2022年四川省自贡市中考数学模拟试卷（三）

这是一份2022年四川省自贡市中考数学模拟试卷（三），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年四川省自贡市中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（12个小题，每个小题4分，共48分）
1．（3分）截止5月14日，俄乌战争已造成26000多人死亡，这里的26000科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
2．（3分）下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是　　
A．圆锥 B．六棱柱 C．球 D．四棱锥
3．（3分）已知，下列式子不一定成立的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是　　

A． B． C． D．
6．（3分）已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是　　
A．平均数是4 B．众数是3 C．中位数是5 D．方差是3.2
7．（3分）关于的分式方程有增根，则的值为　　
A． B． C． D．
8．（3分）如图，正三角形的边长为3，将绕它的外心逆时针旋转得到△，则它们重叠部分的面积是　　

A． B． C． D．
9．（3分）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　
A． B．
C． D．
10．（3分）不等式组的非负整数解的个数是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（3分）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是　　
A．和0 B．和2 C．和3 D．和4
12．（3分）如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：
①，
②，
③，
④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，
⑤．
其中正确的结论有　　

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（6个小题，每个小题4分，共24分）
13．（3分）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则　 　．
14．（3分）已知一个正多边形的内角和为，则它的一个外角的度数为　　度．
15．（3分）定义※，例如2※．则※的结果为　　．
16．（3分）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字
形式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式









横式









表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是　　．
17．（3分）如图，，若的顶点在射线上，且，点在射线上运动，当是锐角三角形时，的取值范围是　　．

18．（3分）如图，矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿 运动到点停止．过点作交射线于点，设是线段的中点，则在点运动的整个过程中，点运动路线的长为　　．

三、解答题
19．计算：．
20．端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对、、、四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：

（1）本次参加抽样调查的居民有　　人．
（2）喜欢种口味粽子的人数所占圆心角为　　度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃种粽子的有　　人．
（4）若有外型完全相同的、、、粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是种粽子的概率．
21．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点垂直起飞到达点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且和分别垂直地面于点和，点为的中点，求2号楼的高度．（结果精确到
（参考数据，，，，，

22．如图，点在的边上，以为半径作，的平分线交于点，过点作于点．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断与交点的个数，并说明理由．

23．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，连接，以为边在第一象限内作正方形，直线交双曲线于、两点，连接，交轴于点．
（1）求双曲线和直线的解析式．
（2）求的面积．

24．在平面直角坐标系中，对于任意两点，与，的“非常距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“非常距离”为；
若，则点与点的“非常距离”为．
例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线交点）．
（1）已知点，，为轴上的一个动点，
①若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标；
②直接写出点与点的“非常距离”的最小值；
（2）已知是直线上的一个动点，
①如图2，点的坐标是，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标；
②如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点与点的坐标．

25．如图，是的直径，点是延长线上一点，过点作的切线，切点是，过点作弦于，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．

26．平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴的正半轴交于点，点的坐标为，，抛物线的顶点为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点满足，求点的坐标；
（3）为线段上一点，点关于的平分线的对称点为，若，求点的坐标和此时的面积．

2022年四川省自贡市中考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（12个小题，每个小题4分，共48分）
1．（3分）截止5月14日，俄乌战争已造成26000多人死亡，这里的26000科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：．
2．（3分）下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是　　
A．圆锥 B．六棱柱 C．球 D．四棱锥
【解答】解：、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故选项不符合题意；
、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故选项不符合题意；
、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故选项符合题意；
、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故选项不符合题意；
故选：．
3．（3分）已知，下列式子不一定成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、若，则成立，故此选项不合题意；
、若，则不一定成立，当时才成立，故此选项符合题意；
、若，则，则成立，故此选项不合题意；
、若，则成立，故此选项不合题意；
故选：．
4．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
5．（3分）如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接，．

是的内切圆，，是切点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
6．（3分）已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是　　
A．平均数是4 B．众数是3 C．中位数是5 D．方差是3.2
【解答】解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，方差是．
故选：．
7．（3分）关于的分式方程有增根，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：，
故选：．
8．（3分）如图，正三角形的边长为3，将绕它的外心逆时针旋转得到△，则它们重叠部分的面积是　　

A． B． C． D．
【解答】解：作于，如图：
重合部分是正六边形，连接和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．
是等边三角形，，
，，，
，
的面积，
重叠部分的面积的面积；
故选：．

9．（3分）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：时，的函数图象位于第一三象限，的函数图象位于第一二象限且经过原点，
时，的函数图象位于第二四象限，的函数图象位于第三四象限且经过原点，
纵观各选项，只有选项图形符合．
故选：．
10．（3分）不等式组的非负整数解的个数是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：，
解①得：，
解②得，
则不等式组的解集为．
故非负整数解为0，1，2，3共4个
故选：．
11．（3分）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是　　
A．和0 B．和2 C．和3 D．和4
【解答】解：二次函数的图象经过与两点，
当时，的两个根为和1，函数的对称轴是直线，
又关于的方程有两个根，其中一个根是3．
方程的另一个根为，
关于的方程有两个整数根，
抛物线与直线的交点的横坐标在与之间和1与3之间，
关于的方程有两个整数根，这两个整数根是和2，
故选：．
12．（3分）如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：
①，
②，
③，
④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，
⑤．
其中正确的结论有　　

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：如图，连接．
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，故①正确，
连接．
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，故②正确，
设，则，，
，即，故③正确，
根据对称性可知，，
，
，，
，，
，，
，，
，
，故④错误，
，，
，
，
，
，故⑤正确，
故选：．

二、填空题（6个小题，每个小题4分，共24分）
13．（3分）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则　2　．
【解答】解：依题意，得
，即，
解得，．
故答案是：2．
14．（3分）已知一个正多边形的内角和为，则它的一个外角的度数为　36　度．
【解答】解：设此多边形为边形，
根据题意得：，
解得：，
这个正多边形的每一个外角等于：．
故答案为：36．
15．（3分）定义※，例如2※．则※的结果为　　．
【解答】解：根据题意得：
※．
故答案为：．
16．（3分）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字
形式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式









横式









表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是　9167　．
【解答】解：根据算筹计数法，表示的数是：9167
故答案为：9167．
17．（3分）如图，，若的顶点在射线上，且，点在射线上运动，当是锐角三角形时，的取值范围是　　．

【解答】解：如图，过点作，垂足为，，交于点
在中，，，

，由勾股定理得：，
在中，，

，由勾股定理得：，
当是锐角三角形时，点在上移动，此时．
故答案为：．

18．（3分）如图，矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿 运动到点停止．过点作交射线于点，设是线段的中点，则在点运动的整个过程中，点运动路线的长为　9　．

【解答】解：如图所示：过点作，交于，交于．

，，
．
在和中，

．
．
点的轨迹是一条平行于的线段．
当点与重合时，，
当点与点重合时，，，
．
，
△△．
，即：，
，
是△的中位线，
．
故答案为：9．
三、解答题
19．计算：．
【解答】解：原式

．
20．端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对、、、四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：

（1）本次参加抽样调查的居民有　600　人．
（2）喜欢种口味粽子的人数所占圆心角为　　度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃种粽子的有　　人．
（4）若有外型完全相同的、、、粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是种粽子的概率．
【解答】解：（1）（人，
所以本次参加抽样调查的居民有600人；
（2）喜欢种口味粽子的人数为（人，
喜欢种口味粽子的人数为（人，
所以喜欢种口味粽子的人数所占圆心角的度数为；
补全条形统计图为：

（3），
所以估计爱吃种粽子的有2400人；
故答案为600；72；2400；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是种粽子的结果数为3，
所以他第二个吃的粽子恰好是种粽子的概率．
21．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点垂直起飞到达点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且和分别垂直地面于点和，点为的中点，求2号楼的高度．（结果精确到
（参考数据，，，，，

【解答】解：过点、分别作，，垂足分别为、，
由题意得，，，，，，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
（米，
答：2号楼的高度约为45.8米．

22．如图，点在的边上，以为半径作，的平分线交于点，过点作于点．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断与交点的个数，并说明理由．

【解答】解：（1）如图，，射线，直线即为所求．

（2）直线与相切，交点只有一个．
理由：，
，
平分，
，
，
，
，
，
直线是的切线，
与直线只有一个交点．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，连接，以为边在第一象限内作正方形，直线交双曲线于、两点，连接，交轴于点．
（1）求双曲线和直线的解析式．
（2）求的面积．

【解答】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，
，，
作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，，
，
双曲线经过点，
，
双曲线为，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为；
（2）连接，交于，
四边形是正方形，
垂直平分，，
解得或，
，
，，
，，
，
．

24．在平面直角坐标系中，对于任意两点，与，的“非常距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“非常距离”为；
若，则点与点的“非常距离”为．
例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线交点）．
（1）已知点，，为轴上的一个动点，
①若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标；
②直接写出点与点的“非常距离”的最小值；
（2）已知是直线上的一个动点，
①如图2，点的坐标是，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标；
②如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点与点的坐标．

【解答】解：（1）①为轴上的一个动点，
设点的坐标为．
，
，
解得，或；
点的坐标是或；
②点与点的“非常距离”的最小值为．
（2）①如图2，当点与点的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义“若，则点与点的“非常距离”为”解答，此时．即，

是直线上的一个动点，点的坐标是，
设点的坐标为，，
，
此时，，
点与点的“非常距离”的最小值为：，
此时，；
②如图3，当点在过原点且与直线垂直的直线上，且时，点与点的“非常距离”最小，

设（点位于第二象限）．则
，
解得，
故，．
设点的坐标为，，
，
解得，
则点的坐标为，，点与点的“非常距离”的最小值为1．
25．如图，是的直径，点是延长线上一点，过点作的切线，切点是，过点作弦于，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．

【解答】解：（1）证明：连接，
是的切线，
，即，





，
，
是的切线．
（2）如图2，连接，
是的直径，
，

设，，则由勾股定理得：，解得：，
，，
，即，
，，
在中，，，

，即，
，．
（3）
如图2，切于，
，

，即


即．


26．平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴的正半轴交于点，点的坐标为，，抛物线的顶点为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点满足，求点的坐标；
（3）为线段上一点，点关于的平分线的对称点为，若，求点的坐标和此时的面积．
【解答】解：（1），
抛物线的对称轴为直线．
抛物线与轴交于点、点，点的坐标为，
点的坐标为，，
可得该抛物线的解析式为，
，抛物线与轴的正半轴交于点，
，点的坐标为，
将点代入该解析式，
解得，
此抛物线的解析式为；
（2）作的外接圆，
设抛物线的对称轴与轴的交点为点，设与抛物线的对称轴位于轴上方的部分的交点为点，点关于轴的对称点为点，点、点均为所求点（如图，

可知圆心必在边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上，
、都是弧所对的圆周角，
，且射线上的其它点都不满足，
由（1）可知，，，
可得圆心也在边的垂直平分线即直线上，
点的坐标为，
由勾股定理得，
，
点的坐标为，
由对称性得点的坐标为，
符合题意的点的坐标为或；
（3）点、的坐标分别为、，
直线的解析式为，直线与轴所夹的锐角为，
点关于的平分线的对称点为（如图，

若设与的平分线的交点为，
则有，，，，，三点在一条直线上．
，
．
作轴于点，
点在线段上，，，三点在一条直线上，
，，
点的坐标为，
点在线段上，
设点的坐标为，其中，
，
由两点间的距离公式得，
解得，
经检验，在的范围内，
点的坐标为，，
此时．