2022-2023学年吉林省长春104中九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年吉林省长春104中九年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春104中九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）使代数式有意义的的取值范围是　　A． B． C． D．2．（3分）若，相似比为，则与的周长的比为　　A． B． C． D．3．（3分）某校为了了解550名九年级学生的视力情况，从中抽取了70名学生进行测试，下列说法正确的是　　A．总体是550 B．样本容量是70 C．样本是70名学生 D．个体是每个学生4．（3分）一元二次方程的根的情况是　　A．无法判断 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根5．（3分）如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离为　　A． B． C． D．6．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式是　　A． B． C． D．7．（3分）如图，是的直径，点、在上．若．则的大小是　　A． B． C． D．8．（3分）已知二次函数的图象如图所示，以下四个结论：①②该函数的图象关于直线对称③④其中正确结论的个数是　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）化简　　．10．（3分）若，则　　．11．（3分）二次函数的最大值是　　．12．（3分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为　　．13．（3分）如图，是边长为6的等边三角形，分别以点，，为圆心，以2为半径画弧，则图中阴影部分图形的周长为　　（结果保留14．（3分）如图， 点，在抛物线上， 过点平行于轴的直线交抛物线于另一点，则线段的长是　   　．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：．16．（6分）解方程：．17．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”、“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．18．（7分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）（1）在图1中，以为边，画出，使，为格点．（2）在图2中，以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比，点、为格点．（3）在图3中，在边上找一个点，且满足．19．（7分）如图，小明放一个线长为120米的风筝（风筝线近似地看作直线），若测得他的风筝线与水平线构成的角为．他放风筝的手距地面的距离为1.8米，求小明的风筝放飞的高度．（精确到1米）【参考数据：，，】20．（7分）某种品牌的手机经过7、8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答：（1）求每次下降的百分率；（2）若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为多少元？21．（8分）已知抛物线经过点和点．（1） 求这条抛物线所对应的二次函数的表达式 ．（2） 写出抛物线的开口方向、 对称轴、 顶点坐标和二次函数的最值 ．22．（9分）【基础探究】如图1，四边形中，，为对角线，．（1）求证：平分．（2）若，，则　　．【应用拓展】如图2，四边形中，，为对角线，，为的中点，连结、，与交于点．若，，请直接写出值． 23．（10分）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒5个单位的速度沿向终点匀速运动．当点不与点、重合时，过点作交于点，以为边向上作正方形，设正方形与重叠部分面积为（平方单位），点的运动时间为（秒．（1）用含的代数式表示线段的长度为 　　；（2）当点落在线段上时，求的值；（3）求与之间的函数关系式；（4）当点恰好落在的角平分线上时，直接写出的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数）．（1）当抛物线经过时，求的值．（2）该抛物线的顶点坐标为 　　（用含的代数式表示）．（3）当时，若时，，则的取值范围是 　　．（4）当时，若函数为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，求的值．
2022-2023学年吉林省长春104中九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）使代数式有意义的的取值范围是　　A． B． C． D．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：使代数式有意义，则，解得，，故选：．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．2．（3分）若，相似比为，则与的周长的比为　　A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似之比即可得出答案．【解答】解：，相似比为，与的周长的比为；故选：．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质，解题关键：掌握相似三角形的性质．3．（3分）某校为了了解550名九年级学生的视力情况，从中抽取了70名学生进行测试，下列说法正确的是　　A．总体是550 B．样本容量是70 C．样本是70名学生 D．个体是每个学生【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的知识解答．总体：所要考察对象的全体；个体：每一个考察对象；样本：从总体中抽取的部分考察对象称为样本；样本容量：样本所含个体的个数（不含单位）．【解答】解：总体：某校550名九年级学生的视力情况，个体：某校每名九年级学生的视力情况，样本：从中抽取了70名学生的视力情况，样本容量：70．故选：．【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，掌握总体、个体、样本、样本容量的定义是关键．4．（3分）一元二次方程的根的情况是　　A．无法判断 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【分析】把，，代入△，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：，，，△，方程有两个相等的实数根．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式△．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．5．（3分）如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离为　　A． B． C． D．【分析】根据正切的定义计算，判断即可．【解答】解：在中，米，，，，故选：．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式是　　A． B． C． D．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【解答】解：函数向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：；故选：．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．7．（3分）如图，是的直径，点、在上．若．则的大小是　　A． B． C． D．【分析】连接，利用是直径得出，进而利用圆周角解答即可．【解答】解：连接，是的直径，，，，故选：．【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用是直径得出．8．（3分）已知二次函数的图象如图所示，以下四个结论：①②该函数的图象关于直线对称③④其中正确结论的个数是　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①抛物线开口向下，；故本选项正确；②二次函数的图象与轴的交点坐标是、，对称轴为直线，故本选项正确；③二次函数的图象与轴有两个不同的交点，；故本选项错误；④根据二次函数的图象知，当时，，即；故本选项错误；综上所述，以上说法正确的个数是2个；故选：．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）化简　　．【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式，，故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的加减运算．注意首先将各二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．10．（3分）若，则　　．【分析】利用比例的基本性质进行计算即可解答．【解答】解：，，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．11．（3分）二次函数的最大值是　　．【分析】直接利用二次函数的性质求解．【解答】解：，，当时，有最大值，最大值为．故答案为．【点评】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数，当时，时，有最小值，当时，时，有最大值．12．（3分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为　　．【分析】过点作于点，则在中，先由勾股定理得出的长，再按照正弦函数的定义计算即可．【解答】解：如图，过点作于点，则，由勾股定理得：，．故答案为：．【点评】本题属于解直角三角形基础知识的考查，明确勾股定理及正弦函数的定义是解题的关键．13．（3分）如图，是边长为6的等边三角形，分别以点，，为圆心，以2为半径画弧，则图中阴影部分图形的周长为　　（结果保留【分析】分别求出阴影部分弧长与线段长度然后相加求解．【解答】解：如图，圆弧交于点，，由题意得，，，，图中总弧长为．图中阴影部分图形的周长为．故答案为：．【点评】本题考查三角形与圆的应用，解题关键是将阴影部分周长转化为线段长度与弧长的和．14．（3分）如图， 点，在抛物线上， 过点平行于轴的直线交抛物线于另一点，则线段的长是　 3 　．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的图象具有对称性， 可以求得点的横坐标， 从而可以求得的长 ．【解答】解：点，在抛物线上，该抛物线的对称轴是直线，过点平行于轴的直线交抛物线于另一点，点的横坐标是：，，故答案为： 3 ．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征， 解答本题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件， 利用二次函数的性质解答 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：．【分析】直接化简二次根式，再合并，再利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．16．（6分）解方程：．【分析】根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，配成完全平方的形式，然后开方即可．【解答】解：，，，，，．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法有直接开平方方法，公式法，配方法，因式分解法等等，学生在平时的训练中，学会根据方程的特征，选择恰当的方法，提高解题效率．17．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”、“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果．【解答】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．18．（7分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）（1）在图1中，以为边，画出，使，为格点．（2）在图2中，以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比，点、为格点．（3）在图3中，在边上找一个点，且满足．【分析】根据相似三角形的判定与性质逐一进行解答．【解答】解：（1）如图所示，即为所求；（2）如图所示，即为所求；（3）如图所示，点即为所求．【点评】本题主要考查了作图相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．19．（7分）如图，小明放一个线长为120米的风筝（风筝线近似地看作直线），若测得他的风筝线与水平线构成的角为．他放风筝的手距地面的距离为1.8米，求小明的风筝放飞的高度．（精确到1米）【参考数据：，，】【分析】作，由知，根据可得答案．【解答】解：如图，过点作于点，则，在中，，，，，答：小明的风筝放飞的高度约为76米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．20．（7分）某种品牌的手机经过7、8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答：（1）求每次下降的百分率；（2）若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为多少元？【分析】（1）设每次下降的百分率为，根据该种品牌手机的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据该种品牌手机9月份的售价该种品牌手机8月份的售价下降率），即可求出结论．【解答】解：（1）设每次下降的百分率为，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：每次下降的百分率为．（2）（元．答：若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为1280元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（8分）已知抛物线经过点和点．（1） 求这条抛物线所对应的二次函数的表达式 ．（2） 写出抛物线的开口方向、 对称轴、 顶点坐标和二次函数的最值 ．【分析】（1） 由条件可知点和点的坐标， 代入解析式可得到关于和的二元一次方程组， 解得和，可写出二次函数解析式；（2） 根据的值可确定开口方向， 并将抛物线的解析式配方后可得对称轴、 顶点坐标和二次函数的最值 ．【解答】解： （1） 将点和点代入中，得，，，； （2），，抛物线开口向下，对称轴是：，顶点坐标为，二次函数的最大值为 3 ．【点评】本题考查二次函数的性质、 待定系数法等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 学会利用配方法确定二次函数的顶点坐标和对称轴， 属于基础题 ．22．（9分）【基础探究】如图1，四边形中，，为对角线，．（1）求证：平分．（2）若，，则　　．【应用拓展】如图2，四边形中，，为对角线，，为的中点，连结、，与交于点．若，，请直接写出值． 【分析】（1）根据，，可得，从而证明结论；（2）根据，得，代入计算即可；（3）由直角三角形斜边上中线的性质得，再运用勾股定理得，由，得，再证明，从而解决问题．【解答】（1）证明：，，，，平分；（2）解：，，，，，，，故答案为：；（3）解：，点为的中点，，，，，由（1）知，，，，，．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，运用前面探索的结论解决新问题是解题的关键．23．（10分）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒5个单位的速度沿向终点匀速运动．当点不与点、重合时，过点作交于点，以为边向上作正方形，设正方形与重叠部分面积为（平方单位），点的运动时间为（秒．（1）用含的代数式表示线段的长度为 　　；（2）当点落在线段上时，求的值；（3）求与之间的函数关系式；（4）当点恰好落在的角平分线上时，直接写出的值．【分析】（1）由三角函数可得，即可求解；（2）由平行线分线段成比例可得，即可求解；（3）分两种情况讨论，由面积关系可求解；（4）分两种情况讨论，由角平分线的性质可求解．【解答】解：（1），，由题意可得，，，，故答案为：；（2）如图1，，，，；（3）当时，，当时，如图2，，，，，，，，综上所述：；（4）如图3，过点作于，于，，，，，，当点在的平分线上时，且，，，，，当点在的平分线上时，，，，，，综上所述：的值为或．【点评】本题考查了四边形的综合应用，掌握正方形的性质，相似三角形的性质判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数）．（1）当抛物线经过时，求的值．（2）该抛物线的顶点坐标为 　　（用含的代数式表示）．（3）当时，若时，，则的取值范围是 　　．（4）当时，若函数为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，求的值．【分析】（1）把代入抛物线解析式即可求出的值；（2）把抛物线的解析式配成顶点式即可写出抛物线的顶点坐标；（3）根据题意先写出抛物线的顶点坐标，求出当时对应的值，然后根据开口方向以及的取值范围即可求出的取值范围；（4）根据题意可分、和三种情况进行讨论，再根据图象的最低点到直线的距离为2，即可求出的值．【解答】解：（1）把代入可得：，解得：，；综上所述：的值为或1；（2）由题意可得：，抛物线的顶点坐标为；故答案为：；（3）当时，抛物线解析式为：，则顶点坐标为，当时，即，解得：，，时，，且抛物线开口向上，，故答案为：；（4）由（2）中可得，抛物线对称轴为，顶点坐标为，①当时，此时顶点坐标为，当时的最低点为，到的距离为1，不符合题意，舍去；②当时，则，且抛物线图象开口向上，当时，此时最低点为顶点，最低点到直线的距离为2，，解得：，（舍；③当时，则，且抛物线图象开口向上，当时，时，有最小值，即最低点为，最低点到直线的距离为2，，解得：（舍，，，；综上所述：的值为或或或．【点评】本题主要考查的是二次函数的基本性质，解题关键：一是求出抛物线的对称轴和顶点坐标，二是根据范围求出最值．