北师大版初中数学九年级下册第三单元《圆》（困难）（含答案解析） 试卷

北师大版初中数学九年级下册第三单元《圆》（困难）（含答案解析）

考试范围：第三单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列说法：
直径是弦；弦是直径；半径相等的两个半圆是等弧；长度相等的两条弧是等弧；半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  如图，在扇形中，为上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，为的直径，点为上一点，且，则弦与弦的关系是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为(    )
 

A.
B.
C.
D.

5.  如图，是的内接三角形，，于点，若，，则的半径长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列说法：优弧比劣弧长；三点可以确定一个圆；长度相等的弧是等弧；经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.  如图，的内切圆圆与，，分别相切于点，，，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在圆内接正六边形中，，交于点，已知半径为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是，则它的内切圆圆心的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，若将绕点顺时针旋转得到，则点运动的路径的长为  (    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图正六边形的边长为，分别以每一个顶点为圆心，以边长为半径画圆弧，则图中阴影部分面积为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图象称为“果园”，已知点，，，分别是“果园”与坐标轴的交点．若抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果园”被轴截得的弦的长为          ．

14.  如图，在中，，，以为圆心、为半径的圆交于点，交于点求弧所对的圆心角的度数          ．

 

15.  如图，在边长为的正方形网格中，是的外接圆，点，，在格点上，则的值是______．

16.  如图，在半径为的中，内接正四边形与正六边形有两个顶点重合，则阴影部分的面积为________．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

如图，内切于正三角形，正方形内接于，正三角形的边长为，求正方形的面积．

18.  本小题分
如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，．
若，求用表示；
过点作于，交于，，求用表示；
在的条件下，若，，求线段的长．
 

19.  本小题分
如图所示，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．

 

求证：四边形是平行四边形

．

20.  本小题分

解方程：．

如图，的三个顶点坐标分别为，，．

画出将绕点顺时针旋转得到的，并写出点，的坐标；

请在图中作出的外接圆，写出圆心的坐标．

21.  本小题分

在中，，，则面积的最大值是__________；            

如图，已知，用无刻度的直尺和圆规作，使，且，不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注，作出一个符合条件的三角形即可

22.  本小题分

如图，是半圆的直径，点在半圆上，点为的中点，连接，，，与相交于点，过点作直线，交的延长线于点．

求证：是的切线；

若，，求阴影部分的面积．

23.  本小题分
如图，是的外接圆的直径，作交于点，过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，作弦，连结交于点．
求证：四边形为平行四边形；
若，，求的半径及的长．

24.  本小题分
如图，六边形是的内接正六边形．
求证：在六边形中，过顶点的三条对角线四等分．
设的面积为，六边形的面积为，求的值结果保留．

25.  本小题分
如图，点、、在圆上，，直线，，点在上．
判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
若圆的半径为，求图中阴影部分的面积．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】考查了圆的认识及圆的有关概念，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
利用圆的有关概念分别进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：直径是弦，正确，符合题意；
弦不一定是直径，错误，不符合题意；
半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
能够完全重合的两条弧是等弧，错误，不符合题意；
半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有个，
故选C．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的认识：也考查了等腰三角形的性质和三角形的外角性质．
连接，如图，设的度数为，由于，根据等腰三角形的性质得到，则利用三角形外角性质得到，所以，然后利用三角形内角和定理得到，解方程求出，从而得到的度数．
【解答】
解：连接，如图，

设的度数为，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，
．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交于，连接，，

是的直径，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
设，则，
，
．
故选：．
如图，过点作，交于，连接，，证明是等腰直角三角形，且，设，则，计算和的比可得结论．
本题考查了圆心角和弧的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，常通过作辅助线构建等腰直角三角形是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
作半径，连接，作于，如图，利用等角的余角相等得到，则，利用三角形内角和可计算出，所以，从而可计算出，利用勾股定理计算出，然后根据为等腰直角三角形可得到的长．
【解答】
解：作半径，连接，作于，连接，如图，

，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
为等腰直角三角形，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理是解题的关键．作的直径，连接，根据勾股定理求出，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】
解：如图，作的直径，连接，

在中，，，，
则，，
，
，
是的直径，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
的半径长为，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的相关概念，熟练掌握弧、弦、优弧、劣弧的定义以及确定圆的条件是解题的关键 根据劣弧与优弧的定义对进行判断；根据确定圆的条件对进行判断；根据等弧的定义对进行判断；根据弦的定义对进行判断．
【解答】
解：在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，所以错误；
不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，所以错误；
能完全重合的弧是等弧，所以错误；
经过圆内一个定点可以作无数条弦，所以正确；
综上可得，不正确的说法有，共个．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心和圆周角定理，解题关键根据圆周角求出圆心角，进而可得出答案．
根据且切线的性质和圆周角定理即可求解．
【解答】
解：如图，连接，，

的内切圆与、分别相切于点、，
．
，
，
．
故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：连接交于，
在圆内接正六边形中，，，
，
，，
，
，
连接，交于，
则，，
，
，
，
，
故选：．
根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆，坐标与图形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识；正确作出辅助线，证得是等边三角形是解决问题的关键．
连接，，过作于，则是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即得到的坐标．

【解答】
解：连接，，

正六边形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心是，
，，
是等边三角形，
，
过作于，则，，
，
的坐标是，
故选A．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、正多边形与圆、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定、解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
连接、、，根据正多边形的性质求出各个角的度数，结合平行线的判定方法，再逐个判断即可．
【解答】
解：五边形是正五边形，
，，
，
，
，
，故A正确；
连接、，

五边形是正五边形，
，
，
，
切于，
，
，
，
，
故D正确；
又，
，故B正确；
C.连接，过作于，则，

，，
，
，
，故C错误．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查弧长的计算，旋转的性质，由每个小正方形的边长都为，可求得长，然后由弧长公式即可求得答案．
【解答】
解：每个小正方形的边长都为，
，
将绕点顺时针旋转得到，
 ，
点运动的路径的长为：．
故选B．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是等边三角形的判定与性质，三角形的面积，扇形的面积有关知识，连接，，得出是等边三角形，求出，，那么阴影面积，代入计算即可．

【解答】

解：如图，连接，，

则
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分面积是：
 

13.【答案】 

【解析】解：如图：连接，

当时，，
解得，，
，，
，
又为的中点，
，
，，
 

当时，，所以，
，
故答案为：．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：
，，
，
，
，
；
故答案为：．
连接，由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理求出即可．
 本题考查了圆心角、弧、弦的关系、直角三角形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握直角三角形的性质，由等腰三角形的性质求出是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，和相交于点，
是的直径，
，
，，
，
，
，
的值是，
故答案为：．
先连接，，然后根据题意，可以求得的值，再根据圆周角定理可以得到，从而可以得到的值．
本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是求出的余弦值．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解题的关键是知道阴影部分的面积等于个三角形的面积．如图，连接，，根据题意得：是等边三角形，是等腰直角三角形，求得的高和底即可求出阴影部分的面积．
【解答】
解：如图，连接，，

根据题意得：是等边三角形，是等腰直角三角形，
，
的高为，的高为，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为．  

17.【答案】解：连接，，，，过点作 于点，
则．
是的内切圆，
．
，．
令，
．
．
即．
．
．
．

【解析】见答案
 

18.【答案】解：连接，如图所示：
设，，
则，
点为弧中点，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
；
连接，如图所示：
为直径，
，即，
，
，
，
点为弧中点，
，
，
；
连接，如图所示：
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，即，
，
． 

【解析】连接，设，，则，证明，，，得出，即可得出结果；
连接，由直角三角形内角和证明，由点为弧中点，得出，即可得出结果；
连接，证明，得出∽，则，求出，由勾股定理得出，则，，证明∽，得出，求出，即可得出结果．
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
连接，

，
，
又，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
． 

【解析】见答案．
 

20.【答案】解：移项，得．
，，，
，
．
原方程的解为，．
所作如图所示，
点，的坐标分别为，．
所作如图所示，

的坐标． 

【解析】此题主要考查一元二次方程的解法，利用公式法解方程；
此题主要考查旋转的性质及三角形的外接圆；
根据旋转的方向及角度，和旋转中心画出图形，并写出点，的坐标；
先找到圆心，确定半径，作出的外接圆，写出圆心的坐标．
 

21.【答案】解：；
如图，为所作．
 

【解析】

【分析】
本题考查了运用尺规作三角形外接圆，三角形面积公式，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
作的外接圆，当点为优弧的中点时，的边上的高最大，即面积的最值，延长交于，根据垂径定理得到，，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
用尺规作、的垂直平分线交于点，再以点为圆心，为半径作圆得到的外接圆，的垂直平分线交弧于，根据垂径定理得到，则，根据圆内接四边形的性质得到，从而可判断满足条件．
【解答】
解：如图，作的外接圆，当点为优弧的中点时，的边上的高最大，即面积的最值，

延长交于，
由垂径定理可知，，，
，
，又，
为等边三角形，
，
由勾股定理得，，
的面积，
故答案为：；
见答案．  

22.【答案】证明：连接，如图所示，

点为的中点，

，
．
是的切线．
解：连接，如图所示，

，

点为的中点，
，
，
的度数的度数的度数，
．
是半圆的直径，
，
在中，，
，
，
，．
，
．
在中，，
．
，
∽，
，
即，
．
． 

【解析】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，其中利用过圆心，平分弧，然后根据垂径定理证明半径垂直于弦是解题的关键．
连接，证明即可
根据相等，再由中可得，，从而得到，在中，利用锐角三角函数求出、的长，从而求出的面积，在中利用锐角三角函数求出的长，根据可得∽，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出阴影部分的面积．
 

23.【答案】证明：连结，

，
是的直径，
，
，
是的切线，
，
，
是的直径，
，
，
，
四边形为平行四边形；
解：，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
设，
则，，
，
，
，
，，
的半径为，
，
∽，
，
即，
解得，． 

【解析】连结，根据已知条件及切线的性质，得出四边形的两组对边分别平行即可；
，则，，，解出的值，进一步计算可得的半径，因为∽，所以，即可求出．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、切线的性质等，熟知直径所对的圆周角是及设出未知数，建立关于未知数的方程是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，连接，，，
六边形是的内接正六边形，
，
，
，
过顶点的三条对角线四等分；
解：如图，过作于，连接，
设的半径为，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
正六边形的面积，
的面积，
． 

【解析】如图，连接，，，根据正六边形的性质得到，求得，于是得到，即可得到结论；
如图，过作于，连接，设的半径为，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理得到，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：直线与圆相切，
连接，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是圆的半径，
直线与圆相切，

连接，作于，
，
，
，
，，
，
扇形的面积为：，
，
阴影部分的面积为：． 

【解析】本题考查圆的切线的判定定理，弓形面积的求法，关键是掌握切线的判定方法，弓形面积的表示方法．
连接，根据平行线的性质和等腰三角形的性质推出，，进而推出，从而可证明结论；
连接，作于，分别求出扇形的面积和，进而可求出阴影部分的面积．