高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数精品课件ppt

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1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程.2.掌握指数幂的运算.核心素养：逻辑推理、数学运算

【温故】我们知道，如果 ，那么 叫做 的平方根.例如，±2就是4的 平方根. 如果 ，那么 叫做 的立方根.如2就是8的立方根. 类似地，由于(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根.
一般地，如果 ，
其中， n＞1，且n∈N*
正数有两个平方根，一个算术平方根；0有一个平方根，一个算术平方根；负数没有平方根.
那么 叫做 的n次方根，
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. 这时，a的n次方根用符号 表示.例如
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方 根用 表示，负的n次方根用 表示.两者也可以合并成 . 例如
【3】 负数没有偶次方根.
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意实数的偶次方是非负数.
【定义】式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根据n次方根的定义，可得： ，比如：
【1】 一般读作“n次根号a”
【2】 当a＜0且n为偶数时， 在实数范围 内没有意义.
【3】 当 有意义时， 是一个实数，且 它的n次方等于a.
【探究】 表示 的n次方根， 一定成立吗？
是实数 的n次方根，恒有意义，不受 的正负限制.但是受n的奇偶限制.本质算法是先乘方，再开方.结果不一定等于 ，当n为奇数时， ；当n为偶数时，
是实数 的n次方，在 有意义的前提下，实数 的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结果恒等于 .
(1) (2) (3) (4)
【1】求下列各式的值.
【解】(1) (2)
(3) (4)
【探究】根据n次方根的定义和运算，我们知道 ，也就是说，当根式的被开方数(看 成幂的形式)能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.
【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为 分数指数幂的形式呢？
【设想】把根式表示为分数指数幂的形式时，例如把 写成下列形式：
我们希望整数指数幂的运算性质，如： ，对分数指数幂同样适用.
【定义】由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是：
于是，在条件 下，根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.
我们规定，
我们再规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.
不可以.显然 不是半个 相乘，它的实质是根式的另一种写法，如 .在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同
【问题1】 可以理解为 个 相乘吗？
【问题2】分数指数能约分吗？
不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如约分后变成了 ，而 在实数范围内无意义.
时运算法则不一定成立.研究的一般性要求： ，此时法则一定成立.
(1) (2)
【2】求用分数指数幂表示下列式子( ).
【定义】一般地，无理数指数幂 为无理数 是一个确定的实数.这样， 我们就将指数幂 中的指数 的范围从整数逐步拓展到了 实数，实数的指数幂是一个确定的实数.
无理数指数幂的运算实质
【定义】一整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数 ， 均有下面的运算性质.
【3】计算下列各式的值.
5.化简： ＝___.
6.计算 的结果是____.
3.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.4.指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.