【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题03 黄金分割问题（原卷版+解析版）

2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）

第四篇 常考的亮点专题

专题03 黄金分割问题

1. （2022湖南衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可．

设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，

∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，

雷锋雕像为2m，

∴ 

∴，

即该雕像的下部设计高度约是1.24m．

【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．

2. （2022陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．

【答案】或者

【解析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．

∵点E是AB的黄金分割点，

∴．

∵AB=2米，

∴米．

【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．

3. （2022四川达州）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．

【答案】5050

【解析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．

，，

，

，

，

…，

故答案为：5050

【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．

4. （2022湖南娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点是的黄金分割点，即．延长与相交于点，则________.（精确到0.001）

【答案】0.618

【解析】设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，四边形EFGM是矩形，则EG＝MF＝y，由得x－y≈0.618x，求得y≈0.382x，进一步求得，即可得到答案．

【详解】如图，设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，

由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，

∴四边形EFGM是矩形，

∴EG＝MF＝y，

∵，

∴x－y≈0.618x，

解得y≈0.382x，

∴，

∴EG≈0.618DE．

故答案为：0.618．

【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、分式的化简、等式的基本性质、二元一次方程等知识，求得y≈0.382x是解题的关键．

5.勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据黄金分割点的概念得：

AC＝AB＝×2＝﹣1，

∴BC＝AB﹣AC＝3﹣

6．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　）

A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH

【答案】 D

【解析】设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1

在直角三角形DCF中，DF＝＝

∴FG＝

∴CG＝﹣1

∴＝

∴矩形DCGH为黄金矩形。故选：D．

7.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618，称为黄金比例，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm，则其身高可能是（　　）

A．165cm B．178cm C．185cm D．190cm

【答案】B

【解析】设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm，则

≈0.618，

解得x≈42.072，

设某人的肚脐至足底的长度为ycm，则

≈0.618，

解得y≈110.149，

∴其身高可能是110.149÷0.618≈178（cm）。

8.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米）　　　．

【答案】7.6米．

【解析】根据黄金比得：20×（1﹣0.618）≈7.6米，

∵黄金分割点有2个，

∴20﹣7.6＝12.4，

由于7.6＜12.4米

∴主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体．

9. 如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？

【答案】见解析。

【解析】（1）矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形．

 （2）要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明＝即可．

矩形ABFE是黄金矩形．

理由如下：因为＝

＝

所以矩形ABFE也是黄金矩形．

【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的角平分线．

（1）求证：△ABC∽△BDC；

（2）求证：点D是线段AC的黄金分割点．

【答案】见解析。

【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠ACB＝72°，

∵BD是∠ABC的角平分线，

∴∠ABD＝∠DBC＝36°，

∴∠A＝∠CBD，又∠C＝∠C，

∴△ABC∽△BDC；

（2）∵△ABC∽△BDC，

∴＝，

∴BC2＝AC•CD，

∵∠A＝∠ABD，

∴DA＝DB，

∵∠C＝∠BDC，

∴BC＝DB，

∴BC＝AD，

∴AD2＝AC•CD．

11.两千多年前，古希数学家欧多克索斯（Eudoxus，约公元前400年一公元前347年）发现；将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即，则点P叫做线段AB的黄金分割点．如图，在△ABC中，点D是线段AC的黄金分割点，且AD＜CD，AB＝CD．

（1）求证：∠ABC＝∠ADB；

（2）若BC＝4cm，求BD的长．

【答案】见解析。

【解析】（1）证明：∵点D是线段AC的黄金分割点，且AD＜CD，

∴AD：CD＝CD：AC，

∵AB＝CD，

∴AD：AB＝AB：AC，

而∠DAB＝∠BAC，

∴△ABD∽△ACB，

∴∠ADB＝∠ABC；

（2）∵△ABD∽△ACB，

∴＝，

而AB＝CD，

∴＝，

∵点D是线段AC的黄金分割点，且AD＜CD，

∴CD＝AC，

∴＝，

∴BD＝（2﹣2）cm．

12.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．

（1）求∠B的度数；

（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．

①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；

②求AD的长；

③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．

【答案】见解析。

【解析】（1）∵BD＝DC＝AC．

则∠B＝∠DCB，∠CDA＝∠A．

设∠B＝x，则∠DCB＝x，∠CDA＝∠A＝2x．

又∠BOC＝108°，

∴∠B+∠A＝108°．

∴x+2x＝108，x＝36°．

∴∠B＝36°；

（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．

∵DB＝DC，∠B＝36°，

∴△DBC是黄金三角形，

（或∵CD＝CA，∠ACD＝180°﹣∠CDA﹣∠A＝36°．

∴△CDA是黄金三角形．

或∵∠ACE＝108°，

∴∠ACB＝72°．又∠A＝2x＝72°，

∴∠A＝∠ACB．

∴BA＝BC．

∴△BAC是黄金三角形．

②△BAC是黄金三角形，

∴，

∵BC＝2，∴AC＝﹣1．

∵BA＝BC＝2，BD＝AC＝﹣1，

∴AD＝BA﹣BD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，

③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．

ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．

ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点 P3．

13．二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．

例如：化简：．

解：将分子、分写同乘以得＝＝．

类比应用：（1）化简：＝　   　．

（2）化简： ++…+．

拓展延伸：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝1．

（1）黄金矩形ABCD的长BC＝　   　；

（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；

（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为　   　．

【答案】见解析。

【解析】类比应用：（1）根据题意可得：

化简：＝＝2+；

故答案为：2+；

（2）根据题意可得：

原式＝﹣1+﹣+…+﹣

＝3﹣1

＝2；

拓展延伸：

（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，

若黄金矩形ABCD的宽AB＝1．

则黄金矩形ABCD的长BC为：

1：＝＝；

故答案为：；

（2）矩形DCEF是黄金矩形，理由如下：

由裁剪可知：

AB＝AF＝BE＝EF＝CD＝1，

根据黄金矩形的性质可知：

AD＝BC＝1：＝＝；

∴FD＝EC＝AD﹣AF＝﹣1＝，

∴＝÷1＝；

所以矩形DCEF是黄金矩形；

（3）如图，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，

∵AB＝EF＝1，AD＝，

∴AE＝＝，

在△AED中，

S△AED＝×AD×EF＝AE×DG，

即AD×EF＝AE×DG，

则×1＝×DG，

解得DG＝．

所以点D到线段AE的距离为．

故答案为：．

14.勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．在设计人体雕像时，使雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为（结果保留两位小数）（　　）

A．1.23m B．1.24m C．1.25m D．1.236m

【答案】B

【解析】∵雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近0.618，

∴雕像的下部（腰以下）的长＝0.618×2≈1.24（m）．

15．（2021湖北黄冈）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a＝ ，b＝得ab＝1，记S1＝，S2＝，…，S10＝，则S1+S2+…+S10＝　   　．

【答案】10

【解析】利用分式的加减法则分别可求S1＝1，S2＝1，S10＝1，即可求解．

∵S1＝＝＝1，S3＝＝＝1，…，S10＝＝＝3，

∴S1+S2+…+S10＝4+1+…+1＝10．

16.点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为　                 ．

【解答】2﹣2或6﹣2．

【解析】①当AC＞BC时，

∵点C是线段AB的黄金分割点，

∴AC＝AB＝2﹣2；

②当AC＜BC时，

∵点C是线段AB的黄金分割点，

∴BC＝AB＝2﹣2，

∴AC＝AB﹣BC＝6﹣2；

综上所述，线段AC的长为2﹣2或6﹣2；

故答案为2﹣2或6﹣2．

17. （2022山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（    ）

A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割

【答案】D

【解析】根据黄金分割的定义即可求解．

动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．

故选：D

【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．

18. 下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（    ）

A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③

【答案】B

【解析】设，则，求出，，分别求出比值，作出判断．

设，

∴，

在中，，

由折叠可知，，

∴ ，

又∵，

∴，

，

，，

，

∴比值为是①③，

故选：B．

【点睛】本题考查四边形综合题，黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．