2022-2023学年山东省济南市高新区新航实验学校九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年山东省济南市高新区新航实验学校九年级（上）期末数学试卷，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市高新区新航实验学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）如图所示的几何体中，主视图与左视图均是三角形的是　　
A． B．
C． D．
2．（4分）如果反比例函数的图象经过点，那么是　　
A．7 B．10 C．12 D．
3．（4分）若，则下列式子正确的是　　
A． B． C． D．
4．（4分）已知：如图，，，，则　　

A．8 B．9 C．10 D．11
5．（4分）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为　　
A． B． C． D．
6．（4分）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是　　

A．2 B． C． D．
7．（4分）如图，点，，在上，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
8．（4分）不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是　　
A． B． C． D．1
9．（4分）如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧交矩形的边于点，交对角线于点，则图中阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．
10．（4分）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点在点的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则　　
A． B．
C．或 D．或
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次函数的图象的顶点坐标是 　　．
12．（4分）如图，点在反比例函数的图象上，轴于，，则的值为 　　．

13．（4分）如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是 　　．

14．（4分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点、、都在格点上，点是和的位似中心，则与的周长比为 　　．

15．（4分）已知二次函数图象的一部分如图，以下结论：
①；
②当时，函数有最大值；
③方程的解是，；
④．
其中正确的有 　　个．

16．（4分）如图，已知正方形，延长至点使，连接，，与交于点，取得中点，连接，，交于于点，交于点，则下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的结论有 　　（填序号）．

三、解答题（共86分.）
17．（6分）计算：．
18．（6分）利用标杆在太阳光下的影子测量一棵树的高度．如图标杆米，米，米．、、在一条直线上，，，求出这棵树的高度．

19．（6分）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．设长为，矩形的面积为．问：当长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？

20．（8分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件，市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润（元与每件涨价（元之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大．
21．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“过”、“阳”、“康”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为 　　；
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率．
22．（8分）如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部处出发，沿水平地面前行到达处，再沿着斜坡走到达处，测得旗杆顶端的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点，，，，，在同一平面内（结果精确到
（1）求斜坡的铅直高度和水平宽度．
（2）求旗杆的高度．
（参考数据：，，，

23．（10分）如图，是的直径，点在上，是的切线，，的延长线与交于点．
（1）求证：；
（2），，求的长．

24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴和轴上，顶点的坐标为，反比例函数的图象经过对角线的中点，与矩形的边，分别交于点，，设直线的函数表达式为．

（1）求，，的值；
（2）利用图象，直接写出当时的取值范围；
（3）若点在矩形的边上，且为等腰三角形，直接点的坐标．
25．（12分）如图，已知中，，．点是所在平面内不与点、重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、．

（1）如图1，当时，线段与的数量关系是 　　；直线与相交所成的锐角的度数是 　　．
（2）如图2，当时，
①（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；
②当，，时，请直接写出的面积．

26．（12分）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
（3）为抛物线上一点，连接，过点作交抛物线对称轴于点，当时，请直接写出点的横坐标．


2022-2023学年山东省济南市高新区新航实验学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）如图所示的几何体中，主视图与左视图均是三角形的是　　
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面和左面看所得到的图形，得出主视图和左视图均是三角形的即可．
【解答】解：、球的主视图和左视图均为全等的圆，不符合题意；
、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，不符合题意；
、圆锥的主视图和左视图均为全等的三角形，符合题意；
、圆柱的主视图和左视图均为全等的长方形，不符合题意；．
故选：．
【点评】此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图和左视图所看的位置．
2．（4分）如果反比例函数的图象经过点，那么是　　
A．7 B．10 C．12 D．
【分析】将此点坐标代入函数解析式即可求得的值．
【解答】解：将点代入解析式可得．
故选：．
【点评】本题查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．
3．（4分）若，则下列式子正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用比例的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：、，
，
故不符合题意；
、，
，
故符合题意；
、，
，
，
故不符合题意；
、，
，
故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4．（4分）已知：如图，，，，则　　

A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：，
，即，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．（4分）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为　　
A． B． C． D．
【分析】直接根据平移规律作答即可．
【解答】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为，即；
故选：．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6．（4分）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是　　

A．2 B． C． D．
【分析】根据勾股定理可以得到、、的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到的形状，从而可以求得图中的正切值．
【解答】解：由图可得，
，，，
，
是直角三角形，，
，
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是判断出的形状，利用数形结合的思想解答．
7．（4分）如图，点，，在上，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理得出，再求出答案即可．
【解答】解：点、、都在上，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理，注意：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．（4分）不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是　　
A． B． C． D．1
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到白球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的结果共有2种，
所以两次都摸到白球的概率是，
故选：．
【点评】本题考查了利用树状图法求概率，掌握事件的概率（A）是解题关键．
9．（4分）如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧交矩形的边于点，交对角线于点，则图中阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．
【分析】连接，过点作于，解直角三角形得，，求得是等边三角形，得，，根据三角形和扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：连接，过点作于，

在矩形中，，，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
10．（4分）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点在点的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则　　
A． B．
C．或 D．或
【分析】将抛物线的解析式变形为二次函数的一般形式，再化为顶点式，求得抛物线的对称轴为直线，顶点为，可求得，，可见在区域内的轴的上方或下方还需要有3个整点，令，则，所以，，则，得，所以抛物线的顶点为，当时，则；当时，则，分别求出不等式的解集即可．
【解答】解：，
抛物线的对称轴为直线，顶点为
抛物线与轴分别交于、两点（点在点的左侧），，
，，
在区域内的轴上已有、、这3个整点，
在区域内的轴的上方或下方还需要有3个整点，
令，则，
，，
，
，
抛物线的顶点为，
当时，则，解得；
当时，则，解得，
的取值范围是或，
故选：．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、新定义问题的求解等知识与方法，根据抛物线的对称性求出该抛物线与轴的交点坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次函数的图象的顶点坐标是 　　．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：二次函数，
该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．（4分）如图，点在反比例函数的图象上，轴于，，则的值为 　60　．

【分析】利用锐角三角函数的定义，为的对边比邻边，求出的长，即可得到点的坐标，进而得出的值．
【解答】解：点在反比例函数的图象上，轴于，
，
又，
，
，
，
故答案为：60．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
13．（4分）如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是 　　．

【分析】根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
【解答】解：为直径，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
14．（4分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点、、都在格点上，点是和的位似中心，则与的周长比为 　　．

【分析】根据题意求出，再根据位似变换的概念、相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：由图可知：，，
，
和的位似，
，
与的周长比为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
15．（4分）已知二次函数图象的一部分如图，以下结论：
①；
②当时，函数有最大值；
③方程的解是，；
④．
其中正确的有 　3　个．

【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，，故④错误，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以①正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，函数有最大值，所以②正确；
抛物线与轴的一个交点坐标为，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
当或时，函数的值都等于0，
方程的解是：，，所以③正确；
综上，正确的有①②③3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
16．（4分）如图，已知正方形，延长至点使，连接，，与交于点，取得中点，连接，，交于于点，交于点，则下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的结论有 　①③　（填序号）．

【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式，得到，故①正确；由直角三角形的性质可得，即可得，故②错误；通过证明，可得，作于，根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出，可求，故③正确；根据三角形的面积公式计算，可判断④，即可求解．
【解答】解：四边形为正方形，，
，，
，
，
，，故①正确；
如图，连接，

，，
，
，，
，故②错误；
，，是的中点，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
如图，作于，则，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
是的中点，
，
，故④错误；
故答案为：①③．

【点评】本题是四边形综合题，考查的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（共86分.）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式

．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）利用标杆在太阳光下的影子测量一棵树的高度．如图标杆米，米，米．、、在一条直线上，，，求出这棵树的高度．

【分析】根据相似三角形的判定与性质得出比例式求解即可．
【解答】解：根据题意可得，，
．
又，，即，
，
．
米，米，米．
，
米，
即这棵树的高度为8米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（6分）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．设长为，矩形的面积为．问：当长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？

【分析】根据题意得，，进而求解．
【解答】解：根据题意得，，
当时，，
当时，有最大值，的最大值为50，
当长为时，花圃面积最大，最大面积为．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20．（8分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件，市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润（元与每件涨价（元之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大．
【分析】（1）根据每天所得的销售利润每件的销售利润每天可卖出的件数列出解析式；
（2）先配方，然后根据二次函数的性质计算即可．
【解答】解：（1）依题意可得：

；
（2）
；
，
抛物线开口向下，
当时，，
此时销售单价为（元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，掌握配方和二次函数的性质是解题的关键．
21．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“过”、“阳”、“康”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为 　　；
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表得出共有12种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的有4种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：

阳
过
阳
康
阳

阳过
阳阳
阳康
过
过阳

过阳
过康
阳
阳阳
阳过

阳康
康
康阳
康过
康阳

由表知，共有12种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的有4种结果，
甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率．
【点评】此题考查的是用列表法法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部处出发，沿水平地面前行到达处，再沿着斜坡走到达处，测得旗杆顶端的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点，，，，，在同一平面内（结果精确到
（1）求斜坡的铅直高度和水平宽度．
（2）求旗杆的高度．
（参考数据：，，，

【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）过点作，垂足为，根据题意可得：，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在中，，，
，
，
斜坡的铅直高度约为，水平宽度约为；
（2）过点作，垂足为，

由题意得：，
，
在中，，
，
，
旗杆的高度约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（10分）如图，是的直径，点在上，是的切线，，的延长线与交于点．
（1）求证：；
（2），，求的长．

【分析】（1）连接，如图，利用切线的性质得到，再证明得到，根据圆周角定理得到，从而得到结论；
（2）连接，如图，根据圆周角定理得到，再证明，接着在中利用正切的定义求出，然后在中利用正切的定义计算出，于是计算得到的长．
【解答】（1）证明：连接，如图，
是的切线，
，
，

，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图，
是的直径，
，
，

，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴和轴上，顶点的坐标为，反比例函数的图象经过对角线的中点，与矩形的边，分别交于点，，设直线的函数表达式为．

（1）求，，的值；
（2）利用图象，直接写出当时的取值范围；
（3）若点在矩形的边上，且为等腰三角形，直接点的坐标．
【分析】（1）过点作于点，由，点为对角线的中点，可得，用待定相似法即得，设，，根据反比例函数图象上点坐标特征可得，，，，用待定系数法即得，；
（2）由图象直接可得或；
（3）设，有，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别构建方程求解．
【解答】解：（1）过点作于点，如图：

，，
，
点为对角线的中点，
，
，
，，
，
反比例函数的图象经过点，
，即，
，
点，分别在矩形的边，上，
设，，
点，在上，
，，
，，
将，分别代入得：
，解得，
，
，，；
（2）由图象可知：当或时，；
（3）设，
，，
，，，
当时，，
解得：或（此时不在边上，舍去），
，；
当时，，
解得，
，，
当时，
，
解得（此时不在边上，舍去）或，
，，
综上，点的坐标为，或，或，．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数综合应用，涉及矩形性质与应用，等腰三角形性质及应用，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形求出点的坐标及分类讨论思想的应用．
25．（12分）如图，已知中，，．点是所在平面内不与点、重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、．

（1）如图1，当时，线段与的数量关系是 　　；直线与相交所成的锐角的度数是 　　．
（2）如图2，当时，
①（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；
②当，，时，请直接写出的面积．

【分析】（1）证明，可得，延长、相交于点，利用等量代换求出；
（2）①设直线交于点，交于点，证明，可得，利用等量代换求出；
②分两种情况：当点在的内部时，过点作交于点，由①可知，，由，可得是等腰直角三角形，求出，从而得到，在中，用勾股定理得，再求的面积即可；当点在的外部时，过点作交延长线于点，同理可求．
【解答】解：（1），，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
延长、相交于点，
，
，
，
；
故答案为：，；
（2）①不成立，理由如下：
设直线交于点，交于点，
当时，
，
，
，
同理可得，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线与直线相交所成的锐角的度数是，
，直线与相交所成的锐角的度数是；
②当点在的内部时，过点作交于点，
由①可知，，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
；
当点在的外部时，过点作交延长线于点，
同理可得，
，
在中，，
，
；
综上所述：的面积是42或25．




【点评】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
26．（12分）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
（3）为抛物线上一点，连接，过点作交抛物线对称轴于点，当时，请直接写出点的横坐标．

【分析】（1）把点和代入解析式求解即可；
（2）过点作轴，交于点，由（1）设，直线的解析式为，然后可求出直线的解析式，则有，进而可得，最后根据可进行求解；
（3）由题意可作出图象，设，然后根据题意及型相似可进行求解．
【解答】解：（1）把点和代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）过点作轴，交于点，如图所示：

设，直线的解析式为，
由（1）可得：，
，解得：，
直线的解析式为，
，
，
轴，
，
，
，
当时，的值最大，
；
（3）由题意可得如图所示：

过点作轴的平行线，分别过点、作于，于，
，
，
，
，
，
，
，
，
设点，
由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
，，
当时，解得：，
当时，解得：．
综上：点的横坐标为或或或．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．