2023届高考数学二轮复习讲义——第十八讲空间几何体表面积和体积

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空间几何体的表面积与体积公式
【典型题型讲解】
考点一：空间几何体的表面积
【典例例题】
例1．（2022·广东深圳·一模）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．8πB．4πC．8D．4
【答案】．A
【详解】以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，
其底面半径r=2，高h=2，
故其侧面积为.
故选：A
例2．（2022·广东韶关·一模）已知圆锥的侧面展开图为一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【详解】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为，
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则，解得，
则圆锥的高.
故选：D.
例3．（2022·广东惠州·一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上､下底面圆的半径分别为，（），则___________.
【答案】2
【详解】圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，
所以圆台的母线长为，
圆台的侧面积为，
所以.
故答案为：2
例4．（2022·广东揭阳·高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为，其高，其外接球的半径，则圆柱的表面积，球的表面积，则圆柱的表面积与球的表面积之比为，
故选：.
例5．（2022·广东潮州·高三期末）若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】．C
【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，
所以，
解得，
设该圆锥的母线与底面所成角，
则，
所以．
故选：C
【方法技巧与总结】
熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.
【变式训练】
1．（2022·广东东莞·高三期末）已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积为，则该圆锥的体积为___________.
【答案】
【详解】设圆锥的母线长为，
因为圆锥的底面半径，
所以圆锥的侧面积，依题意可得，解得，
所以圆锥的高，
所以该圆锥的体积.
故答案为：.
2．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB平面BCD，CDAD，AB=BD=，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为_________．
【答案】
【详解】如图所示：
设CD=x，由题意得：，
在中，由余弦定理得：，
即，
即，解得或（舍去），
如图所示：
该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径为：，
所以外接球的表面积为 ，
故答案为：
3．（2021·广东佛山·一模）（多选）如图，已知圆锥的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（ ）
A．外接球的表面积为
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．过点P作平面截圆锥的截面面积的最大值为
D．设长方体为圆锥的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为
【答案】．AD
【详解】因为，解得，即圆锥母线长为2，则高，
设圆锥外接球半径为，如图，
则对由勾股定理得，即，外接球面积为，故A正确；
设内切球的半径为垂直于交于点D，如图，
则对，即，解得，故B项错误；
过点P作平面截圆锥的截面面积的最大时，如图，
因为，故恰好为等腰直角三角形时取到，点C在圆锥底面上，，故C项错误；
设圆锥有一内接长方体，其中一个上顶点为E，上平面中心为，如图，
则，当长方形上平面为正方形时，上平面面积最大，
长方体体积为，当时，时，，故，
故D正确，
故选：AD
4.（2022·广东广州·一模）已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________.
【答案】．
【详解】由题设，将三棱锥补全为棱长为的正方体，如下图示：
若，则，即在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，
又，，
所以，面与球面所成弧是以为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为；
面与与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；
面与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；
所以最长弧的弧长为.
故答案为：.
5.设圆锥底面圆周上两点、间的距离为，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为，则该圆锥的侧面积为___________.
【答案】
【解析】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、，
因为，，则，，故，
因为平面，平面，，
所以，为直线、的公垂线，故，
因为，，，
所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为，
因此，该圆锥的侧面积为.
故答案为：.
6.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为圆台下底面半径为5，球的直径为，
所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为，画出轴截面如图，

设圆台上底面圆的半径，则
所以球心到上底面的距离，即圆台的高为3，
所以母线长，
所以，
故选：C.
考点二：空间几何体体积
【典例例题】
例1．（2022·广东汕头·高三期末）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】．C
【详解】如图，设底面中心为，连接，由几何关系知，
，则正八面体体积为
.
故选：C
例2.已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】解：如图所示：
连接，
因为，，且，
所以平面，
所以，
，
故选：D
例3.《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，设，则，.
过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，
在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，
所以，，，
因为，，，所以，，
所以，，所以，，
所以等腰梯形的面积为，得.
所以，，，故方亭的体积为.
故选：C.
【方法技巧与总结】
熟记几何体体积公式，能够画出几何体的直观图
【变式训练】
1.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【解析】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；
圆台的体积，则选项错误；
圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；
由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．
故选：AC．
2．（2022·广东东莞·高三期末）已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积为，则该圆锥的体积为___________.
【答案】
【详解】设圆锥的母线长为，
因为圆锥的底面半径，
所以圆锥的侧面积，依题意可得，解得，
所以圆锥的高，
所以该圆锥的体积.
故答案为：.
3．（2022·广东韶关·一模）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若，，则此球的体积为__________.
【答案】
【详解】解：设的外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，球心为，
底面为直角三角形，故其外接圆圆心在斜边中点处，则，
又，在中，.
故答案为：.
4．（2022·广东韶关·一模）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若，，则此球的体积为__________.
【答案】
【详解】解：设的外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，球心为，
底面为直角三角形，故其外接圆圆心在斜边中点处，则，
又，在中，.
故答案为：.
5.（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体中，，，，则其外接球的体积为______.
【答案】
【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为，
则四面体的外接球即为此长方体的外接球，
设长方体的长宽高分别x，y，z，外接球半径为R
则，
所以,
则，解得，
所以.
故答案为：
6．（2021·广东佛山·一模）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．不确定
7．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB平面BCD，CDAD，AB=BD=，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为_________．
【答案】
【详解】如图所示：
设CD=x，由题意得：，
在中，由余弦定理得：，
即，
即，解得或（舍去），
如图所示：
该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径为：，
所以外接球的表面积为 ，
故答案为：
8．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体中，，，，则其外接球的体积为______.
【答案】．
【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为，
则四面体的外接球即为此长方体的外接球，
设长方体的长宽高分别x，y，z，外接球半径为R
则，
所以,
则，解得，
所以.
故答案为：
9．（2022·广东清远·高三期末）如图，在长方体中，，P为的中点，过的平面分别与棱交于点E，F，且，则平面截长方体所得上下两部分的体积比值为_________；所得的截面四边形的面积为___________．
【答案】3
【详解】如图，过点B作的平行线分别与的延长线交于G，H，连接，并分别与交于E，F，
因为GH，且平面，平面
所以平面，
所以平面即平面．
因为，所以，
所以．
因为四边形为菱形，且，
所以．
故答案为：3；.
【巩固练习】
一、单选题
1．已知圆锥的高为1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】D
【解析】如图是圆锥的轴截面，
由题意母线，高，
则，是锐角，
所以，于是得轴截面顶角，
设截面三角形的顶角为，则过此圆锥顶点的截面面积，
当两条母线夹角为时，截面面积为为所求面积最大值，
故选：D.
2．若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意过顶点和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示：
所以，，所以，，
为矩形，设，所以，所以，
所以，即，即，解得.
故选：C.
3．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设，圆锥的体高、底面半径均为，
所以圆锥的体积为.
故选：D
4．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）
A．cmB．1cmC．cmD．cm
【答案】D
【解析】由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为，，
则，，解得，．
所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为和，腰长为，
即,过点作,为垂足，
所以，
该圆台形容器的高为，
故选：D．
5．已知某圆锥的侧面积为，高为，则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【解析】设该圆锥底面圆的半径为，则，故，即，解得
故选：B
6．正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．56B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，
在正四棱台中，点分别为上、下底面的中心，连接，则由题意可知底面，，过点作交于点，则底面，四边形为矩形，，所以，因为，所以，
即正四棱台的高为，所以正四棱台的体积为.
故选：B.
7．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
二、多选题
8．如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，BP最小，由于
到直线的距离，故A错误；
对于B，将平面翻折到平面上，如图，
连接AC，与的交点即为点P，此时取最小值AC，
在三角形ADC中，,，故B正确；
对于C，由正方体的性质可得，平面，
平面，到平面的距离为定值，
又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故正确；
对于D，由于平面，设与平面交于点，
，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，
，，
在以为圆心，为半径的圆上，
由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，
故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，
交线长为，故正确．
故选：BCD.
9．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【解析】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；
圆台的体积，则选项错误；
圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；
由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．
故选：AC．
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
锥体(棱锥和圆锥)
台体(棱台和圆台)
球