安徽省合肥市第四十五中学2022_2023学年八年级上学期数学期末试题

安徽省合肥市第四十五中学2022~2023学年八年级上学期数学期末试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（        ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，下列4个防疫知识图片分别表示：打喷嚏、捂口鼻；喷嚏后、慎揉眼；勤洗手、勤通风；戴口罩、讲卫生．其中是轴对称图形的图片是（    ）

A． B． C． D．

3．如图中表示一次函数与正比例函数（m、n是常数，）图象的是（       ）

A． B．

C． D．

4．如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这三角形一定是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．直角三角形或锐角三角形 D．钝角三角形

5．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（　　）

A．7 B．9 C．9或12 D．12

6．如图，已知，平分，若，，则的度数是　　

A．34° B．30° C．28° D．24°

7．如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．

8．如图，，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

10．如图.在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么的纵坐标是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．命题“如果ab＝0，那么a＝0”是______命题(填“真”或“假”)

12．如图，在中，与的平分线交于点P，设的度数为x，的度数为y，则y与x之间的函数关系式为__.

13．等边的边长为，点、分别是边、上的动点，点、分别从顶点、同时出发，且速度都是，则经过______秒后，是直角三角形．

14．如图， 中，，， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，则 为____度．

三、解答题

15．已知点，解答下列各题：

（1）若点在轴上，试求出点的坐标；

（2）若，且轴，试求出点的坐标.

16．已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：．

17．如图，正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）．

(1)画出关于轴对称的；

(2)画出向下平移5个单位长度得到的；

(3)若点为边上一点，请直接写出点经过（1）（2）两次图形变换后的对应点的坐标______．

18．如图，在中，是高，，是外角的平分线，平分交于点，若，求的度数．

19．已知一次函数，一次函数图象经过点．

(1)求的值；

(2)在平面直角坐标系中，画出函数图象；

(3)当时，的取值范围为_____．

20．如图，是等边三角形，延长到使．点是边的中点，连接并延长交于．

（1）求的度数；

（2）求证：．

21．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于，点为延长线上一动点，以为直角边在其上方作等腰三角形，连接．

(1)求证；

(2)求直线与轴交点的坐标．

22．某商场购进甲、乙两种空气净化器共80台进行销售，甲种空气净化器每台利润为300元，乙种空气净化器每台利润为500元．设购进甲种空气净化器x台，这80台空气净化器全部售出的总利润为w元．

(1)求w关于x的函数解析式．（不写x的取值范围）

(2)若乙种空气净化器的数量不超过甲种空气净化器的3倍，当甲种空气净化器购进多少台时，销售总利润w最大？最大总利润是多少？

23．已由在中，，过点引一条射线，是上一点．

【问题解决】

(1)如图1，若，射线在内郃，，求证：，小明的做法是：在上取一点，使得，再通过已知条件，求得的度数．请你帮助小明写出证明过程：

【类比探究】

(2)如图2，已知，当射线在内，求的度数．

【变式迁移】

(3)如图3，已知，当射线在下方，的度数会变化时？若改变，请求出的度数，若不变，请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】根据各象限点的坐标的特点解答．

【详解】解：点P（−2，1）在第二象限．

故选：B．

【点睛】本题考查了点的坐标，熟记四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）是解题的关键．

2．D

【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．

【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D．是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

3．C

【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m和n的符号，即可进行解答．

【详解】解：A、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，不符合题意；

B、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，不符合题意；

C、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，符合题意；

D、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．

4．D

【分析】由三角形的一个外角和它相邻的内角互补，可得出该内角大于度，进而可得出该三角形为钝角三角形．

【详解】解：∵三角形的一个外角小于和它相邻的内角，

∴该外角小于度，与它相邻的内角大于度，

∴这个三角形为钝角三角形．

故选：D．

【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及钝角三角形的定义，利用三角形的一个外角和它相邻的内角互补，找出该内角为钝角是解题的关键．

5．D

【分析】根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分类讨论求解．

【详解】解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，

当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2=12．

故选：D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理．关键是根据2，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．

6．D

【分析】根据全等三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，根据四边形的内角和定理求出，求出，根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求出答案即可．

【详解】解：，，

，，

，

在四边形中，，

，

平分，

，

，

故选：D．

【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是能熟记全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

7．C

【分析】根据题意可得为等腰三角形，，，即可求解．

【详解】解：∵平分，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，，即为等腰三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴，

故选C．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握掌握相关基本性质．

8．C

【分析】设，根据等边对等角以及三角形的外角的性质得出，根据，得出，继而得出．

【详解】设，∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

∵，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．

9．B

【分析】根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可．

【详解】解：如图所示，

以为公共边可画出，，三个三角形和原三角形全等．

以为公共边可画出，，三个三角形和原三角形全等．

以为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等，

所以可画出6个．

故选：B．

【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．

10．A

【分析】设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．

【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…

如图，

∵在直线上，

∴，

∴，

∴，

设，，，…， ，

则有 ，

，

…

又∵，，…都是等腰直角三角形，轴，轴，轴…，

∴，

，

…

∴，

，

…

，

将点坐标依次代入直线解析式得到：

，

，

，

 …

，

又∵ ，

∴，

 ，

 ，

…

，

故选：A．

【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．

11．假

【分析】根据实数的乘法法则判断即可．

【详解】解：如果ab=0，那么a=0或b=0，

∴它是假命题，

故答案为：假．

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．

12．

【分析】先根据角平分线定义得到∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，则利用三角形内角和得∠BPC=180°-（∠ABC+∠ACB），而∠ABC+∠ACB=180°-∠A，所以∠BPC=90°+∠A，即y=90°+x．

【详解】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，

∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB

∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（∠ABC+∠ACB），

而∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠BPC=180°-（180°-∠A）=∠BPC=90°+∠A，

即y=90°+x．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和主要用在求三角形中角的度数．

13．或

【分析】根据题意得出，求出，根据等边三角形的性质得出，①若时，，根据含角的直角三角形的性质得出，得出方程，求出方程的解即可；②若，，根据，得出方程，求出方程的解即可．

【详解】解：由题意得：，

∴，

∵是等边三角形，

∴，

若时，，

∴，

即，

解得：；

若，

∴，

∴，

即，

解得：，

所以当或时，是直角三角形；

故答案为：或．

【点睛】本题考查了直角三角形的判定，含30度角的直角三角形，一元一次方程的应用，分情况讨论是解题的关键．

14．

【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，证明 ，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．

【详解】解：如图，连接、，

，为的平分线，

，

又，

，

是的垂直平分线，

，

，

，

为的平分线，，

点在的垂直平分线上，

，

，

将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，

，

，  

在中，，

故答案为：．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．

15．（1）（2,0）；（2）（5，-1）.

【分析】(1)因为点在轴上，则点P的纵坐标为0，则列出等式即可解决问题； 

(2)根据轴，可得点P的横坐标为5，结合题意，列出等式即可解决问题.

【详解】解：(1)由题意可得：2+a =0，解得：a=-2， 则-3a-4=6-4=2， 所以点P的坐标为(2,0)； 

(2) 根据轴，可得点P的横坐标为5，则-3a-4=5，解得a=-3，则2+a=-1，故点P 的坐标为（5，-1）.

【点睛】本题考查坐标轴内点的特征和坐标轴内平行线的性质，解题的关键是掌握坐标轴内点的特征和坐标轴内平行线的性质.

16．．

【分析】先根据三角形的三边关系定理可得，再化简绝对值，然后计算整式的加减即可得．

【详解】解：由题意得：，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．

17．(1)见解析；

(2)见解析；

(3)．

【分析】（1）分别作出点A、B、C关于关于轴对称的点，顺次连接即可；

（2）把点分别向下平移5个单位长度得到点，顺次连接即可；

（3） 根据平移的规律写出点的坐标即可．

【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）如图所示，即为所求；

（3）点关于轴对称的点为点，点向下平移5个单位长度得到点的坐标为，

故答案为：

【点睛】此题考查了坐标系中图形的平移和轴对称，根据题意准确作图是解题关键．

18．

【分析】根据直角三角形的性质求出的度数，得到的度数，根据邻补角的性质求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据三角形的外角的性质计算即可．

【详解】解：∵是高，

∴，

∴，又，

∴，

∴，

∵是外角的平分线，

∴，

∵平分，

∴，

∴．

【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

19．(1)

(2)图象见解析

(3)

【分析】（1）将点代入解析式，求得解析式；

（2）令，得，令，得，根据两点画出函数图象即可求解；

（2）观察函数图象，分别求出当时，当时的自变量取值，即可求解．

【详解】（1）解：点代入，即，

解得，

∴，

（2）解：令，得，令，得，

∴一次函数过点，，

画出函数图象，如图，

（3）解：对于，y随x的增大而减小，

当时，

解得：，

当时，，

解得：，

∴当时，的取值范围为．

故答案为：

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，画一次函数图象，求函数值的取值范围，数形结合是解题的关键．

20．（1）90°；（2）见解析

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，∠ACB=∠B=60°，求出CD=CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E=30°，求出∠EFB即可；

（2）连接BD，求出BD=DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD=2DF，即可得出答案．

【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=∠B=60°，

∵D为AC的中点，

∴AD=CD=AC，

∵，

∴CD=CE，

∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，

∴∠E=∠CDE=30°，

∵∠B=60°，

∴∠EFB=180°-60°-30°=90°；

（2）证明：连接BD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=60°，

∵D为AC的中点，

∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=30°，

∵∠E=30°，

∴∠DBC=∠E，

∴DE=BD，

∵∠BFE=90°，∠ABD=30°，

∴BD=2DF，

即DE=2DF．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

21．(1)见解析；

(2)．

【分析】（1）过点作轴，根据证明，进一步得出，再证明即可得出结论；

（2）延长交轴于点，可得，从而，进一步得出结论

【详解】（1）过点作轴，如图所示

可得，

∵，

∴

在和中，

∴

∴，，则，

∴

∴，

∴，

又

∴

∴

（2）延长交轴于点

∵

∴

∴

∴点的坐标为

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是证明．

22．(1)

(2)当甲种空气净化器购进20台时，销售总利润最大，最大总利润是36000元

【分析】（1）根据两种型号的利润和等于总利润，即可得出w关于x的函数解析式；

（2）根据一次函数的性质，即可求解．

【详解】（1）解：根据题意，可得：购进甲种空气净化器x台，那么购进乙种空气净化器台，这80台空气净化器全部售出的总利润为w元，

∴可得．

（2）解：∵购进甲种空气净化器x台，那么购进乙种空气净化器台，

又∵乙种空气净化器的数量不超过甲种空气净化器的3倍，

∴，

∴，

∵，

∵，

∴w随x的增大而减小，

∴当时，w的值最大，最大值为（元）．

答：当甲种空气净化器购进20台时，销售总利润最大，最大总利润是36000元．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解本题的关键在列出表示利润和台数的之间的解析式．

23．(1)见解析

(2)

(3)会变化，理由见解析

【分析】（1）根据等边三角形的判定与性质证明，进而得出答案；

（2）在上取一点，，然后证明，进而得出答案；

（3）在延长线上取一点，使得，同理证明，进而得出答案．

【详解】（1）证明：如图1，在上取一点，使，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∵，，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴，即，

∵在和中，

∴，

∴，

∴；

（2）证明：在上取一点，，如图所示：

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵在和中，

∴

∴，

∴；

（3）的度数会变化，理由如下：

在延长线上取一点，使得

同理①的方法可证：，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．