2022年宁夏银川市兴庆区英才学校中考数学二模试卷

这是一份2022年宁夏银川市兴庆区英才学校中考数学二模试卷，共33页。试卷主要包含了下列计算正确的是，下列因式分解正确的是，一组数据，若分式的值为0，则的值是 　　，分解因式等内容，欢迎下载使用。

2022年宁夏银川市兴庆区英才学校中考数学二模试卷
一．选择题（每小题3分，共8小题，共24分）
1．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）下列因式分解正确的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）如图是某一物体的三视图，则三视图对应的物体是　　

A． B．
C． D．
4．（3分）一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是　　
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
5．（3分）某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，红灯亮25秒循环显示．小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是　　
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
6．（3分）如图，以正方形的顶点为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点处，连接并延长，与的延长线交于点，则　　

A． B． C． D．
7．（3分）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若，则的度数为　　

A． B． C． D．
8．（3分）如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个相同的半圆①和⑦、等腰直角三角形②、角不规图形③、直角梯形④、圆不规图形⑤、圆⑥组成，已知．为庆祝北京冬奥会，小明将这个智力七巧板拼成一个滑冰运动员的图案，如图2所示，若平行地面，，则该图案的高度是　　

A．8 B． C． D．
二．填空题（每小题3分，共8小题，共24分）
9．（3分）若分式的值为0，则的值是 　　．
10．（3分）分解因式：　 　．
11．（3分）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长尺，竿长尺，可列方程组为　　．
12．（3分）如图，线段、分别表示甲、乙两座楼房的高，，，两建筑物间距离米，若甲建筑物高米，在点测得点的仰角，则乙建筑物高　　米．

13．（3分）已知反比例函数的图象上两点，，当时，有，则的取值范围是 　　．
14．（3分）一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：，则它的体积是 　　．

15．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、．若物体的高为，小孔到物体和实像的水平距离、分别为、，则实像的高度为 　　．

16．（3分）如图，抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：
①；②；③； ④，其中正确有　　（填序号）．

三、解答题（本题共6道小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）先化简，再求值：，其中．
18．（6分）解不等式组：，并求它的整数解的和．
19．（6分）已知在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）
（1）画出向下平移5个单位长度得到的△，并直接写出点的坐标；
（2）以点为位似中心，在网格中画出△，使△与位似，且相似比为，
（3）求出△的面积．

20．（6分）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，为切实减轻学生课后作业负担，某中学教务处随机抽取了七、八、九年级部分学生并对这些学生家庭作业所用时间进行了调查．现将调查结果分为、、、、组．同时，将调查的结果绘成了两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的　　，扇形统计图中的　　；
（2）已知该校有学生2600人，请你估计该校有多少人家庭作业时间在1.5小时以上？
（3）此次调查，最终有甲、乙、丙、丁四名同学在完成时间和正确率上被评为“校级优秀作业”，现从这四名同学中挑选两名同学参加全市举行的“优秀作业”展评，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、乙的概率．
组别
人数
时间（小时）

20


40





12


8


21．（6分）如图，在中，，分别为边，的中点，是对角线．
（1）求证：；
（2）若是直角，请证明四边形是菱形．

22．（6分）周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量银川北塔湖边北塔的高度．测量方案如下：首先，在处竖立一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶端与宝塔顶端在一条直线上，测得；然后，移开标杆，在处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高为时，恰好测得点的仰角为，已知，，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，求北塔的高．

四、解答题（本题共4道小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）如图，为的直径，为上一点，过点作的切线，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

24．（8分）已知，如图，一次函数、为常数且的图象与轴、轴分别交于、两点，且与反比例函数为常数且的图象在第二象限交于点．若轴于，若．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）若一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为，连接、，求面积．

25．（10分）阅读理解：
材料一：若三个非零实数，，满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教，，构成“和谐三数组”．
材料二：若关于的一元二次方程的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数，并写出理由过程；
（2）若，是关于的方程，，均不为的两根，是关于的方程，均不为的解．求证：，，可以构成“和谐三数组”；
（3）若，，三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数的值．
26．（10分）如图1，抛物线的顶点的坐标为，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得最小，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接，若点是线段上的一动点，过点作线段的垂线，分别与线段、抛物线相交于点、（点、都在抛物线对称轴的右侧），当最大时，求的面积．


2022年宁夏银川市兴庆区英才学校中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共8小题，共24分）
1．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式加法运算法则进行计算判断，根据负整数指数幂的运算法则进行计算判断，根据二次根式除法运算法则进行计算判断，根据二次根式的性质进行化简判断．
【解答】解：、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，正确，故此选项符合题意；
、，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次根式的运算，理解二次根式的性质，是解题关键．
2．（3分）下列因式分解正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】利用因式分解的定义先排除，再利用乘法与因式分解的关系通过计算分解结果判断、、．
【解答】解：，故选项分解错误；
，故选项分解正确；
，故选项分解错误；
，该变形是整式乘法不是因式分解，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查的了整式的因式分解，掌握乘法和因式分解的关系是解决本题的关键．
3．（3分）如图是某一物体的三视图，则三视图对应的物体是　　

A． B．
C． D．
【分析】本题可利用排除法解答．从俯视图看出这个几何体上面一个是圆，直径与下面的矩形的宽相等，故可排除，，．
【解答】解：从主视图左视图可以看出这个几何体是由上、下两部分组成的，故排除选项，从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故排除选项，从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体．
故选：．
【点评】此题考查由三视图还原实物基本能力，还原实物的形状关键是能想象出三视图和立体图形之间的关系，从而得出该物体的形状．本题只从俯视图入手也可以准确快速解题．
4．（3分）一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是　　
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
【分析】根据众数，中位数，平均数，方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【解答】解：原数据2，4，4，4，6的平均数为，中位数为4，众数为4，
方差为；
新数据2，4，4，6的平均数为，中位数为4，众数为4，
方差为；
故选：．
【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
5．（3分）某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，红灯亮25秒循环显示．小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是　　
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：小明一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率为，
故选：．
【点评】此题考查的是概率公式，熟记概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
6．（3分）如图，以正方形的顶点为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点处，连接并延长，与的延长线交于点，则　　

A． B． C． D．
【分析】根据正方形的性质得到，由作图知，，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：四边形是正方形，
，
由作图知，，
，
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质，角平分线定义，正确的理解题意是解题的关键．
7．（3分）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：是的直径，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
故选：．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（3分）如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个相同的半圆①和⑦、等腰直角三角形②、角不规图形③、直角梯形④、圆不规图形⑤、圆⑥组成，已知．为庆祝北京冬奥会，小明将这个智力七巧板拼成一个滑冰运动员的图案，如图2所示，若平行地面，，则该图案的高度是　　

A．8 B． C． D．
【分析】由已知可知③⑤⑥的高度都为2，直角梯形④的锐角为，图1中到的距离为2，可得，由已知得，即，推出，从而得出答案．
【解答】解：如图，作，，，

由已知可得③⑤⑥的高度都为2，是半圆⑦的切线，
，，
即直角梯形④的锐角为，
，
点到 距离为2，
，
半圆⑦的直径为2，
，，
，
高度为；
故选：．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，理清题意，找准线段之间的关系是解题的关键．
二．填空题（每小题3分，共8小题，共24分）
9．（3分）若分式的值为0，则的值是 　2　．
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，再利用分式有意义的条件，其分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：分式的值为0，
且，
解得：．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式有意义的条件，注意分式有意义的条件是解题关键．
10．（3分）分解因式：　　．
【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：

．
故答案为：．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．（3分）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长尺，竿长尺，可列方程组为　　．
【分析】设绳索长尺，竿长尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设绳索长尺，竿长尺，
根据题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．（3分）如图，线段、分别表示甲、乙两座楼房的高，，，两建筑物间距离米，若甲建筑物高米，在点测得点的仰角，则乙建筑物高　58　米．

【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形，借助即可求解．
【解答】解：过点作于点．
根据题意，得，米．
米．
故答案为：58．

【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
13．（3分）已知反比例函数的图象上两点，，当时，有，则的取值范围是 　　．
【分析】根据反比例函数的性质，可以得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围．
【解答】解：反比例函数的图象上两点，，，，当时，有，
，
解得，，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
14．（3分）一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：，则它的体积是 　　．

【分析】首先判断该几何体的形状，然后根据其体积计算公式计算即可．
【解答】解：观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体，
其体积为：，
答：这个几何体的体积为．
故答案为：．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，难度不大．
15．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、．若物体的高为，小孔到物体和实像的水平距离、分别为、，则实像的高度为 　4.5　．

【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案．
【解答】解：，
，
，
，
（相似三角形的对应边上的高的比等于相似比），
，
，
答：实像的高度为，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“”型或“”型相似图，利用三角形相似，对应边成比例可求线段的长度．
16．（3分）如图，抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：
①；②；③； ④，其中正确有　②③④　（填序号）．

【分析】①利用抛物线与轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；
②由抛物线对称轴位置确定，由抛物线与轴交点位置得到，则可作判断；
③利用时，然后把代入可判断；
④利用抛物线的对称性得到和时的函数值相等，即时，，则可进行判断．
【解答】解：①抛物线与轴有2个交点，
△，即，
所以①错误；
②抛物线的对称轴在轴的左侧，
、同号，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，
所以②正确；
③时，，
即，
对称轴为直线，
，
，
，即，
所以③正确；
④抛物线的对称轴为直线，
和时的函数值相等，即时，，
，
所以④正确．
所以本题正确的有：②③④，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与轴的交点，观察二次函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
三、解答题（本题共6道小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合运算化简，再根据特殊角的三角函数值求得的值，代入化简结果进行计算即可．
【解答】解：


，
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（6分）解不等式组：，并求它的整数解的和．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，进而求其整数解，最后求它的整数解的和即可．
【解答】解：，
由①得
由②得
不等式组的解集为
不等式组的整数解的和为．
【点评】本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．（6分）已知在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）
（1）画出向下平移5个单位长度得到的△，并直接写出点的坐标；
（2）以点为位似中心，在网格中画出△，使△与位似，且相似比为，
（3）求出△的面积．

【分析】（1）根据点平移的坐标变换规律写出点、、的坐标，然后描点即可；
（2）延长到使，延长到使，从而得到△；
（3）先计算出的面积，然后把的面积乘以4得到△面积．
【解答】解：（1）如图，△为所作，点的坐标为；
（2）如图，△为所作；
（3）△的面积△．

【点评】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
20．（6分）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，为切实减轻学生课后作业负担，某中学教务处随机抽取了七、八、九年级部分学生并对这些学生家庭作业所用时间进行了调查．现将调查结果分为、、、、组．同时，将调查的结果绘成了两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的　120　，扇形统计图中的　　；
（2）已知该校有学生2600人，请你估计该校有多少人家庭作业时间在1.5小时以上？
（3）此次调查，最终有甲、乙、丙、丁四名同学在完成时间和正确率上被评为“校级优秀作业”，现从这四名同学中挑选两名同学参加全市举行的“优秀作业”展评，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、乙的概率．
组别
人数
时间（小时）

20


40





12


8


【分析】（1）用组的人数除以组对应的百分比即可得出总人数，再用总人数乘组的百分比即可得出组人数；用组人数除以总人数即可得出的值；
（2）利用样本估算总体即可；
（3）选中的两名同学恰好是甲、乙的概率等于选中的两名同学恰好是甲、乙的情况数与总情况数的比值．
【解答】解：（1）组20人占总数的，
（人，
（人，
，
；
故答案为：120、4；
（2）（人，
答：估计该校有260人家庭作业时间在1.5小时以上；
（3）树状图如下：

由树状图可知：共有12种情况，其中选中的两名同学恰好是甲、乙的共有2种情况，
（选中的两名同学恰好是甲、乙）．
【点评】本题主要考查用树状图求概率以及扇形统计图的知识，会画树状图或列表是解题的关键．
21．（6分）如图，在中，，分别为边，的中点，是对角线．
（1）求证：；
（2）若是直角，请证明四边形是菱形．

【分析】（1）由四边形是平行四边形，即可得，，，又由、分别为边、的中点，可证得，然后由，即可判定．
（2）利用平行四边形的性质结合平行四边形的判定与性质得出四边形为平行四边形，进而得出，再利用菱形的判定方法，即可得出答案．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
、分别为边、的中点，
，，
，
在和中，
，
．

（2）证明：、分别为边、的中点，
，，
又在中，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
为直角三角形，
又为边的中点，
，
又四边形为平行四边形，
四边形是菱形．

【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边中线性质等知识，正确得出四边形为平行四边形是解题关键，属于中考常考题型．
22．（6分）周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量银川北塔湖边北塔的高度．测量方案如下：首先，在处竖立一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶端与宝塔顶端在一条直线上，测得；然后，移开标杆，在处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高为时，恰好测得点的仰角为，已知，，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，求北塔的高．

【分析】过点作于点，根据已知条件推出，得，即可求得．
【解答】解：过点作于点，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，
，
即，
．
北塔的高为．

【点评】本题主要考查相似三角形的应用，证明是解决本题的关键．
四、解答题（本题共4道小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）如图，为的直径，为上一点，过点作的切线，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）根据切线的性质得到，进而证明，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明即可；
（2）连接，由，推出，然后根据正弦的定义求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】（1）证明：是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图所示：

，
设，则，
，
，
，
在中，，，
，
为的直径，
，
设，
，
，
由勾股定理得，，
解得，（舍去负值），
．
【点评】本题主要考查三角函数及切线的性质定理，熟练掌握三角函数及切线的性质定理是解题的关键．
24．（8分）已知，如图，一次函数、为常数且的图象与轴、轴分别交于、两点，且与反比例函数为常数且的图象在第二象限交于点．若轴于，若．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）若一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为，连接、，求面积．

【分析】（1）根据，．求得，把，代入反比例函数，可得反比例函数的解析式，把，，代入一次函数，即可得一次函数解析式；
（2）联立一次函数与反比例数求得点的坐标，继而即可求解．
【解答】解：（1），
，，，，
，
把，代入反比例函数，得，
反比例函数的解析式为，
把，，代入一次函数，，
得，
解得，
一次函数解析式为；
（2）联立，
解得：或，
，
，


．

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，求三角形面积，已知正切求边长，掌握以上知识是解题的关键．
25．（10分）阅读理解：
材料一：若三个非零实数，，满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教，，构成“和谐三数组”．
材料二：若关于的一元二次方程的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数，并写出理由过程；
（2）若，是关于的方程，，均不为的两根，是关于的方程，均不为的解．求证：，，可以构成“和谐三数组”；
（3）若，，三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数的值．
【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；
（2）先根据材料2，得出，再求出一元一次方程的解，进而得出，即可得出结论；
（3）先用表示出，，，进而表示出它们的倒数，再根据“和谐三数组”分三种情况，建立方程求解即可得出结论．
【解答】（1）解：根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有，，，；
理由：的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，而，
能构成“和谐三数组”，
故答案为：如；

（2）证明：，是关于的方程，，均不为的两根，
，，
，
是关于的方程，均不为的解，
，
，
，
，，可以构成“和谐三数组”；

（3）解：，，三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，
，，三个点均在反比例函数的图象上，
，，，
，，，
，，三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，
①，
，
，
②，
，
，
③，
，
，
即满足条件的实数的值为2或或．
【点评】此题主要考查了新定义的理解和运用，一元二次方程根与系数的关系，一元一次方程的解的定义，反比例函数图象上点的坐标特征，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
26．（10分）如图1，抛物线的顶点的坐标为，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得最小，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接，若点是线段上的一动点，过点作线段的垂线，分别与线段、抛物线相交于点、（点、都在抛物线对称轴的右侧），当最大时，求的面积．

【分析】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，此时的值最小，先求的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点；
（3）如图2，先利用待定系数法求的解析式为：，设，则，，表示，证明，列比例式可得的表达式，根据配方法可得当时，有最大值，证明，同理得的长，从而得的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将代入计算即可．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：，
把代入得：，
，
抛物线的表达式为：；
（2）存在，
如图1，作关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，此时的值最小，
，
，
易得的解析式为：，
当时，，

（3）如图2，，，
易得的解析式为：，
过作轴于，交于，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值；
过作轴于，
，，
，
，
，
，
，
当时，．
（方法2：根据的值计算的坐标为，与是对称点，连接，同理得：，则，根据面积公式可得结论）．


【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于的方程是解题答问题（3）的关键．