2021-2022学年内蒙古通辽市科尔沁区龙山中学九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年内蒙古通辽市科尔沁区龙山中学九年级（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（3分）把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式是
A．B．C．D．
3．（3分）如图，半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形弦的长为
A．B．C．D．
4．（3分）某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛
A．10个B．6个C．5个D．4个
5．（3分）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于
A．B．C．D．
6．（3分）某梨园2020年产量为1000吨，预计2022年产量为1440吨，求该梨园梨产量的年平均增长率，设该梨园梨产量的年平均增长量为，则根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
7．（3分）已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是
A．B．C．D．
8．（3分）已知等腰三角形的三边长分别为、、4，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值是
A．34B．30C．30或34D．30或36
9．（3分）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是
A．B．
C．D．
10．（3分）已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④，其中，正确的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题7个小题，每小题3分，共21分）
11．（3分）已知点与点关于原点对称，则 ．
12．（3分）若是二次函数，则 ．
13．（3分）在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有 个旋转对称图形．
14．（3分）已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则 ．
15．（3分）下列说法：①弦是圆上任意两点之间的部分；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧；④直径是最长的弦；⑤直径是圆的对称轴．其中正确的是 ．
16．（3分）已知的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是 ．
17．（3分）若是方程的根，计算 ．
三、解答题
18．（8分）解一元二次方程
（1）
（2）
19．（8分）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1）将绕原点顺时针旋转得到△，请画出△；直接写出的坐标为 ；
（2）作出关于原点成中心对称的△，并直接写出的坐标．
20．（7分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为负整数，求此时方程的根．
21．（8分）如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头部的正上方达到最高点，距地面4米高，球落地为点．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式；
（2）足球第一次落地点距守门员多少米？
22．（8分）如图，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 米．
23．（8分）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为
（1）求的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
24．（10分）某网店购进、两款衬衫进行出售，若购进1件款衬衫和4件款衬衫需要600元；若购进3件款衬衫和5件款衬衫需要1100元．
（1）求每件款衬衫和每件款衬衫的进价分别为多少元？
（2）已知款衬衫的售价为每件130元，且每天售出40件．为了迎接“双11”，降价促销，增加盈利，现经调查发现：如果每件降价1元，那么每天就可以多售出2件．试求每件降价多少元时，款衬衫每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
25．（12分）如图所示，抛物线的顶点为，与轴交于、两点，且，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求直线的解析式；
（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点，使的面积最大？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
2021-2022学年内蒙古通辽市科尔沁区龙山中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【解答】解：．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
2．（3分）把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式是
A．B．C．D．
【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为，
平移后抛物线顶点坐标为，
所以所得抛物线解析式为：．
故选：．
3．（3分）如图，半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形弦的长为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，过作于，交于，
，，
，
又，
中，，
．
故选：．
4．（3分）某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛
A．10个B．6个C．5个D．4个
【解答】解：设有个足球队参加，依题意，
，
整理，得，
，
解得：，（舍去）；
即：共有5个足球队参加比赛．
故选：．
5．（3分）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于
A．B．C．D．
【解答】解：是等腰直角三角形，
，，
绕点逆时针旋转后，能与重合，
，，
为等腰直角三角形，
，
故选：．
6．（3分）某梨园2020年产量为1000吨，预计2022年产量为1440吨，求该梨园梨产量的年平均增长率，设该梨园梨产量的年平均增长量为，则根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
【解答】解：设该梨园梨产量的年平均增长量为，
根据题意得：．
故选：．
7．（3分）已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是
A．B．C．D．
【解答】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，点离直线最近，
．
故选：．
8．（3分）已知等腰三角形的三边长分别为、、4，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值是
A．34B．30C．30或34D．30或36
【解答】解：当时，，
、是关于的一元二次方程的两根，
，
不符合；
当时，，
、是关于的一元二次方程的两根，
，
不符合；
当时，
、是关于的一元二次方程的两根，
，
，
，
；
故选：．
9．（3分）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是
A．B．
C．D．
【解答】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除、；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、三象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除；
故选：．
10．（3分）已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④，其中，正确的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：由开口方向可得，，对称轴在轴右侧，、异号，因此，与轴交点在负半轴，因此，所有，因此①正确的；
抛物线与轴有两个不同交点，因此，故②是错误的；
由图象可知，当时，，因此③是错误的；
由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，就是当时，对应抛物线上有两个不同的点，
即，，，，由图象可知此时，因此④错误，
综上所述，正确的有一个，
故选：．
二、填空题（本大题7个小题，每小题3分，共21分）
11．（3分）已知点与点关于原点对称，则 ．
【解答】解：点与点关于原点对称，
，，
，
故答案为：．
12．（3分）若是二次函数，则 ．
【解答】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：．
13．（3分）在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有 4 个旋转对称图形．
【解答】解：在等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形只有等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形是旋转对称图形．
故答案为4；
14．（3分）已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则 0或1或2 ．
【解答】解：（1）时，函数的图象是一条直线：，
它与轴、轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；
（2）时，△，
，
，
解得；
（3）时，△，
，
，
此时函数的图象一定经过原点，
，
解得；
综上，可得的值为0或1或2．
故答案为：0或1或2．
15．（3分）下列说法：①弦是圆上任意两点之间的部分；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧；④直径是最长的弦；⑤直径是圆的对称轴．其中正确的是 ④ ．
【解答】解：弦是圆上任意两点之间的连线段，
故①错误，不符合题意；
平分不是直径的弦的直径垂直于弦，
故②错误，不符合题意；
垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，
故③错误，不符合题意；
直径是最长的弦，
故④正确，符合题意；
直径所在的直线是圆的对称轴，
故⑤错误，不符合题意；
故答案为：④．
16．（3分）已知的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是 或 ．
【解答】解：函数图象开口向上，当时，得，，
使成立的取值范围是或，
故答案为：或．
17．（3分）若是方程的根，计算 0 ．
【解答】解：是方程的根，
，
，，
．
故答案为：0．
三、解答题
18．（8分）解一元二次方程
（1）
（2）
【解答】解：（1），
，
则，
或，
解得：或；
（2）、、，
△，
则．
19．（8分）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1）将绕原点顺时针旋转得到△，请画出△；直接写出的坐标为 ；
（2）作出关于原点成中心对称的△，并直接写出的坐标．
【解答】解：（1）如图，△为所作，点的坐标为；
故答案为；
（2）如图，△为所作，点的坐标．
20．（7分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为负整数，求此时方程的根．
【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
即，解得：．
的取值范围为．
（2）为负整数，且，
．
将代入原方程得：，
解得：，．
故当时，此方程的根为和．
21．（8分）如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头部的正上方达到最高点，距地面4米高，球落地为点．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式；
（2）足球第一次落地点距守门员多少米？
【解答】解：（1）以为原点，直线为轴，直线为轴建直角坐标系．
由于抛物线的顶点是，
所以设抛物线的表达式为，
当，时，，
所以，
所以抛物线解析式为：；
（2）令，则，
解得：（舍去），（米，
所以，足球落地点距守门员约12.8米．
22．（8分）如图，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 10 米．
【解答】解：（1）如图，设点是拱桥所在的圆的圆心，作于，延长交圆于点，
则由垂径定理知，点是的中点，，，
由勾股定理知，，
设圆的半径是，
则：，
解得：；
即桥拱的半径为50米；
（2）设水面上涨后水面跨度为60米，交于，连接，如图2所示
则，
（米，
（米，
（米；
故答案为：10．
23．（8分）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为
（1）求的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
【解答】解：（1）把点的坐标为代入抛物线得：，
解得：，
，
顶点坐标为：．
（2）连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，
设直线的解析式为：，
点，点，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
当的值最小时，点的坐标为：．
24．（10分）某网店购进、两款衬衫进行出售，若购进1件款衬衫和4件款衬衫需要600元；若购进3件款衬衫和5件款衬衫需要1100元．
（1）求每件款衬衫和每件款衬衫的进价分别为多少元？
（2）已知款衬衫的售价为每件130元，且每天售出40件．为了迎接“双11”，降价促销，增加盈利，现经调查发现：如果每件降价1元，那么每天就可以多售出2件．试求每件降价多少元时，款衬衫每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每件款衬衫的进价为元，每件款衬衫的进价为元，根据题意可得：
，
解得：，
答：每件款衬衫的进价为200元，每件款衬衫的进价为100元；
（2）设最大利润为，假设每件降价元，根据题意可得：
，
答：每件降价5元时，款衬衫每天可获得最大利润，最大利润是1250元．
25．（12分）如图所示，抛物线的顶点为，与轴交于、两点，且，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求直线的解析式；
（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点，使的面积最大？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设此函数的解析式为，
函数图象顶点为，
，
又函数图象经过点，
解得，
此函数的解析式为，即；
（2）点是函数的图象与轴的交点，
点的坐标是，
设直线为，
代入、的坐标得，
，
又当时，有
，
直线为；
（3）假设存在这样的点，过点作轴于点，交于点．
设，则，，
则，
，
当时，有最大值，
此时点的坐标是．
1
4