2023长沙长郡中学高二上学期期末数学试题含解析

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命题人：刘小苗审题人：陈家烦
得分：________
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．
第I卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在等差数列中，若，，则的公差为（）
A. B. 2C. D. 3
2. 如果直线平面，直线平面，且，则a与b（）
A. 共面B. 平行
C. 是异面直线D. 可能平行，也可能是异面直线
3. 4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方法共有（）
A. 种B. 种C. 种D. 种
4. 的展开式的第6项的系数是
A. B. C. D.
5. 已知等差数列前n项和为；等比数列的前n项和为，且，则（）
A. 22B. 34C. 46D. 50
6. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
8. 设，，，则、、的大小关系是（）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知曲线：，则（）
A. 时，则的焦点是，
B. 当时，则渐近线方程为
C. 当表示双曲线时，则的取值范围为
D. 存在，使表示圆
10. 设直线与圆，则下列结论正确的为（）
A与可能相离
B. 不可能将的周长平分
C. 当时，被截得的弦长为
D. 被截得的最短弦长为
11. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A. DP∥面AB1D1
B. 三棱锥A﹣D1PC的体积为
C. 平面PB1D与平面ACD1所成二面角为90°
D. 异面直线与所成角的范围是
12. 已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（）
A. 若为线段中点，则B. 若，则
C. 存在直线，使得D. 面积的最小值为2
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为________．
14. 函数在其图象上的点处的切线方程为________．
15. 已知，则________．
16. 已知甲、乙两人的投篮命中率都为，丙的投篮命中率为，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚）
17. 已知的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大.
（1）求展开式中第三项系数；
（2）求出展开式中所有有理项(即x的指数为整数的项).
18. 设数列满足，．
（1）计算，，猜想的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
19. 如图，直三棱柱的侧面菱形，．
（1）证明：；
（2）设为的中点，，记二面角为，求的值．
20. 选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为．
（1）若采用局胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？
（2）若采用局胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？
21. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程是，点，且的面积为6．
（1）求双曲线C标准方程；
（2）直线与双曲线C交于不同的两点P，Q，若，求实数m的取值范围．
22已知函数．
（1）若在上恒成立，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下证明:对任意，都有；
（3）设，讨论函数的零点个数．