【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题03 分式方程及其应用（原卷版+解析版）

2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）

第二篇 必考的重点专题 

专题03 分式方程及其应用

1. （2022浙江丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（    ）

A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量

【答案】D

【解析】由的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x的含义．

由可得：

由表示的是足球的单价，而表示的是篮球的单价，

表示的是购买篮球的数量，

故选D

【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键．

2. （2022辽宁营口）分式方程的解是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可．

，

去分母，得，

去括号，得，

移项，得，

所以．

经检验，是原方程的解．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．

3. （2022四川遂宁）若关于x的方程无解，则m的值为（    ）

A. 0 B. 4或6 C. 6 D. 0或4

【答案】D

【解析】现将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．

方程两边同乘，得，

整理得，

原方程无解，

当时，；

当时，或，此时，，

解得或，

当时，无解；

当时，，解得；

综上，m的值为0或4；

故选：D．

【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．

4. （2022黑龙江龙东地区）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ）

A.  B.  C. 且 D. 且

【答案】C

【解析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解．

方程两边同时乘以，得，

解得，

关于x的分式方程的解是正数，

，且，

即且，

且，

故选：C．

【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．

5.  （2022重庆）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ）

A. 13 B. 15 C. 18 D. 20

【答案】A

【解析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解．

【详解】由分式方程的解为整数可得：

解得：

又题意得：且

∴且，

由得：

由得：

∵解集为

∴

解得：

综上可知a的整数解有：3，4，6

它们的和为：13

故选：A．

【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．

6. （2022内蒙古通辽）若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（   ）

A.  B. 且

C.  D. 且

【答案】B

【解析】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．

∵，

∴，

解得：，

∵解为正数，

∴，

∴，

∵分母不能为0，

∴，

∴，解得，

综上所述：且，

故选：B．

【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．

7. （2022四川成都）分式方程的解是_________．

【答案】

【解析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．

解：化整式方程为：3﹣x﹣1＝x﹣4，

解得：x＝3，

经检验x＝3是原方程的解，

故答案为：．

【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键．

8. （2022湖南常德）方程的解为________．

【答案】

【解析】根据方程两边同时乘以，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．

方程两边同时乘以，

解得

经检验，是原方程的解

故答案为：

【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．

9. （2022黑龙江齐齐哈尔）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是_____．

【答案】m >0且m≠1

【解析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．

方程两边同时乘以得到：，

整理得到：，

∵分式方程的解大于1，

∴，解得：，

又分式方程的分母不为0，

∴且，解得：且，

∴m的取值范围是m >0且m≠1．

【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．

10.（2022浙江金华）若分式的值为2，则x的值是_______．

【答案】4

【解析】根据题意建立分式方程，再解方程即可；

由题意得：

去分母：

去括号：

移项，合并同类项：

系数化为1：

经检验，x=4是原方程的解，

故答案为：4；

【点睛】本题考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键．

11.（2022湖南邵阳）分式方程的根为_____

【答案】x=-3

【解析】，

去分母得：5x-3(x-2)=0，

解得：x=-3，

检验：当x=-3时，x(x-3)≠0，

所以，原分式方程的解为x=-3，

故答案是：x=-3．

12.（2022江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为__________．

【答案】

【解析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．

【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键．

13.（2022江苏宿迁）解方程：．

【答案】x＝﹣1

【解析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．

，

2x＝x﹣2+1，

x＝﹣1，

经检验x＝﹣1是原方程的解，

则原方程的解是x＝﹣1．

【点睛】本题考查解分式方程，得出方程的解之后一定要验根．

14. （2022浙江嘉兴）解方程：．

【答案】

【解析】先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可．

，

去分母：

整理得：

经检验：是原方程的根，

所以原方程根为：

【点睛】掌握分式方程的解法，是解本题的关键．

15. （2022长春）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？

【答案】乙班每小时挖400千克的土豆

【解析】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆，根据题意列出分式方程即可求解．

【详解】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆，

根据题意有：，

解得：x=400，

经检验，x=400是原方程的根，

故乙班每小时挖400千克的土豆．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．

16. （2022广西百色）金鷹酒店有140间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工程队的安装任务有80台，两队同时安装．问：

（1）甲，乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？

（2）金鹰酒店响应“縁色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时耗电1.5度：据预估，每天至少有100间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时，若电费0.8元／度，请你估计该酒店毎天所有客房空调所用电费 W（单位：元）的范围？

【答案】（1）甲工程队每天安装20台空调，乙工程队每天安装15台空调，才能同时完成任务   

（2）

【解析】【分析】（1）设乙工程队每天安装台空调，则甲工程队每天安装台空调，根据甲队的安装任务除以甲队的速度等于乙队的安装任务除以乙队的速度，可列分式方程，求解并检验即可；

（2）设每天有间客房有旅客住宿，先根据题意表示出W，再根据，即可确定W的范围．

【小问1详解】

解：设乙工程队每天安装台空调，则甲工程队每天安装台空调，

由题意得，

解得，

经检验，是所列方程的解，且符合题意，

（台），

所以，甲工程队每天安装20台空调，乙工程队每天安装15台空调，才能同时完成任务；

【小问2详解】

解：设每天有间客房有旅客住宿，

由题意得，

，

随的增大而增大，

，

当时，；当时，；

．

【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，列函数解析式，不等式的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．

17. （2022内蒙古呼和浩特）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．

（1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？

（2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？

【答案】（1）去年每吨土豆的平均价格是2200元   

（2）应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元

【解析】【分析】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+200）元，第二次采购的平均价格为（x-200）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；

（2）先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．

【小问1详解】

设去年每吨土豆的平均价格是x元，

由题意得， ，

解得：，

经检验：是原分式方程的解，且符合题意，

答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；

【小问2详解】

由（1）得，今年的土豆数为：(吨)，

设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375－m）吨加工成淀粉，

由题意得，，

解得：，  

总利润为：，    

当时，利润最大，最大利润为：（元）．

答：应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元．

【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．

18. 学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．

【答案】张老师骑车的速度为千米/小时

【解析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．

【详解】设张老师骑车的速度为千米/小时，则汽车速度是千米/小时，

根据题意得：，

解之得，

经检验是分式方程的解，

答：张老师骑车的速度为千米/小时．

【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．

19. 方程+1＝的解是_______．

【答案】x=1

【解析】去分母，得x－3+x－2=－3，解得x=1．

当x=1时，x－2=－1，

所以x=1是分式方程的解．

20. 若关于x的分式方程有增根,则m的值为________.

【答案】1

【解析】解原分式方程,去分母得:x－2m＝2m(x－2),

若原分式方程有增根,则x＝2,将其代入这个一元一次方程,

得2－2m＝2m(2－2),

解之得,m＝1.

21.（2022重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．

（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？

（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？

【答案】（1）100米    （2）90米

【解析】【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米，根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；

（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，根据水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y的分式方程，解方程即可得出答案．

【小问1详解】

解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米，

则有

解得

∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．

【小问2详解】

∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同

∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)

乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)

解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，即1.2y米

则有

解得

经检验，是原方程的解，符合题意

∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．

【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题意，正确设出未知数，并列出方程，是解题的关键．