2022年湖南省湘潭市湘潭县锦石中学中考数学模拟试卷（二）

这是一份2022年湖南省湘潭市湘潭县锦石中学中考数学模拟试卷（二），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年湖南省湘潭市湘潭县锦石中学中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）2022的相反数是　　
A． B． C．2022 D．
2．（3分）由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是　　

A． B． C． D．
3．（3分）下列运算中，正确的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是　　

A．16，10.5 B．8，9 C．16，8.5 D．8，8.5
5．（3分）如图，已知交于点，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
6．（3分）若一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
7．（3分）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．请问：所分的银子共有　　两．（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）

A．45 B．46 C．47 D．48
8．（3分）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，当时，的取值范围为　　

A．或 B． C． D．或
二、填空题：（每小题3分，共24分）（第8题图）
9．（3分）函数中，自变量的取值范围是 　　．
10．（3分）两年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.0000011米．将0.0000011用科学记数法表示为 　　．
11．（3分）若点与点关于轴对称，则的值是 　　
12．（3分）袋中装有6个黑球和个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有 　　个．
13．（3分）如图，中，垂直平分交于点，交于点．若，，则的周长是 　　．

14．（3分）如图，是的直径，，是上的两点，若，则　　．

15．（3分）如图，菱形草地中，沿对角线修建60米和80米两条道路，、分别是草地边、的中点，在线段上有一个流动饮水点，若要使的距离最短，则最短距离是 　　米．

16．（3分）已知点，到直线的距离为，则到直线的距离为 　　．
三、解答题（17—22每题6分，23、24每题8分，25、26每题10分，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中是方程的解．
19．（6分）一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行80海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船处所需的大约时间．（温馨提示：，

20．（6分）某校为了了解九年级学生周末在家体育锻炼情况，从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的部分统计图表和扇形统计图，根据信息回答下列问题：
等级等级
体育锻炼时间（分
人数





16


20


10
（1）本次调查共 　　人，表中　　，
（2）扇形统计图中，“”所对应的扇形圆心角的度数为 　　；
（3）若该校九年级共有1000名学生，请你估计周末体育锻炼超过20分钟的学生人数．

21．（6分）某翻译团为成为2022年北京冬奥会志愿者做准备，该翻译团一共有四名翻译（用、、、表示），其中只会翻译西班牙语，和只会翻译英语，上述两种语言都会翻译．
（1）求从这四名翻译中随机挑选一名会翻译英语的概率；
（2）若从这四名翻译中随机挑选两名组成一组，请用树状图或列表的方法求该组能够翻译上述两种语言的概率．
22．（6分）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，函数（其中的图象经过平行四边形的顶点，函数（其中的图象经过顶点，点在轴上，若点的横坐标为2，的面积为6．
（1）求的值；
（2）求直线的解析式．

24．（8分）学校为奖励在家自主学习有突出表现的学生，决定购买笔记本和钢笔作为奖品．已知1本笔记本和4支钢笔共需100元，4本笔记本和6支钢笔共需190元．
（1）分别求一本笔记本和一支钢笔的售价；
（2）若学校准备购进这两种奖品共90份，并且笔记本的数量不多于钢笔数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
25．（10分）如图，是的外接圆，，为圆上一点，且，两点位于异侧，连接，交于，点为延长线上一点，连接，使得．
（1）求证：为的切线；
（2）当点为的中点时，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．

26．（10分）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．
（1）求点的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点为第二象限抛物线上一动点，于点，是否存在点，使线段的长度最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标．



2022年湖南省湘潭市湘潭县锦石中学中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）2022的相反数是　　
A． B． C．2022 D．
【分析】直接根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2022的相反数等于，
故选：．
【点评】此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．（3分）由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是　　

A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看第一列的上边是一个小正方形，第二列是两个小正方形，
故选：．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
3．（3分）下列运算中，正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据单项式乘单项式法则可判断选项，根据合并同类项法则可判断选项，根据积的乘方可判断选项，根据同底数幂的除法法则可判断选项．
【解答】解：．，选项符合题意；
．，选项不符合题意；
．，选项不符合题意；
．，选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，合并同类项，同底数幂的乘法和除法以及积的乘方，掌握相关的法则是解题的关键．
4．（3分）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是　　

A．16，10.5 B．8，9 C．16，8.5 D．8，8.5
【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数，由图可知锻炼时间超过8小时的有人．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；
故选：．
【点评】考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
5．（3分）如图，已知交于点，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】由平行线的性质可得的度数，利用三角形外角的性质可得结果．
【解答】解：，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和外角的性质，综合运用性质定理是解答此题的关键．
6．（3分）若一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
△，
．
故选：．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．
7．（3分）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．请问：所分的银子共有　　两．（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）

A．45 B．46 C．47 D．48
【分析】设共有人，分两银子，根据“每人分七两，剩余四两；每人分九两，还差八两”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设共有人，分两银子，
根据题意得：，
解得：，
所分的银子共有46两．
故选：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（3分）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，当时，的取值范围为　　

A．或 B． C． D．或
【分析】根据图象直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求．
【解答】解：由图象可知，当时，的取值范围为或，
故选：．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题：（每小题3分，共24分）（第8题图）
9．（3分）函数中，自变量的取值范围是 　　．
【分析】根据二次根式有意义的条件是，即可求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（3分）两年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.0000011米．将0.0000011用科学记数法表示为 　　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．（3分）若点与点关于轴对称，则的值是 　　
【分析】根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出、的值，然后相加计算即可得解．
【解答】解：点与点关于轴对称，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
12．（3分）袋中装有6个黑球和个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有 　18　个．
【分析】用白球的个数除以球的总个数等于列出关于的方程，解之即可．
【解答】解：根据题意知，
解得，
经检验是分式方程的解，
这个袋中白球大约有18个．
故答案为：18．
【点评】本题考查了概率公式的应用，掌握概率所求情况数与总情况数之比是关键．
13．（3分）如图，中，垂直平分交于点，交于点．若，，则的周长是 　14　．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：垂直平分，
，
的周长



，
故答案为：14．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（3分）如图，是的直径，，是上的两点，若，则　55　．

【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，求出，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：是的直径，
，
，
，
由圆周角定理得，，
故答案为：55．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
15．（3分）如图，菱形草地中，沿对角线修建60米和80米两条道路，、分别是草地边、的中点，在线段上有一个流动饮水点，若要使的距离最短，则最短距离是 　50　米．

【分析】作关于的对称点，连接，交交于，连接，当点与重合时，的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出长，即可得出答案．
【解答】解：作关于的对称点，连接，交于，连接，
当点与重合时，的值最小，

四边形是菱形，
，，
即在上，
，
，
为中点，
为中点，
为中点，四边形是菱形，
，，
四边形是平行四边形，
，
设与的交点为点，
四边形是菱形，
，米，米，
（米，
的最小值是50米．
故答案为：50．
【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出的位置．
16．（3分）已知点，到直线的距离为，则到直线的距离为 　　．
【分析】直接应用点到直线的距离公式即可．
【解答】解：由，可得，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，点到直线的距离，理解题意，灵活应用点到直线的距离公式是解题的关键．
三、解答题（17—22每题6分，23、24每题8分，25、26每题10分，共72分）
17．（6分）计算：．
【分析】利用特殊角的三角函数值，绝对值的定义，负整数指数幂，算术平方根计算．
【解答】解：


．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，绝对值的定义，负整数指数幂，算术平方根．
18．（6分）先化简，再求值：，其中是方程的解．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：



，
，
，
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（6分）一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行80海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船处所需的大约时间．（温馨提示：，

【分析】过点作交延长线于．先解得出海里，再解中，得出，然后根据时间路程速度即可求出海警船到达事故船处所需的时间．
【解答】解：如图，过点作交延长线于．
在中，，，海里，
海里．
在中，，，
（海里），
海警船到达事故船处所需的时间大约为：（小时）．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（6分）某校为了了解九年级学生周末在家体育锻炼情况，从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的部分统计图表和扇形统计图，根据信息回答下列问题：
等级等级
体育锻炼时间（分
人数





16


20


10
（1）本次调查共 　50　人，表中　　，
（2）扇形统计图中，“”所对应的扇形圆心角的度数为 　　；
（3）若该校九年级共有1000名学生，请你估计周末体育锻炼超过20分钟的学生人数．

【分析】（1）由统计图表可知“”的频数是10，占调查人数的，由频率进行计算即可；
（2）求出“”所占整体的百分比即可；
（3）样本估计总体，求出样本中周末体育锻炼超过20分钟的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）（人，
（人；
故答案为：50，4；
（2），
故答案为：144；
（3）．
答：估计周末体育锻炼超过20分钟的学生大约有600人．
【点评】本题考查频数统计表、扇形统计图，掌握频率是正确解答的前提．
21．（6分）某翻译团为成为2022年北京冬奥会志愿者做准备，该翻译团一共有四名翻译（用、、、表示），其中只会翻译西班牙语，和只会翻译英语，上述两种语言都会翻译．
（1）求从这四名翻译中随机挑选一名会翻译英语的概率；
（2）若从这四名翻译中随机挑选两名组成一组，请用树状图或列表的方法求该组能够翻译上述两种语言的概率．
【分析】（1）共有4种可能出现的结果，其中会翻译英语的有3种，可求出相应的概率；
（2）用列表法列举出所有可能出现的结果，进而求出“能够翻译两种语言”的概率．
【解答】解：（1）四人中有3人会翻译英语，
因此从4人中抽出1人，会翻译英语的概率为；
（2）用表示只会西班牙语，表示只会英语，表示两种语言都会，
从四名中挑选2名，所有可能出现的结果如下：

共有12种可能出现的结果，其中“能够翻译两种语言”的有10种，
，
答：能够翻译上述两种语言的概率为．
【点评】本题考查列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果数是得出正确答案的关键．
22．（6分）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出，得出，由得出比例式，求出，即可得出的长．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，
又，
，
，
；
（2）解：，，，
，，
是的中点，
，
，
，
即，
，
．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，函数（其中的图象经过平行四边形的顶点，函数（其中的图象经过顶点，点在轴上，若点的横坐标为2，的面积为6．
（1）求的值；
（2）求直线的解析式．

【分析】（1）根据点的横坐标是2求出点坐标，再由平行四边形得出轴，根据三角形的面积公式求出的长，故可得出点坐标，进而可得出的值；
（2）根据四边形是平行四边形可知，故可得出，再利用待定系数法求出直线的解析式即可．
【解答】解：（1）点的横坐标是2，
，
，
四边形是平行四边形，
轴，
，即，
，
，
点的坐标为
；
（2）四边形是平行四边形，


设直线的解析式为，
则，
，
直线的解析式为．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
24．（8分）学校为奖励在家自主学习有突出表现的学生，决定购买笔记本和钢笔作为奖品．已知1本笔记本和4支钢笔共需100元，4本笔记本和6支钢笔共需190元．
（1）分别求一本笔记本和一支钢笔的售价；
（2）若学校准备购进这两种奖品共90份，并且笔记本的数量不多于钢笔数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设一本笔记本的售价为元，一支钢笔的售价为元，根据“1本笔记本和4支钢笔共需100元，4本笔记本和6支钢笔共需190元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进本笔记本，则购进支钢笔，根据笔记本的数量不多于钢笔数量的3倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设学校购进这两种奖品的总价为元，根据总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设一本笔记本的售价为元，一支钢笔的售价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：一本笔记本的售价为16元，一支钢笔的售价为21元．
（2）设购进本笔记本，则购进支钢笔，
依题意，得：，
解得：．
设学校购进这两种奖品的总价为元，则．
，
值随值的增大而减小，
又，且为整数，
当时，取得最小值，最小值为1555，
当购进67本笔记本、23支钢笔时，购买的总价最少，最少费用为1555元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
25．（10分）如图，是的外接圆，，为圆上一点，且，两点位于异侧，连接，交于，点为延长线上一点，连接，使得．
（1）求证：为的切线；
（2）当点为的中点时，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．

【分析】（1）欲证明是的切线，只要证明即可．
（2）证明，可得结论．
（3）过点作于．由题意，可以假设，，证明，可得，推出，，再证明，推出，推出，，由，推出，可得，利用勾股定理求出，，可得结论．
【解答】（1）证明：连接．
是直径，
，
，
，，
，
，
，
为的切线．

（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

（3）解：过点作于．
是直径，
，
，
可以假设，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，，
．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
26．（10分）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．
（1）求点的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点为第二象限抛物线上一动点，于点，是否存在点，使线段的长度最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标．


【分析】（1）已知抛物线过、两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）如图2，连接，过点作轴于点，设，，可得，，，根据，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由在抛物线的对称轴上，设出坐标为，如图所示，过作对称轴于，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用得到△，由全等三角形的对应边相等得到，，表示出坐标，将坐标代入抛物线解析式中求出相应的值，即可确定出的坐标．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点和点，
，
，
，
，
，
解得：，
所求抛物线解析式为：，；

（2）存在．
理由：如图2，连接，，过点作轴于点，设，，
于点，当线段的长度最大时，的面积最大，
，，，



，
当时，最大，此时，；

（3）抛物线的对称轴为，点在抛物线的对称轴上，
设，
线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，
①当时，
，，
如图3，过作对称轴于，设对称轴于轴交于点．
，
，
在△与中，
，
△，
，，
，
代入得：，
解得：，（舍去），
②当时，要使，由图可知点与点重合，
，
，
．
满足条件的点的坐标为或．


【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．