河北省邯郸市曲周县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

河北省邯郸市曲周县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．计算的结果等于（    ）

A． B．6 C． D．5

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是：（    ）

A． B． C． D．

3．方程根是（    ）

A．＝－3，＝－2 B．＝－3，＝2

C．＝－2，＝3 D．＝2，＝3

4．在中，都是锐角，，，则的形状是：（    ）

A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

5．如图，把三角形绕着点C顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数是：（    ）

A． B． C． D．

6．如图所示的几何体的俯视图是（   ）

A． B． C． D．

7．在中，，，，则的长等于（    ）

A．45 B． C． D．

8．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（   ）

A．米 B．米 C．21米 D．42米

9．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（    ）

A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2

10．从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张，卡片上的数字之和为奇数的概率是（    ）

A． B． C． D．

11．已知：如图，四边形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数等于（    ）

A． B． C． D．

12．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10cm ，则⊙O的半径为（    ）

A．5 B．8 C．10 D．12

二、填空题

13．如图所示，D是等腰内一点，BC是斜边，如果将绕点A逆时针方向旋转到的位置，则的度数为__________．

14．抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值为________．

15．函数是二次函数，则________．

16．如图，直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P．若OP=，则k的值为________．

三、解答题

17．解方程：

(1) 2（x-3）=3x（x-3）

(2)

18．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．

（1）求袋中黄球的个数；

（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．

19．如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）．

20．如图，、是的两条切线，、是切点，是的直径．

(1)若，求的度数；

(2)若的半径等于，交于，，求的长．

21．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．

(1)判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．

22．如图，抛物线与x轴交于，两点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】根据乘法法则计算即可．

【详解】解：=3×2=6．

故选B．

【点睛】本题考查了两个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0．

2．B

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．

【详解】∵不是中心对称图形，

∴不符合题意；

∵是中心对称图形，也是轴对称图形，

∴符合题意；

∵不是轴对称图形，也不是中心对称图形，

∴不符合题意；

∵不是轴对称图形，

∴不符合题意；

故选B．

【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；中心对称图形绕某点旋转180°与原图形完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．

3．B

【分析】利用因式分解法解得方程即可.

【详解】解：，

，

∴x-2=0，x+3=0，

解得：＝－3，＝2.

故选B.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据方程的形式选择合适的解法.

4．B

【分析】根据三角函数求出的度数，即可判断三角形的形状．

【详解】解：∵，，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

故选：B．

【点睛】此题考查了已知锐角三角函数值求角的度数，等边三角形的判定，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．

5．C

【分析】根据旋转的性质，可得知，从而求得的度数，又因为的对应角是，则度数可求．

【详解】解：∵绕着点C时针旋转，得到

∴

∴，

∵的对应角是，即，

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．

6．C

【分析】根据俯视图的定义即可得．

【详解】这个几何体的俯视图是由三个大小完全相同的长方形组成，

观察四个选项可知，只有选项C符合，

故选：C．

【点睛】本题考查了俯视图，熟练掌握定义是解题关键．

7．B

【分析】根据，再利用计算即可．

【详解】∵，，，

∴，

∴，

故选B．

【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，熟练掌握三角函数，灵活运用勾股定理是解题的关键．

8．A

【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．

【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.

故选：A．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

9．A

【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．

【详解】解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x﹣1）2+2，

故选：A．

【点睛】考点：二次函数图象与几何变换．

10．C

【分析】画树状图计算概率即可．

【详解】画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中符合题意的有8种，

∴．

故选C．

【点睛】本题考查了画树状图计算概率，熟练画树状图是解题的关键．

11．A

【分析】连接，根据正方形的性质，得到，根据圆的性质得到，判断即可．

【详解】如图，连接，

∵四边形是的内接正方形，

∴，

∴，

故选A．

【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

12．C

【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠OCD=90°，求出∠ACO和∠A，求出∠COD，根据含30°角的直角三角形性质求出OD=2OC，即可得出答案．

【详解】解：连接OC，

∵CD切⊙O于点C，

∴∠OCD=90°，

∵∠ACD=120°，

∴∠ACO=30°，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO=30°，

∴∠COD=∠A+∠ACO=60°，

∴∠D=30°，

∴OD=2OC，

∵BD=10cm，

∴OC=OB=10cm，

即⊙O的半径为10cm，

故选C．

【点睛】本题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形性质的应用，能求出OD=2OC是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．

13．45°##45度

【分析】利用旋转的性质得出∠D′AD＝90°，AD＝AD′，进而得出答案．

【详解】解：由题意可得，∠CAB＝90°，

∵将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD′的位置，

∴∠D′AD＝90°，AD＝AD′，

∴∠ADD′＝∠AD′D＝45°．

故答案为：45°．

【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质，根据题意得出AD＝AD′是解题关键．

14．8

【分析】由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可．

【详解】解：由题意得，解得．

故答案为：8．

【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程方程的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程方程的关系．当时，抛物线与x轴有两个公共点；当时，抛物线与x轴只有一个公共点；时，抛物线与x轴没有公共点．

15．2.

【详解】试题分析：根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程，即m+2≠0，解得m≠﹣2，∵=2，解得，=2，=﹣2，综上所述，m=2．

故答案为2．

考点：二次函数的定义．

16．3

【分析】已知直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P，设点P的坐标为(m,m+2)，根据OP=，列出关于m的等式，即可求出m，得出点P坐标，且点P在反比例函数图象上，所以点P满足反比例函数解析式，即可求出k值．

【详解】∵直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P

∴设点P的坐标为(m,m+2)

∵OP=

∴

解得m1=1，m2=-3

∵点P在第一象限

∴m=1

∴点P的坐标为(1,3)

∵点P在反比例函数y=图象上

∴

解得k=3

故答案为：3

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，交点坐标同时满足一次函数和反比例函数解析式，根据直角坐标系中点坐标的性质，可利用勾股定理求解．

17．(1) x1=3，x2=(2) x1=2+，x2=2-

【详解】试题分析：（1）运用运用因式分解法解一元二次方程；

（2）运用配方法解一元二次方程．

试题解析：（1）2（x-3）=3x（x-3）

移项，得2（x-3）-3x（x-3）=0

整理，得（x-3）（2-3x）=0

∴x-3=0或2-3x=0

解得：x1=3，x2=；

（2）原方程化为：x2-4x=1

配方，得x2-4x+4=1+4

整理，得（x-2）2=5

∴x-2=±，

即x1=2+，x2=2−．

18．（1）袋中黄球的个数为1个；（2）两次摸到不同颜色球的概率为：P=．

【分析】（1）首先设袋中黄球的个数为x个，由从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，利用概率公式即可得方程：，解此方程即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到不同颜色球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】（1）解：设袋中黄球的个数为x个，

∵从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，

∴，

解得：x＝1，

∴袋中黄球的个数为1个；

（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有10种情况，

∴两次摸到不同颜色球的概率为：．

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

19．50（1+）米

【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形，本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而可求出答案.

【详解】作AB⊥CD交CD的延长线于点B，

在Rt△ABC中，

∵∠ACB=∠CAE=30°，∠ADB=∠EAD=45°，

∴AC=2AB，DB=AB．

设AB=x，则BD=x，AC=2x，CB=50+x，

∵tan∠ACB=tan30°，

∴AB=CB•tan∠ACB=CB•tan30°．

∴x=（50+x）•．

解得：x=25（1+），

∴AC=50（1+）（米）．

答：缆绳AC的长为50（1+）米．

【点睛】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形.

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据切线的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据切线长定理，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出答案；

（2）连接，根据“”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据三线合一的性质，得出为的中点，进而得出，再根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据勾股定理，计算即可得出答案．

【详解】（1）解：∵是的切线，是切点，

∴，

∴，

又∵、是的两条切线，、是切点，

∵，

∴，

∴；

（2）解：如图，连接，

∵、是的两条切线，、是切点，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴平分，

又∵，

∴为的中点，

又∵，

∴，

∵为直径，

∴，，

∴．

【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、等边对等角、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、直径所对的圆周角为直角、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．

21．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证．

（2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可．

【详解】（1）解：CD与⊙O相切．理由如下：

∵AC为∠DAB的平分线，

∴∠DAC=∠BAC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA．

∴．

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD．

∵OC是⊙O的半径，

∴CD与⊙O相切．

（2）如图，连接EB，交OC于F，由AB为直径，得到∠AEB=90°，

∴，

∵

∴

∴ F为EB的中点．

∴OF为△ABE的中位线．

∴OF=AE=，即CF=DE=．

在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=．

∵E是的中点，

∴，

∴AE=EC．

∴S弓形AE=S弓形EC．

∴S阴影=S△DEC=××=．

22．(1)

(2)存在，

(3)存在，点P的坐标为，8

【分析】(1)运用待定系数法计算即可．

(2)判定，是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标．

(3)设，过点P作于点E，根据，构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可．

【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点，

∴，解得，∴该抛物线的解析式为．

（2）存在，点．理由如下：∵抛物线与x轴交于，两点，∴，是对称点，且，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，

当时，，故点．

（3）如图，设，过点P作于点E，

∵抛物线与x轴交于，两点，且，

∴，，，，

∴，

，

故当时，取得最大值，且为8，此时．

【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键．