初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理同步训练题

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专题17.1勾股定理专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•忻城县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝6，则AC等于（　　）
A．12 B．8 C．4 D．2
【分析】由勾股定理可直接得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝8，
故选：B．
2．（2022春•黔西南州期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝，则AB2+BC2的值是（　　）

A．2 B．3 C．2 D．4
【分析】由勾股定理可直接得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
即AB，
故选：A．
3．（2022秋•溧水区期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，则下列式子成立的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．a2+c2＝b2 C．a2﹣b2＝c2 D．b2+c2＝a2
【分析】根据勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A，∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，
∴a2+b2＝c2．
故选：A．
4．（2022秋•西安月考）如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的面积为（　　）

A．72 B．64 C．60 D．54
【分析】根据勾股定理和正方形面积的公式直接可得答案．
【解答】解：由勾股定理得，图形A的面积为100﹣36＝64，
故选：B．
5．（2022春•合川区校级期中）平面直角坐标系内，点P（1，）到原点的距离是（　　）
A． B．2 C．+1 D．4
【分析】直接利用两点间的距离公式可得答案．
【解答】解：由两点间距离公式得，OP＝，
故选：B．
6．（2022春•中宁县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，则CD的长（　　）

A．4 B．2 C．1 D．
【分析】根据三角形外角的性质得∠DAC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝30°，
∵CD是腰AB上的高，
∴CD⊥AB，
∴CD＝AC＝2，
故选：B．
7．（2022春•普陀区校级期末）如图所示，以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　）

A．﹣ B．1﹣ C．﹣1+ D．﹣1﹣
【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线长，从而得出答案．
【解答】解：∵正方形的边长为1，
∴对角线长为＝，
∴点A表示的数是1﹣，
故选：B．
8．（2022春•兰山区期末）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若，则BC的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求得AB的长度，然后根据线段的和差即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝＝2，，
∴BC＝AB＝AC＝2﹣＝，
故选：C．
9．（2022秋•高新区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，则CD等于（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】首先利用勾股定理求出AB，然后利用角平分线的性质得到CD＝DE，在Rt△DEB中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE＝6cm，
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝10cm，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），
设DE＝xcm，则CD＝xcm，BD＝（8﹣x）cm，
在Rt△DEB中，BD2＝DE2+BE2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝DE＝3．
故选：B．
10．（2022秋•海曙区期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国算术《周髀算经》中早有记载．如图以直角三角形纸片的各边分别向外作正三角形纸片，再把较小的两张正三角形纸片按如图的方式放置在最大正三角形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（　　）

A．直角三角形纸片的面积
B．最大正三角形纸片的面积
C．最大正三角形与直角三角形的纸片面积和
D．较小两个正三角形纸片重叠部分的面积
【分析】设三个正三角形面积分别为S1，S2，S3，（不妨设S1＞S2＞S3），由勾股定理和三角形面积可得S1＝S2+S3，再由面积和差关系即可求解．
【解答】解：如图，设三个正三角形面积分别为S1，S2，S3，（不妨设S1＞S2＞S3），两个小正三角形的重叠部分的面积为S4，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∵S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∴S2+S3＝AC2+BC2＝（AC2+BC2）＝AB2，
∴S1＝S2+S3，
∴S阴影＝S1﹣（S2+S3﹣S4）＝S1﹣S2﹣S3+S4＝S4，
故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•溧阳市期中）若直角三角形两直角边长分别为9和40，则斜边长为 　41　．
【分析】利用勾股定理直接计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝41．
故答案为：41．
12．（2022秋•天桥区校级月考）在如图所示的方格纸中，建立直角坐标系，点A表示（3，4），则OA＝　5　．

【分析】根据勾股定理直接计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，OA＝＝5，
故答案为：5．
13．（2022秋•临沭县校级月考）在△ABC中，BC＝6，BC边上的高AD＝4，且BD＝2，则△ACD的面积为　8或16　．
【分析】根据题意得出CD的长度，再利用三角形面积公式求出△ACD的面积即可．
【解答】解：根据题意，分以下两种情况：
①如图：

∵BC＝6，AD＝4，BD＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣2＝4，
∴S△ACD＝CD•AD＝＝8，
②如图：

∵BC＝6，AD＝4，BD＝2，
∴CD＝BD+BC＝8，
∴S△ACD＝CD•AD＝8×4＝16，
故答案为：8或16．
14．（2022春•中山市期末）平面直角坐标系中有两点A（m，﹣1），B（3，4），当m取任意实数时，线段AB长度的最小值为 　5　．
【分析】根据垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：∵A（m，﹣1），
∴点A在直线y＝﹣1上，
要使AB最小，
根据“垂线段最短”，可知：
过B作直线y＝﹣1的垂线，垂足为即为A，
∴AB最小为5．
故答案为：5．
15．（2022秋•建邺区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若CH是△ABC的高线，则CH＝　　．

【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5．
∵CH是△ABC的高线，
∴AB•CH＝AC•BC，即5CH＝4×3，解得CH＝．
故答案为：．
16．（2022秋•秦淮区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，分别以AC，BC为边作正方形，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝　16　cm2．

【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根据S1，S2分别表示正方形面积，求出S1+S2的值即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝16，
则S1+S2＝AC2+BC2＝16（cm2），
故答案为：16．
17．（2022秋•云岩区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝，分别以△ABC的三边为直径画半圆，则两个月形图案（阴影部分）的面积之和是 　5　．

【分析】由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AB＝2，设以AB、BC、AC为直径的半圆分别为①、②、③，则S①+S②＝S③，而S阴影＝S①+S②+S△ABC﹣S③＝S△ABC，即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，AB＝＝＝2，
设以AB、BC、AC为直径的半圆分别为①、②、③，
∴S①＝π×（）2＝AB2，
同理：S②＝BC2，S③＝AC2，
∴S①+S②＝（AB2+BC2）＝AC2＝S③，
∴S阴影＝S①+S②+S△ABC﹣S③＝S△ABC＝AB•BC＝×2×＝5，
即两个月形图案（阴影部分）的面积之和是5，
故答案为：5．
18．（2022秋•仁寿县校级月考）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 　5或11　时，能使DE＝CD？

【分析】根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
【解答】解：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：

则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：

同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11．
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋•温州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，已知BC＝10，AD＝12，求AC的长．

【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，
∵AD＝12，
∴AC＝＝＝13，
故AC的长为13．
20．（2022秋•玉林期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，求线段CD的长．

【分析】由于∠C＝90°，∠ABC＝60°，可以得到∠A＝30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，BD＝AD＝6，再利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可求出结果．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，
∴BD＝AD＝6，
∴CD＝BD＝6×＝3．
故线段CD的长为3．
21．（2022秋•碑林区校级期中）在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD为BC边上的高，求AD的长．
【分析】由题意知，BD+DC＝14，设BD＝x，则CD＝14﹣x，在直角△ABD中，AB是斜边，根据勾股定理AB2＝AD2+BD2，在直角△ACD中，根据勾股定理AC2＝AD2+CD2，列出方程组即可计算x的值，即可求得AD的长度．
【解答】解：∵BC＝14，且BC＝BD+DC，
设BD＝x，则DC＝14﹣x，
则在直角△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
即132＝AD2+x2，
在直角△ACD中，AC2＝AD2+CD2，
即152＝AD2+（14﹣x）2，
整理计算得x＝5，
即AD＝12．

22．（2022秋•苏州期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图2所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；
（2）已知图2中小正方形面积为36，求大正方形的面积？

【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
（2）根据正方形的面积＝边长的平方列出代数式，把a＝3代入求值即可．
【解答】解：（1）∵直角三角形较短的直角边＝×2a＝a，
较长的直角边＝2a+3，
∴小正方形的边长＝2a+3﹣a＝a+3；
（2）小正方形的面积＝（a+3）2＝36，
∴a＝3（负值舍去），
∴大正方形的面积＝92+32＝90．
23．（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．

【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．
【解答】证明：如图，连接BF，

∵AC＝b，
∴正方形ACDE的面积为b2，
∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，
∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，
∵∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠EAF+∠BAE＝90°，
∴△BAE为等腰直角三角形，
∴四边形ABDF的面积为：c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2），
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，
∴b2＝c2+（b2﹣a2），
∴b2＝c2+b2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2．
24．（2022秋•大丰区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝3：4，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）求BC边的长．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

【分析】（1）利用勾股定理求解BC的长即可；
（2）分3种情况讨论：当AP＝BP时，当AB＝BP时，当AB＝AP时，分别计算可求解．
【解答】解：（1）∵AC：BC＝3：4，
∴设AC＝3xcm，BC＝4xcm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝5x＝10cm，
∴x＝2，
∴BC＝8cm；
（2）由（1）知，BC＝8cm，AC＝6cm，
当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，

在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
∴62+（8﹣t）2＝t2，
解得t＝；
当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；

当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；

∴t＝2×8＝16，
综上，t的值为或10或16．