高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理随堂练习题

专题1.2 利用空间向量法求空间中的角度（特色专题卷）

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！

一．    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（2020秋•肥城市期中）若两异面直线l1与l2的方向向量分别是（1，0，﹣1），（0，﹣1，1），则直线l1与l2的夹角为（　　）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．（2020秋•荔湾区期末）已知空间向量（1，0，1），（1，1，n），且•3，则向量与的夹角为（　　）

A． B． C． D．

3．（2021秋•鼓楼区校级月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1中点为E，则二面角A﹣BE﹣B1的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

4．（2021春•和平区期末）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．

5．（2021•雁峰区校级模拟）空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0），且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面a的方程为，经过点（0，0，0）的直线l的方程为，则直线l与平面a所成角为（　　）

A．60° B．120° C．30° D．45°

6．（2021春•盐城期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段C1D1上，若直线B1P与平面BC1D1所成的角为θ，则tanθ的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

7．（2020秋•抚州期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，则EF与平面A1BC1所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．

8．（2020秋•鼓楼区校级期末）已知动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1（不含端点）上．设λ，若∠APC为钝角，则实数λ的取值范围为（　　）

A．（0，） B．（0，） C．（，1） D．（，1）

二．    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（2021•江阴市开学）若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则（　　）

A．AC与BD所成的角为90° 

B．AD与BC所成的角为45° 

C．BC与平面ACD所成角的正弦值为 

D．平面ABC与平面BCD所成角的正切值是

10．（2021•湖北开学）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AE＝BC＝2．AB＝AD＝1，CF，则（　　）

A．BD⊥EC 

B．BF∥平面ADE 

C．二面角E﹣BD﹣F的余弦值为 

D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为

11．（2021•路北区校级模拟）已知正四棱锥S﹣ABCD的体积为，底面边长为2，则（　　）

A．该四棱锥的侧面积为4 

B．棱SA与SC垂直 

C．平面SAB与平面SCD垂直 

D．二面角B﹣SA﹣C的余弦值为

12．（2021春•金华期末）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是棱AD，CD上的动点，满足AE＝DF，则（　　）

A．四棱锥B1﹣BEDF的体积为定值 

B．四面体D1DEF表面积为定值 

C．异面直线B1E和AF所成角为90° 

D．二面角D1﹣EF﹣B1始终小于60°

三．    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（2020秋•青铜峡市校级月考）已知空间四点A（0，1，0），B（1，0，），C（0，0，1），D（1，1，），则异面直线AB，CD所成的角的余弦值为　　．

14．（2021春•黄冈期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点，直线B1O与平面ACD1所成角的正弦值为 　　．

15．（2021•绍兴二模）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1A上的动点，N是棱BC的中点．当平面D1MN与底面ABCD所成的锐二面角最小时，A1M＝　　．

16．在如图所示的几何体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，ABCD是等腰梯形，AD＝DE，∠ADE＝90°，AB∥CD，∠ADC＝120°．给出下列三个命题，下列命题为真命题的是 　　．

①平面ABCD⊥平面EDCF；

②异面直线AF与BD所成角的余弦值为；

③直线AF与平面BDF所成角的正弦值为．

四．        解答题（共6小题，满分70分）

17．（2020秋•金家庄区校级期末）如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，求CD的长．

18．（2020秋•台江区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

（1）求cos，的值；

（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N到AB和AP的距离．

19．（2021•龙凤区校级开学）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AA1＝4，AB＝2，点E在CC1上，且C1E＝3EC．

（1）求证：A1C⊥平面BED；

（2）求直线DD1与平面BED所成的角的正弦值．

20．（2021•3月份模拟）图1是由正方形ABCD，Rt△ABE，Rt△CDF组成的一个平面图形，其中AB＝AE＝DF＝1，将其沿AB、CD折起使得点E与点F重合，如图2．

（1）证明：图2中的平面ABE与平面ECD的交线平行于底面ABCD；

（2）求二面角B﹣EC﹣D的余弦值．

21．（2021秋•嘉兴月考）如图，在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长2的等边三角形，，点F在线段BC上，且FC＝3BF，D为AC的中点，E为的PD中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；

（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣B的平面角的大小为，求直线DF与平面PAC所成角的正弦值．

22．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底边长和侧棱长都为2，点D在棱BB1上运动（不包括端点）．

（1）若D为BB1的中点，证明：CD⊥AC1；

（2）设平面AC1D与平面ABC所成的二面角大小为θ（θ为锐角），求cosθ的取值范围．