【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题15 圆的问题（原卷版+解析版）

2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）

第二篇 必考的重点专题 

专题15 圆的问题

1. （2022重庆）如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点P，若，则的长为（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】D

【解析】连接，如图所示，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵是的切线，

∴，

∵，

∴，

在中，，，

∴，，

∵，，

∴，

故选D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答此题的关键．

2. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD

【答案】C

【解析】∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，

∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，

∴AD⊥BD，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠DBC＝∠OCB，

∴OC∥BD，选项A成立；

∴AD⊥OC，选项B成立；

∴AF＝FD，选项D成立；

∵△CEF和△BED中，没有相等的边，

∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选：C．

3. 如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于　　度．

【答案】57°

【解析】连接OE，OF

∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F

∴OE⊥AB，OF⊥AC

又∵∠BAC＝66°

∴∠EOF＝114°

∵∠EOF＝2∠EPF

∴∠EPF＝57°

4.如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为　   　．

【答案】2．

【解析】连接CD、OC，如图：

∵AC与⊙O相切于点C，

∴AC⊥OC，

∵∠CAB＝90°，

∴AC⊥AB，

∴OC∥AB，

∴∠ABC＝∠OCB，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠CBO，

∴∠ABC＝∠CBO，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BCD＝90°＝∠CAB，

∴△ABC∽△CBD，

∴＝，

∴BC2＝AB×BD＝4×6＝24，

∴BC＝＝2；故答案为：2．

5. 如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为　   　．

【答案】60°．

【解析】∵OA⊥BC，

∴＝，

∴∠AOB＝2∠ADC，

∵∠ADC＝30°，

∴∠AOB＝60°．

6. （2022浙江湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．

【答案】30°

【解析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．

∵OC⊥AB，OD为直径，

∴，

∴∠AOB=∠BOD，

∵∠AOB=120°，

∴∠AOD=60°，

∴∠APD=∠AOD=30°，

故答案为：30°．

【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．

7. （2022浙江宁波）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为___________．

【答案】或

【解析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．

连接OA，

①当D点与O点重合时，∠CAD为90°，

设圆的半径=r，

∴OA=r，OC=4-r，

∵AC=4，

在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，

解得：r=，

即AD=AO=；

②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，

∵AO•AC=OC•AD，

∴AD=，

∵AO=，AC=2，OC=4-r=，

∴AD=，

综上所述，AD的长为或，

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．

8. （2022浙江台州）如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接．

（1）求证：；

（2）若⊙与相切，求∠B的度数；

（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】（1）证明见详解 （2）  （3）作图见详解

【解析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明；

（2）根据切线的性质可以得到，然后在等腰直角三角形中即可求解；

（3）根据等弧所对的圆周角相等，可知可以作出AD的垂直平分线，的角平分线，的角平分线等方法均可得到结论．

【详解】（1）证明：∵是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴．

（2）∵与相切，

∴，

又∵，

∴．

（3）如下图，点就是所要作的的中点．

【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等，理解圆的相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键．

9.（2022福建）如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．

（1）求证：AC＝AF；

（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】【分析】（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明即可得到结论；

（2）连接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理可得最后由弧长公式可求出结论．

【详解】(1)∵，，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴∠B＝∠D．

又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，

∴，

∴AC＝AF．

(2)连接AO，CO．

由（1）得∠AFC＝∠ACF，

又∵∠CAF＝30°，

∴，

∴．

∴的长．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．

10. （2022甘肃兰州）如图，内接于，CD是的直径，，则（    ）

A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°

【答案】C

【解析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CAD＝90°，

∴∠ACD+∠D＝90°，

∵∠ACD＝40°，

∴∠ADC＝∠B＝50°．

故选：C．

【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．

11. （2022广东）如图，四边形内接于，为的直径，．

（1）试判断的形状，并给出证明；

（2）若，，求的长度．

【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；    （2）；

【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；

（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；

【详解】(1)证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，

∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，

∴∠ACB=∠CAB，

∴△ABC是等腰直角三角形；

(2)解：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴BC=AB=，

∴AC=，

Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，

∴CD=．

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．