
下滑时间t（s）
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
以下结论错误的是（　　）
A．当h＝40时，t约2.66秒
B．随高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80cm时，t一定小于2.56秒
D．高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒

【即学即练1】（2021秋•肇源县期末）河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关系：
行驶路程s（千米）
0
50
100
150
200
…
剩余油量Q（升）
40
35
30
25
20
…
则该汽车每行驶100千米的耗油量为 　　升．
【即学即练2】（2021春•富平县期末）在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的王红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（100℃），王红家只有刻度不超过100℃的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：
时间t/s
0
10
20
30
40
油温y/℃
10
30
50
70
90
王红发现，烧了110s时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（　　）
A．加热10s，油的温度是30℃
B．在一定范围内，每加热10s，油的温度升高20℃
C．估计这种食用油的沸点温度约是230℃
D．加热50s，油的温度是100℃
知识点06．分段函数
（1）一次函数与常函数组合的分段函数．
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数．（注意：在解决分段函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．）
（2）由文字图象信息确定分段函数．
根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：
①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量．
②关于某个具体点，要求向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标．
③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．
【规律方法】用图象描述分段函数的实际问题需要注意的四点
1．自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示．
2．当两个阶段的图象都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大．
3．各个分段中，准确确定函数关系．
4．确定函数图象的最低点和最高点．
【知识拓展6】（2021春•滦南县期末）在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：
信件质量m/g
0＜m≤20
20＜m≤40
40＜m≤60
60＜m≤80
邮资y/元
1.20
2.40
3.60
4.80
某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（　　）
A．4.80 B．3.60 C．2.40 D．1.20
【即学即练1】（（2021•永州）已知函数y＝，若y＝2，则x＝　　．
【即学即练2】（（2021•锡山区校级模拟）某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离x，单位：公里．
乘车距离x
x≤6
6＜x≤12
12＜x≤22
22＜x≤32
x＞32
票价（元）
3
4
5
6
每增加1元可乘20公里
另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是 　　元．
能力拓展

【考点1】 ：用表格表示变量间关系
例题1．（2020·山东济南市·七年级期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
汽车行驶时间t（h）
0
1
2
3
…
油箱剩余油量Q（L）
100
94
88
82
…
①根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；
②汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少；
③该品牌汽车的油箱加满50L，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远．


【变式1】（2019·广东深圳市·七年级期末）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数(人)与每月利润(利润=收入费用-支出费用)(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)；

(1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量；(填中文)
(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
(3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为 元？
(4)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达 人.
【变式2】（2020·辽宁丹东市·七年级期末）某路公交车每月有人次乘坐，每月的收入为元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是与的部分数据．
/人次
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
/元
1000
2000

4000

6000
…

（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）请将表格补充完整．
（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润收入支出费用）










【考点2】 ：用关系式表示变量间关系
例题2．（2020·甘肃酒泉市·七年级期末）如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．

（）观察图形，填写下表：
链条的节数/节




链条的长度/




（）如果节链条的长度是，那么与之间的关系式是什么？
（）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？



【变式1】（2020·江西九江市·七年级期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度与所挂物体的质量的一组对应值：
所挂物体的质量






弹簧长度







（1）在这个变化的过程中，自变量是 ；因变量是 ；
（2）写出与之间的关系式，并求出当所挂重物为时，弹簧的长度为多少？


【变式2】（2020·甘肃酒泉市·七年级期末）如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．

（）观察图形，填写下表：
链条的节数/节




链条的长度/




（）如果节链条的长度是，那么与之间的关系式是什么？（）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？



【考点3】 ：用图象表示变量间关系
例题3、（2020·四川达州市·七年级期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；
(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；
(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？


【变式1】（2020·四川达州市·七年级期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；
(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；
(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？

【变式2】（2020·贵州毕节市·七年级期末）如图所示，是反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时间与距离之间的关系的一幅图．

（1）下图反映了哪两个变量之间的关系？
（2）爷爷从家里出发后分钟到分钟可能在做什么？
（3）爷爷每天散步多长时间？
（4）爷爷散步时最远离家多少米？
（5）分别计算爷爷离开家后的分钟内、分钟内、分钟内的平均速度．





【变式3】（2021·山东聊城市·七年级期末）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是____________．（填上你认为正确的说法的序号）


分层提分

题组A 基础过关练
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•龙泉驿区期末）小亮放学回家走了一段，发现一家新开的店在搞活动，就好奇地围观了一会，然后意识到回家晚了妈妈会着急，急忙跑步回到家．若设小亮与家的距离为s（米），他离校的时间为t（分钟），则反映该情景的图象为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021秋•丰台区期末）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：cm3）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
3．（2021秋•毕节市期中）油箱中存油60升，油从油箱中均匀流出，流速为0.3升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　）
A．Q＝0.3t B．t＝60﹣0.3Q C．t＝0.3Q D．Q＝60﹣0.3t
4．（2021秋•济阳区期中）一水池的容积是90m3，现有蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止．则水池蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式为（　　）
A．V＝5t B．V＝10t C．V＝5t+10 D．V＝80﹣5t
5．（2021秋•无棣县期中）已知关于x与y之间的关系如表所示：
x
1
2
3
4
…
y
5+0.6
10+1.2
15+1.8
20+2.4
…
下面用的式子中，正确的是（　　）
A．y＝5x+0.6 B．y＝（5+0.6）x C．y＝5+0.6x D．y＝5+0.6+x
二．填空题（共3小题）
6．（2021秋•成都期末）现有一小树苗高100cm，以后平均每年长高50cm．x年后树苗的总高度y（cm）与年份x（年）的关系式是 　 　．
7．（2021秋•福田区期末）元旦期间，大兴商场搞优惠活动，其活动内容是：凡在本商场一次性购买商品超过100元者，超过100元的部分按8折优惠．在此活动中，小明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x（x＞2）件，则应付款y（元）与商品数x（件）之间的关系式，化简后的结果是 　 　．
8．（2021秋•李沧区期中）如图，甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向丙地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离，写出x，y之间的关系式　 　．

三．解答题（共4小题）
9．（2021春•庄河市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，3），点C坐标为（6，0），AB∥x轴，且OA＝AB，动点P从点O出发以2个单位/秒的速度沿O→A→B→C的路线匀速运动，运动到点C时终止．过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，设点P的运动时间为x（s），线段PQ的长为y．
（1）求∠C的度数；
（2）求y与x的函数关系式．

10．（2021•罗庄区一模）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如表．
x
1
2
3
4
5
6
y
6
3
2
1.5
1.2
1
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．
（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．

11．（2021•寻乌县模拟）数学活动课上，老师提出问题：如图1，有一张长4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大（已知长方体的体积＝长×宽×高）．
下面是探究过程，请补充完整：
（1）设小正方形的边长为xdm，体积为ydm3，y和x的关系式是 　 　；自变量x的取值范围是 　 　；
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格：
x/dm
…







1


…
y/dm3
…
1.3
2.2
2.7
　 　
3
2.8
2.5
　 　
1.5
0.9
…
②描点：根据表中的数值，继续描出2中剩余两个点（x，y）；
③在平面直角坐标系中用平滑的曲线画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当图1中小正方形的边长约为 　 　dm时，盒子的体积最大，最大值约为 　 　dm3（结果精确到0.01）．
12．（2020•南山区校级开学）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
x（人）
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
y（元）
﹣3000
﹣2000
﹣1000
0
1000
2000
…
（1）在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到 　 　人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）由表格猜想y与x关系式，并估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？
（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达 　 　人．


题组B 能力提升练
易错点一：常量、变量（自变量、因变量）基本概念认识
1．（2020·山东济南市·七年级期末）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中，因变量是( )
A．沙漠 B．体温 C．时间 D．骆驼
2．（2020·贵州毕节市·七年级期末）甲以每小时20km的速度行驶时，他所走的路程S(km)与时间t（h）之间可用公式s＝20t来表示，则下列说法正确的是（ ）
A．数20和s，t都是变量 B．s是常量，数20和t是变量
C．数20是常量，s和t是变量 D．t是常量，数20和s是变量
易错点二 ：列表法表示变量之间的关系
1．（2020·山东青岛市·七年级期末）某品牌热水壶的成本为50元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：
定价/元
70
80
90
100
110
120
销量/把
80
100
110
100
80
60
现销售了把水壶，则定价约为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．（2020·山东济南市·七年级期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
汽车行驶时间t（h）
0
1
2
3
…
油箱剩余油量Q（L）
100
94
88
82
…
①根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；②汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少；
③该品牌汽车的油箱加满50L，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远．






3．（2020·山东菏泽市·七年级期末） 在建设社会主义新农村过程中，某村委决定投资开发项目，现有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表：
所需资金（亿元）
1
2
4
6
7
8
预计利润（千万元）
0.2
0.35
0.55
0.7
0.9
1
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果预计要获得0.9千万元的利润，你可以怎样投资项目？
（3）如果该村可以拿出10亿元进行多个项目的投资，预计最大年利润是多少？说明理由．




易错点三： 关系式表示变量之间的关系
1．（2020·河北石家庄市·八年级期中）汽车开始行驶时，油箱中有油30升，如果每小时耗油5升，那么油箱中的剩余油量(升)和工作时间(时)之间的函数关系式是____，自变量的取值范围____．
2．（2020·张家口市第十九中学七年级期中）某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应值如表，则m与之间的关系接近于下列各式中的（ ）

A．v=2m B．v=m²-1 C．v=3m+1 D．v=3m-1







3．（2020·丹东市第二十九中学）如图，长方形ABCD的边长分别为AB=12cm，AD=8cm，点P、Q从点A出发，P沿线段AB运动，点Q沿线段AD运动（其中一点停止运动，另一点也随着停止），设AP=AQ=xcm在这个变化过程中，图中阴影部分的面积y(cm2)也随之变化．（1）写出y与x的关系式（2）当AP由2cm变到8cm，图中阴影部分的面积y是如何变化的？请说明理由

4．（2020·安徽淮北市·）某广场用如图1所示的同一种地砖拼图案，第一次拼成的图案如图2所示，共用地砖4块；第2次拼成的图案如图3所示，共用地砖；第3次拼成的图案如图4所示，共用地砖，…．

（1）直接写出第4次拼成的图案共用地砖________块；
（2）按照这样的规律，设第次拼成的图案共用地砖的数量为块，求与之间的函数表达式
易错点四：根据实际信息判断函数图象
1．（2020·广东佛山市·七年级期末）一辆公共汽车从车站开出，加速一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，发现没多少油了，开到加油站加了油，几分钟后，又开始匀速行驶．下面哪一幅图可以近似刻画出该汽车在这段时间内的速度变化情况(　　)
A． B． C． D．






易错点五： 行程问题中的变量关系
1．（2020·四川成都市·成都实外七年级期中）早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直路）上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，分钟后妈妈到家，再经过分钟小刚到达学校，小刚始终以米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法：①打电话时，小刚和妈妈的距离为米；
②打完电话后，经过分钟小刚到达学校；③小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为米/分；
④小刚家与学校的距离为米．其中正确的有________．（在横线上填写正确说法的序号）．

易错点六： 打折销售、水电费等类型中的变量关系
1．（2020·陕西榆林市·榆林十二中七年级期中）由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，如图是某水库的蓄水量V（万立方米）与干旱持续时间t（天）之间的关系图，请根据此图，回答下列问题：
（1）该水库原蓄水量为多少万立方米？持续干旱10天后，水库蓄水量为多少万立方米？
（2）若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱警报，请问持续干旱多少天后，将发出严重干旱警报？（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？




2．（2020·成都市·七年级期末）成都市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费；第一档：每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费；第二档：每月用电超过180度但不足280度时，其中超过部分按每度0.6元计费；第三档：280度以上时，超出部分按每度0.8元计费．（1）若李明家1月份用电160度应交电费　 元，2月份用电200度应交电费　 元．（2）若设用电量为x度，应交电费为y元，请求出这三档中y与x的关系式．并利用关系式求交电费108元时的用电量．





易错点七：几何图形中动态问题的变量关系
1．（2020·山东青岛市·七年级期末）如图，在长方形中，动点从出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为（ ）

A．12 B．24 C．20 D．48



题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．（2020·济南外国语学校七年级期末）星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）

A． B． C． D．
2．（2017·云南楚雄彝族自治州·七年级期末）如图表示的是汽车在行驶的过程中，速度随时间变化而变化的情况．

（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？
（2）汽车在那些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？
（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况．
3．（2020·广东梅州市·七年级期末）如图①所示， 在△ABC中，AD是三角形的高，且AD＝6 cm，E是一个动点，由B向C移动，其速度与时间的变化关系如图②所示，已知BC＝8 cm.
(1)求当E点在运动过程中△ABE的面积y与运动时间x之间的关系式；
(2)当E点停止后，求△ABE的面积．

4．（2020·甘肃酒泉市·七年级期末）如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．

（）观察图形，填写下表：
链条的节数/节




链条的长度/





（）如果节链条的长度是，那么与之间的关系式是什么？
（）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？





5．（2019·山东青岛市·七年级期中）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数之和为.

探究一：图中①—④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积
2
2.5
3
4
…
各边上格点的个数和
4
5
6
8
…

与之间的关系式为：________.
探究二：图中⑤—⑧的格点多边形内部都只有2个格点，请你先完善下表格的空格部分（即分别计算出对应格点多边形的面积）：
多边形的序号
⑤
⑥
⑦
⑧
…
多边形的面积




…
各边上格点的个数和
4
5
6
8
…

与之间的关系式为：________.
猜想：当格点多边形内部有且只有个格点时，与之间的关系式为：_______.



6．（2019·深圳市福田区上步中学七年级期中）一辆汽车邮箱内有油48L，从某地出发，每行1KM耗油0.6L，如果设剩油量为y(L)，行驶路程x(KM)，根据以上信息回答下列问题：
(1)自变量和因变量分别是什么？
(2)写出y与x之间的关系式：
(3)这辆汽车行驶35KM时，剩油多少升？
(4)汽车剩油12L时，行驶了多少千米？
【答案】（1）自变量为行驶的路程；因变量为油箱剩油量．（2）y与x之间的关系式为y=﹣0.6x+48（0≤x≤80）．（3）剩油27升．（4）60km．




7．（2020·四川达州市·七年级期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；
(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；
(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？






8．（2020·广东梅州市·七年级期末）如图①所示， 在△ABC中，AD是三角形的高，且AD＝6 cm，E是一个动点，由B向C移动，其速度与时间的变化关系如图②所示，已知BC＝8 cm.
(1)求当E点在运动过程中△ABE的面积y与运动时间x之间的关系式；
(2)当E点停止后，求△ABE的面积．


9．（2020·山东济南市·七年级期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
汽车行驶时间t（h）
0
1
2
3
…
油箱剩余油量Q（L）
100
94
88
82
…

①根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；
②汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少；
③该品牌汽车的油箱加满50L，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远．











10．（2020·四川甘孜藏族自治州·七年级期末）星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．

（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？
（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？
（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？