北师大版初中数学九年级下册第三单元《圆》（较易）（含答案解析） 试卷

北师大版初中数学九年级下册第三单元《圆》（较易）（含答案解析）

考试范围：第三单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知中最长的弦为，则的半径为．(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列说法中，错误的是(    )

A. 顶点在圆心的角叫做圆心角
B. 等于
C. 各边相等的多边形叫做正多边形
D. 在数轴上，与表示的点的距离为的数有和

3.  如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点在上，且不与点，重合，数学学习小组在探究时得出以下结论：是定值；当点是的中点时，四边形是正方形；当点在上移动时，矩形的大小随之变化，但的长度不变；连接，，若，则以上结论正确的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，是的直径，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，的半径为，弦的长为，是弦上的动点，则线段长的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列说法正确的是(    )

A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似
D. 对角线相等的四边形是矩形

7.  如图，在中，弦，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列说法正确的是

A. 长度相等的弧是等弧 B. 三点确定一个圆
C. 圆周角是圆心角的一半 D. 直径所对的圆周角是直角

9.  如图，，分别切于点，若是直径，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正五边形内接于，为上的一点点不与点重合，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

11.  一个扇形的弧长是，面积是，那么扇形的圆心角是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点，则图中阴影部分的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点若，则度数为    

14.  已知的半径，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是________．

15.  设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为______．

16.  如图，边长为的正方形的对角线、相交于点，若以为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

如图，是的直径，为弦，是的中点，，求的长．

18.  本小题分
小明和小华正在练习投铅球，铅球场地分为五个区域：以内，，，，以外．小明投了，小华投了，他们投的球分别落在哪个区域内？

19.  本小题分

如图，在中，，求证：．

20.  本小题分

如图，中，弦与相交于点，，连接、求证：．

21.  本小题分

如图，在中，直径与弦相交于点，，．

求的大小；

已知圆心到的距离为，求的长．

22.  本小题分
已知内接于，的平分线交于点，连接，．
如图，当时，请直接写出线段，，之间满足的等量关系式：______；
如图，当时，试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论．

23.  本小题分
如图，是的直径，，是的中点，连接并延长到点，使连接交于点，连接，．
求证：直线是的切线；
若，求的长．

24.  本小题分
如图，在中，，以为直径作，交于点，作交延长线于点，为上一点，且．
求证：为的切线．
若，，求的长．

25.  本小题分
如图，正五边形内接于，点在上，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查弦，直径等知识，记住圆中最长的弦就是直径是解题的关键．最长的弦就是直径，从而不难求得半径的长．
【解答】
解：中最长的弦为，即直径为，
的半径为．
故选B．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查圆心角的概念，度分秒的换算，正多边形的概念以及数轴上两点间的距离，掌握相关概念是解题的关键．
根据圆心角的概念，度分秒的换算，正多边形的概念以及数轴上两点间的距离对各选项进行判断即可．

【解答】
解：顶点在圆心的角叫做圆心角，正确，不符合题意；
B.，正确，不符合题意；
C.各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形，故C选项错误，符合题意；
D.在数轴上，与表示的点的距离为的数有：和，正确，不符合题意；
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：设半径为，连接，

四边形为矩形，
，，
当时，在中，，，此时；
当时，在中，，此时；
不是定值，故不正确；
点是的中点，
，
，
，
，
，
矩形是正方形，故正确；
点在上移动时，半径一定，且，
当点在上移动时，矩形的大小随之变化，但的长度不变，故正确；
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
，故不正确．
故选：．
设半径为，连接，令或，利用勾股定理即可表示出，即可判断；当点是的中点时，根据圆心角、弧、弦的关系得到，进而得到，即可判断出是正方形；根据矩形的性质，所以当点在上移动时，矩形的大小随之变化，但的长度不变；先根据得到，，进而可得到，，即可判断出结果．
本题是几何综合题，涉及到圆的有关性质、正方形的判定，勾股定理等，解题关键是掌握圆的有关性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据圆周角定理求出，然后由邻补角的定义即可解决问题．
本题考查圆周角定理，邻补角定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了垂线段最短，垂径定理和勾股定理．
根据垂线段最短知，当时，有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】
解：如图，作于，根据垂线段最短知，当时，有最小值，
此时，由垂径定理知，点是的中点，则，
连接，则，
由勾股定理知，．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故符合题意；
B、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故不符合题意；
C、两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形不一定相似，故不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
故选：．
根据相似三角形的判定，垂径定理，菱形的判定，矩形的判定定理判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，垂径定理，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质．

根据平行线的性质由得到，然后根据圆周角定理求解．
【解答】
解：，

，
．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了圆周角定理及其推论，圆心角、弧、弦的关系，确定圆的条件，难度不大根据圆周角定理及其推论进行逐一分析判断．
【解答】
解：长度相等的两条弧不一定能互相重合，故不是等弧，故此选项错误；
B.不在同一直线上的三点确定一个圆，故此选项错误；
C.圆周角和圆心角必须对应的是同一条弧，故该选项错误；
D.直径所对的圆周角是直角，故本项正确．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到的度数，根据四边形的内角和定理即可得到结论．
【解答】
解：连接，

，分别切于点，，是直径，
，
，
，
．  

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，．

是正五边形，
，
，
故选：．
连接，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握各自的公式是解本题的关键．利用弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 
【解答】
解：根据题意得：，即，
解得：，
，

，
解得：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．已知为直径，则，在等腰直角三角形中，垂直平分，，为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差．
【解答】
解：在中，，
是半圆的直径，
，
在等腰中，垂直平分，，
为半圆的中点，
．
故选A．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆的相关概念等知识．
连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得即可求解．
【解答】
解：连接．

，，
，，
，   ，
 ，
．  

14.【答案】 相交 

【解析】

【分析】
本题考查了直线和圆的位置关系的判断
比较圆心到直线的距离以及圆的半径即可．
【解答】
解：的半径为，圆心到直线的距离为，，即，
直线与的位置关系是相交．
故答案为相交．  

15.【答案】 

【解析】解：设，则原方程可化为：
，
，
即，
，舍去，
，
这个直角三角形的斜边长为，
这个直角三角形的外接圆的半径为，
这个直角三角形的外接圆面积为，
故答案为：．
利用换元法解方程，即可得到，进而得出这个直角三角形的斜边，根据圆的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，解一元二次方程的能力和勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
，
阴影部分的面积

．
由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之差．
本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

17.【答案】解：由题意，得是的中位线，
 

【解析】见答案
 

18.【答案】解：铅球场地分为五个区域：以内，，，，以外是指分别以，，，为半径画出的圆弧，
所以小明投了，投的球落在区域内，小华投了，投的球落在区域内． 

【解析】根据圆的概念解答即可．
此题考查圆的认识，关键是根据圆的概念解答．
 

19.【答案】证明：，，
是等边三角形．
．
．
． 

【解析】见答案
 

20.【答案】证明，
，即，
，
，
又，，
≌，
． 

【解析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，由知，得，结合，可证≌，从而得出答案．由知，得，结合，可证≌，从而得出答案．
 

21.【答案】解：，．
，
由圆周角定理得：，
；
过作于，

过，
，
圆心到的距离为，
，
，，
． 

【解析】本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
根据三角形外角性质求出，根据圆周角定理得出，即可求出答案；
过作于，根据垂径定理求出，根据三角形中位线求出，代入求出即可．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图在线段上截取，连接，

，平分，
，
，
，
同理：，
，
，，
，
，
，
≌，
，
．
故答案为：．
，理由如下：
如图，延长到点，使，连接，

四边形内接于，
，
，
，
≌，
，
，
，
，即，
．
在线段上截取，连接，结合已知条件可知和都是等边三角形，从而可证≌，，进而可得结论；
延长到点，使，连接，可证≌，得，因此可证得结论．
本题考查了圆的内接四边形定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解本题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，



是的直径，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
直线是的切线；
解：，
由得：≌，
，
，
，
，
． 

【解析】证明≌，可得，可得结论；
由得：≌，则，根据勾股定理得：，利用面积法可得的长．
本题考查圆的有关知识，切线的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，，
，，
，
，
，
为的切线；
解：连接，

为的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据垂直的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，，推出，于是得到结论；
连接，求出，由勾股定理求出，证出，则可得出答案．
本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，连接，，

五边形是正五边形，
，
，
． 

【解析】连接，，由正五边形的性质可得，即可求解．
本题考查了正多边形和圆，圆周角定理等知识，灵活运用正五边形的性质是本题的关键．