山东省潍坊市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

山东省潍坊市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．某中学运动会上，有名运动员参加了米半决赛，按成绩取前8名进入决赛，小亮知道了自己的成绩，也知道名选手的成绩各不相同，要判断自己能否进入决赛，还要了解全部成绩的（    ）

A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差

【答案】C

【分析】平均数代表数据的平均水平，众数表示数据中出现频数最多的次数，方差代表稳定性，中位数代表一组数据的中间值；有名运动员参加了米半决赛，按成绩取前8名进入决赛，要判断自己能否进入决赛，只需要和第8名的成绩作比较即可，第8名的成绩即为中位数．

【详解】解：要判断自己能否进入决赛，还要了解全部成绩的中位数即可，

故选：C．

【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差的意义；掌握中位数的意义是解题的关键．

2．如图，将两根同样的钢条和的中点固定在一起，使其可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据，的长就等于工件内槽的宽，这里判定的依据是（    ）

A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边

【答案】A

【分析】根据边角边判定三角形全等．

【详解】证明：∵将两根同样的钢条和的中点固定在一起，

∴，，

又∵，

∴（），

故选A．

【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．

3．如图，在中，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平行四边形的性质，得出，再根据平行线的性质，得出，与题意联立方程组，解出即可得出答案．

【详解】解：∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∴可得：，

解得：，

∴的度数为．

故选：B

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、解二元一次方程组，解本题的关键在得出．

4．下列命题中，其逆命题为假命题的是（    ）

A．如果一个整数的各位数字之和是3的倍数，那么这个整数能被3整除

B．如果一个三角形中有一个角是钝角，那么另外两个角是锐角

C．若，则

D．平行四边形的两组对角分别相等

【答案】B

【解析】略

5．如果把分式中的和都变为原来的2倍，则分式的值（    ）

A．变为原来的4倍 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．不变

【答案】D

【分析】将原分式中的和分别用，代替求出结果，再与原分式比较即可得出答案．

【详解】解：将原分式中的和分别用，代替，得：

新分式=，

故新分式的值变与原分式相等，

故选D．

【点睛】本题考查了分式基本性质，解题的关键是掌握：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变．

6．如图，在矩形纸片中，把沿直线折叠，使得点落在边上的点处．已知与的度数之比为，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据矩形的性质得到，由折叠得，设，则，得到，求出，即可求出的度数．

【详解】解：∵四边形是矩形，

∴，

由折叠得，

设，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】此题考查了矩形与折叠，熟记矩形的性质是解题的关键．

二、多选题

7．如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】A、由作法知，可判断A；B、由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断B；C由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断C；D、由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，可判断D．

【详解】A、由作法知，

∴是等腰三角形，故选项A符合题意；

B、由作法知所作图形是线段的垂直平分线，

∴不能推出和是等腰三角形，故选项B不符合题意；

C、由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，

∴，

∴是等腰三角形，故选项C符合题意；

D、，

由作法知是的平分线，

∴

∴是等腰三角形，故选项D符合题意；

故选：ACD．

【点睛】此题考查了尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握尺规作图的五个基本作图是解题的关键．

8．如果，那么下列各式中成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据比例的性质，逐项分析判断即可求解．

【详解】解：∵

∴，故A选项错误，不合题意，

∴，故B选项正确，符合题意，

C. ∵

设

∴，故C选项正确，符合题意，

∴，故D选项不正确，不符合题意，

故选：BC．

【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．

9．某校为落实作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天的睡眠时间，制定如下统计表．

下列关于学生每天睡眠时间的统计量说法中正确的是（    ）A．平均数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度

B．中位数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度

C．平均数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的集中程度

D．方差为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度

【答案】CD

【分析】求出平均数、方差、中位数，根据结果进行判断即可．

【详解】解：A. 平均数为，故选项错误，不符合题意；

B.中位数为，故选项错误，不符合题意；

C. 平均数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的集中程度，故选项正确，符合题意；

D. 方差为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度．故选项正确，符合题意．

故选：CD

【点睛】此题考查了方差、平均数、中位数，熟练掌握各统计量的求法和意义是解题的关键．

10．如图，在边长为4的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，交于点，将沿翻折，得到，交于点，延长交的延长线于点，连接，，取的中点，连接，．则以下结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．为等边三角形

【答案】ABC

【分析】根据正方形的性质，折叠的性质，得到，继而得到，得到，利用外角的性质，推出；易证，得到，进而得到，推出，根据三角形的中线平分面积，得到，，进而得到，利用折叠的性质，全等三角形的面积相等，易得；利用，得到，推出为等腰三角形，进行判断即可．

【详解】解：∵四边形为正方形，

∴，，

∵点，分别是边，的中点，

∴，

∵将沿翻折，得到，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴；故A选项正确，符合题意；

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；故选项B正确，符合题意；

∵为的中点，

∴，

∴

由折叠知：，

∴

∵，

∴，

∴，

∴；故选项C正确，符合题意；

∵四边形为正方形，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴不是等边三角形；故选项D错误，不符合题意；

故选ABC．

【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，证明三角形全等，是解题的关键．

三、填空题

11．如图，在中，是的平分线，，，垂足为．若，，则________．

【答案】

【分析】过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据题意得出是等腰直角三角形，得出，进而根据三角形面积公式即可求解．

【详解】解：如图所示，过点作于点，

∵是的平分线，，

∴，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．

12．如图，小亮拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，，，若每个小长方体教具高度均为，则两摞长方体教具之间的距离的长为________．

【答案】

【分析】证明，则可得，，则可求得的长．

【详解】解：∵，

，

，

在与中，

,

∴，

∴，，

∵，，

∴，，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证明两个三角形全等是关键．

13．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则________．

【答案】3

【分析】根据矩形的性质，对角线相等且平分，易得：，进而得到是的中位线，即可得解．

【详解】解：∵在矩形中，，

∴，，

∴为的中点，

∵点是边的中点，

∴；

故答案为：3．

【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键．

14．已知在中，为边上中线，若，，则的取值范围是_______．

【答案】##

【分析】画出图形，延长至，使，连接，证明得到，利用三角形的三边关系即可解答．

【详解】解：如图，延长至，使，连接，

∵为边上中线，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

在中，，，

∴，即，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，添加辅助线（倍长中线模型）构造全等三角形是解答的关键．

四、解答题

15．先化简，再求值：，其中．

【答案】；

【分析】根据分式混合运算法则进行化简，然后再解方程得出x的值，最后代入数据求值即可．

【详解】解：原式

，

∵，

∴，

解得：，

将代入上式得：

．

【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．

五、填空题

16．如图①，在中，，，为斜边的中点，可以发现和的数量关系为________．

由此，小亮猜想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．”

小莹采用了下面的证明过程，请你补充完整．

已知：如图②，在中，为斜边的中点．

求证：________________．

证明：延长至点，使得，连接．

∵为斜边的中点（已知），

∴（线段中点的定义）．

∵（________________），

且（已作），

∴________________（）．

∴且（________________）．

∴（________________）．

∴（两直线平行，同旁内角互补）

∴（等式的性质）．

在和中．

∵________________，

∴（________________）．

∴（全等三角形对应边相等）．

∵（已作），

∴（线段中点的定义）．

∴________________（等量代换）．

【答案】；对顶角相等；；全等三角形的对应角相等，对应边相等；内错角相等，两直线平行；，，；；

【分析】根据全等三角形的判定定理及性质定理解答即可．

【详解】和的数量关系为

求证：，

证明：延长至点，使得，连接．

∵为斜边的中点（已知），

∴（线段中点的定义）．

∵（对顶角相等），

且（已作），

∴（）．

∴且（全等三角形的对应角相等，对应边相等）．

∴（内错角相等，两直线平行）．

∴（两直线平行，同旁内角互补）

∴（等式的性质）．

在和中．

∵，，，

∴（）．

∴（全等三角形对应边相等）．

∵（已作），

∴（线段中点的定义）．

∴（等量代换）．

故答案为：；对顶角相等；；全等三角形的对应角相等，对应边相等；内错角相等，两直线平行；，，；；．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理及正确引出辅助线是解题的关键．

六、解答题

17．解下列方程：

(1)；

(2)．

【答案】(1)无解

(2)

【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可；

（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．

【详解】（1）解：左右两边都乘以，得，

去括号，得，

移项，得，

合并同类项，得，

系数化为1，得，

将代入中，

所以是增根，原方程无解．

（2）左右两边都乘以，得，

去括号，得，

移项，得，

合并同类项，得，

系数化为1，得，

经检验，是原方程的解，

所以原方程的解是．

【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．注意，验根．

18．如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程．

【答案】添加的条件为：；证明见解析

【分析】添加的条件为：，证明，得到，即可得证．

【详解】添加的条件为：．

证明：∵

∴

∴

∵四边形为平行四边形

∴，，

∴

∴

∴，

又∵

∴四边形为平行四边形．

【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．

19．2022年卡塔尔世界杯是第22届国际足联世界杯，是历史上首次在中东国家境内举行．世界杯每4年举办一次，下表是1930至2018年的21届世界杯中，不同国家获得冠军、亚军、季军次数的统计表．

请根据表中所给数据完成下面的问题：

(1)表中________，在1930年至2018年期间，有________次未能举办世界杯；

(2)在本届世界杯中，八强（阿根廷、荷兰、克罗地亚、巴西、英国、法国、摩洛哥、葡萄牙）产生之后，通过绘制这八个国家获奖总次数（冠军、亚军和季军的次数之和）的条形图，可预测夺得世界杯冠军的是哪个国家？说明理由；

(3)在本届世界杯中，阿根廷和法国进入了决赛．若将获得一次冠军、亚军、季军分别记为3分、2分、1分，请计算阿根廷和法国前21届比赛的平均得分，由此预测哪个国家最有可能夺冠？与比赛的实际结果（阿根廷夺冠）一致吗？

【答案】(1)7，2

(2)图见解析，可预测巴西夺冠，因为巴西在比赛中获奖的总次数最高

(3)预测阿根廷获得冠军，与比赛结果一致

【分析】（1）用总次数21减去各国家的次数即可得到a值；计算年限差即可得到未能举办世界杯的次数；

（2）根据统计表中的数据绘制统计图即可；

（3）利用各场次乘以各分值，将和除以21得到平均分，比较即可．

【详解】（1）；

（年），，（次），

故答案为：7，2；

（2）如图所示，

可预测巴西夺冠，因为巴西在比赛中获奖的总次数最高．

（3），

，

因为，

所以预测阿根廷获得冠军，与比赛结果一致．

【点睛】此题考查了统计图表，求平均数，绘制条形统计图，正确理解统计表是解题的关键．

20．印度尼西亚雅万高铁起自首都雅加达，终至旅游名城万隆，全长约线144公里，比雅加达至万隆的普通铁路短36公里，全线采用中国技术、中国标准，是“一带一路”建设的标志性项目．已知高铁平均速度是普通列车平均速度的4倍，高铁比普通列车快2小时15分钟．

(1)那么高铁与普通列车的平均速度分别为多少？

(2)阐述雅万高铁的建设将对印度尼西亚的发展产生的积极影响．

【答案】(1)高铁与普通列车的平均速度分别为256公里/小时，64公里/小时

(2)缓解雅加达至万隆的交通压力，（方便沿线居民出行）节省通勤时间；带动沿线地区的经济发展；增强了地域间的联系

【分析】（1）设好未知数后再根据“高铁比普通列车快2小时15分钟”建立等量关系，从而得到分式方程．

（2）阐述其积极影响即可，比如缩短时间、方便出行．

【详解】（1）设普通列车的平均速度是公里/小时，则高铁的速度为公里/小时，

2小时15分钟小时，

由题意列方程可得，

左右两边同乘得

，

解之得，（公里/小时），

经检验是原方程的解，

所以高铁的速度为：（公里/小时）

答：高铁与普通列车的平均速度分别为256公里/小时，64公里/小时．

（2）缓解雅加达至万隆的交通压力，（方便沿线居民出行）节省通勤时间；带动沿线地区的经济发展；增强了地域间的联系．

【点睛】本题考查了分式方程的建立、求解，找到等量关系是关键．

21．图1和图2分别是某景区的悬崖秋千的实景图和侧面示意图，秋千静止时位于铅垂线上，秋千顶端转轴到地面的距离．某游客在荡秋千过程中，秋千后撤摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面平台的距离，绳索从处摆动到悬崖壁外最远处，此时满足，求到的距离．

【答案】到的距离为

【分析】作，垂足为，易得四边形为矩形，得到，证明，得到，利用，进行计算即可．

【详解】解：作，垂足为，

∵，，，

∴，

∴四边形为矩形，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

又，

且，

∴，

∴

∴到的距离为．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．