【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题04 特殊函数（原卷版+解析版）

2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）

第五篇 中考数学冷门专题

专题04 特殊函数

1.（2022黑龙江大庆）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为(   )

①；

②；

③高斯函数中，当时，x的取值范围是；

④函数中，当时，．

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】根据表示不超过x的最大整数，即可解答．

①，故原说法错误；

②，正确，符合题意；

③高斯函数中，当时，x的取值范围是，正确，符合题意；

④函数中，当时，，正确，符合题意；

所以，正确的结论有3个．

故选：D．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确表示不超过x的最大整数．

2.（2022上海）已知f（x）=3x，则f（1）=_____．

【答案】3

【解析】直接代入求值即可．

∵f（x）=3x，

∴f（1）=3×1=3，

故答案为：3

【点睛】本题主要考查了求函数值，直接把自变量的值代入即可．

3. （2021湖南永州）已知函数y＝，若y＝2，则x＝　   　．

【答案】2

【解析】根据题意，进行分类解答，即可求值．

∵y＝2．

∴当x2＝2时，x＝．

∵0≤x＜1．

∴x＝（舍去）．

当2x﹣2＝2时，x＝2．

4．如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A．甲从中山路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发xmin时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1m、y2m．已知y1、y2与x之间的函数关系如图②所示．

（1）求甲、乙两人的速度；

（2）当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？

【答案】见解析。

【解析】（1）设甲、乙两人的速度分别为am/min，bm/min，则：

y1＝

y2＝bx

由图②知：x＝3.75或7.5时，y1＝y2，∴，解得：

答：甲的速度为240m/min，乙的速度为80m/min．

（2）设甲、乙之间距离为d，

则d2＝（1200﹣240x）2+（80x）2

＝64000（x﹣）2+144000，

∴当x＝时，d2的最小值为144000，即d的最小值为120；

答：当x＝时，甲、乙两人之间的距离最短．

5．甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）货车的速度是　   　千米/小时；轿车的速度是　   　千米/小时；t值为　   　．

（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米．

【答案】见解析。

【解析】（1）车的速度是50千米/小时；轿车的速度是：

400÷（7﹣2）＝80千米/小时；t＝240÷80＝3．

故答案为：50；80；3；

（2）由题意可知：A（3，240），B（4，240），C（7，0），

设直线OA的解析式为y＝k1x（k1≠0），

∴y＝80x（0≤x≤3），

当3≤x≤4时，y＝240，

设直线BC的解析式为y＝k2x+b（k≠0），

把B（4，240），C（7，0）代入得：

，解得，

∴y＝﹣80+560，

∴y＝；

（3）设货车出发x小时后两车相距90千米，根据题意得：

50x+80（x﹣1）＝400﹣90或50x+80（x﹣2）＝400+90，

解得x＝3或5．

答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米．

6．（2021武汉）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图（　　）

A．h B．h C．h D．h

【答案】B

【解析】根据图象得出，慢车的速度为，快车的速度为．从而得出快车和慢车对应的y与t的函数关系式．联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的坐标，即可得出间隔时间．

解：根据图象可知，慢车的速度为．

对于快车，由于往返速度大小不变，

因此单程所花时间为2 h，故其速度为．

所以对于慢车，y与t的函数表达式为．

对于快车，y与t的函数表达式为

联立①②，可解得交点横坐标为t＝3，

联立①③，可解得交点横坐标为t＝4.5，

因此，两车先后两次相遇的间隔时间是7.5．

7．（2021山东临沂）已知函数y＝

（1）画出函数图象；

列表：

描点，连线得到函数图象：

（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；

（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．

【答案】见解析。

【解析】（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y值，列表，在图像中描点，画出图像即可；

（2）观察图像可得函数的最大值；

（3）根据x1+x2＝0，得到x1和x2互为相反数，再分﹣1＜x1＜1，x1≤﹣1，x1≥1，分别验证y1+y2＝0．

解：（1）列表如下：

函数图像如图所示：

（2）根据图像可知：

当x＝1时，函数有最大值3；

（3）∵(x1,x2)是函数图象上的点，x1+x2＝0，

∴x1和x2互为相反数，

当﹣1＜x1＜1时，﹣1＜x2＜1，

∴y1＝3x1，y2＝3x2，

∴y1+y2＝3x1+3x2＝3（x1+x2）＝0；

当x1≤﹣1时，x2≥1，

则y1+y2＝＝0；

同理：当x1≥1时，x2≤﹣1，

y1+y2＝0，

综上：y1+y2＝0．