2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了下列计算正确的是，已知是完全平方式，则的值为，设，，则的值是等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷
一.选择题（本大题共30分，每小题3分）
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
2．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）如图，在中，，，平分交于点，则等于　　

A． B． C． D．
4．（3分）已知是完全平方式，则的值为　　
A．6 B． C．3 D．
5．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为　　
A．13 B．17 C．7 或13 D．不确定
6．（3分）设，，则的值是　　
A．2 B．8 C．24 D．128
7．（3分）如图，已知直线是线段的垂直平分线，，则　　

A． B． C． D．
8．（3分）在下列各式中，能运用平方差公式计算的是　　
A． B． C． D．
9．（3分）如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为　　

A． B．
C． D．
10．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知，是两个格点，如果点也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点有　　

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二.填空题（本大题共16分，每小题2分）
11．（2分）若，则需要满足的条件是　　．
12．（2分）一个等腰三角形，它的顶角的度数是一个底角的4倍，它的底角是 　　度．
13．（2分）已知，，则　　．
14．（2分）如图，在中，和分别平分和，过点作，分别交，于点，，若，，则线段的长为 　　．

15．（2分）求值：　　．
16．（2分）点与点关于轴对称，则　　．
17．（2分）如图，在中，，于，，关于对称点是，则　　．

18．（2分）若关于的多项式与相乘所得的多项式中不含的一次项，则　　．
三.解答题（本大题共54分，第19题16分，第20-21题每题4分，第22-23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题8分）
19．（16分）计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．（4分）如图，在与中，与交于点，且，，
求证：．

21．（4分）先化简，再求值：，其中．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，．
（1）的面积是 　　；
（2）已知与△关于轴对称，△与△关于轴对称，请在坐标系中画出△和△；
（3）在轴有一点，使得△周长最短，请画出点的位置（保留画图的痕迹）．

23．（5分）已知，，求和的值．
24．（6分）在等边中，为直线上一动点，以为边在的右侧作等边，连．

（1）如图1，若点在线段上，求证：；
（2）若，，直接写出的长度．

25．（6分）先阅读下面材料，再解决问题：
已知．在求关于的代数式的值时，可将变形为．就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”．
例如：已知，求代数式的值．
解：，
．
原式．
．
请用“降次代换法”，完成下列各小题：
（1）若，则代数式的值为 　　．
（2）若，则代数式的值为 　　．
（3）已知，求代数式的值．
26．（8分）在中，，延长至，使，在的右侧作线段，使，连接交于点．

（1）如图1，在线段上取点，使，连接，求证：；
（2）若，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

四、附加题（本题共20分，第27、28题每题3分，第29、30题每题4分，第31题6分）
27．（3分）　　．
28．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是AD上的一动点，以CE为边向上作等边△CEF，连接BF．则∠CBF＝　 　°．

29．（4分）定义一种新运算，若，则，例，．已知，，，，则的值为 　　．
30．（4分）如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为 　　．

31．（6分）对于△ABC及其内部任意一点P，给出如下定义：若点P满足PA＜PB且PA＜PC，则称点P为点A关于△ABC的“邻近点”，在平面直角坐标系xOy中，点M坐标为（4，0）．
（1）如图1，点N在x轴上方，若△OMN为等边三角形．
①在点Q1（﹣2，0），Q2（1，1），Q3（2，2）中，点O关于△OMN的“邻近点”是 　 　；
②已知点Q是点O关于△OMN的“邻近点”，若点Q的横坐标为1，则线段OQ长度的取值范围是 　 　；
（2）已知点N的坐标为（n，4），
①若n＝4，在图2中画出所有点M关于△OMN的“邻近点”组成的图形；
②规定：横、纵坐标均为整数的点称为整点，当﹣1＜n＜9时，点M关于△OMN的“邻近点”中有m个整点，请直接写出m所有可能取值的和为 　 　．



2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共30分，每小题3分）
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、是轴对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：．
2．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
3．（3分）如图，在中，，，平分交于点，则等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，
平分，
，
，
故选：．
4．（3分）已知是完全平方式，则的值为　　
A．6 B． C．3 D．
【解答】解：已知是完全平方式，
或，
故选：．
5．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为　　
A．13 B．17 C．7 或13 D．不确定
【解答】解：当是腰时，，不符合三角形三边关系，故舍去；
当是腰时，周长．
故它的周长为．
故选：．
6．（3分）设，，则的值是　　
A．2 B．8 C．24 D．128
【解答】解：

，
故选．
7．（3分）如图，已知直线是线段的垂直平分线，，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：直线是线段的垂直平分线，
，，
，，
，
，
故选：．
8．（3分）在下列各式中，能运用平方差公式计算的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：．中两项的符号都相反，故不能用平方差公式计算；
．中两项的符号都相反，故不能用平方差公式计算；
．中不存在相同和相反的项，故不能用平方差公式计算；
．符合平方差公式．
故选：．
9．（3分）如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为　　

A． B．
C． D．
【解答】解：图1中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故选：．
10．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知，是两个格点，如果点也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点有　　

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：如图，点，，，，即为所求．

故选：．
二.填空题（本大题共16分，每小题2分）
11．（2分）若，则需要满足的条件是　　．
【解答】解：若，则需要满足的条件是：．
故答案为：．
12．（2分）一个等腰三角形，它的顶角的度数是一个底角的4倍，它的底角是 　30　度．
【解答】解：设等腰三角形的底角为，则顶角就是，则：
，
，
故答案为：30．
13．（2分）已知，，则　21　．
【解答】解：当，时，



．
故答案为：21．
14．（2分）如图，在中，和分别平分和，过点作，分别交，于点，，若，，则线段的长为 　7　．

【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
同理，
，
故答案为：7．
15．（2分）求值：　2022　．
【解答】解：原式

．
故答案为：2022．
16．（2分）点与点关于轴对称，则　．　．
【解答】解：点，点关于轴对称，
，，
．
故答案为：1．
17．（2分）如图，在中，，于，，关于对称点是，则　10　．

【解答】解：在中，，于，，关于对称点是，
，，，，
在中，
于，
，，
，
，
故答案为：．
18．（2分）若关于的多项式与相乘所得的多项式中不含的一次项，则　　．
【解答】解：

，
相乘所得的多项式中不含的一次项，
，
，
故答案为：．
三.解答题（本大题共54分，第19题16分，第20-21题每题4分，第22-23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题8分）
19．（16分）计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1）；
（2）

；
（3）

；
（4）


．
20．（4分）如图，在与中，与交于点，且，，
求证：．

【解答】证明：在和中，
，
，
．
21．（4分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：

，
当时，原式．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，．
（1）的面积是 　3.5　；
（2）已知与△关于轴对称，△与△关于轴对称，请在坐标系中画出△和△；
（3）在轴有一点，使得△周长最短，请画出点的位置（保留画图的痕迹）．

【解答】解：（1）的面积；
故答案为：3.5；
（2）如图，△和△为所作；

（3）如图，点为所作．
23．（5分）已知，，求和的值．
【解答】解：，，，
，
，
，
．
24．（6分）在等边中，为直线上一动点，以为边在的右侧作等边，连．

（1）如图1，若点在线段上，求证：；
（2）若，，直接写出的长度．

【解答】（1）证明：如图1中，，为等边三角形，
，，，
，
即，
，
；
（2）解：①在边上，如图：

为等边三角形，
，
由（1）知，
，
②在左侧时，如图：

同理可证，
，
，
综上所述，的长为4或10．
25．（6分）先阅读下面材料，再解决问题：
已知．在求关于的代数式的值时，可将变形为．就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”．
例如：已知，求代数式的值．
解：，
．
原式．
．
请用“降次代换法”，完成下列各小题：
（1）若，则代数式的值为 　3　．
（2）若，则代数式的值为 　　．
（3）已知，求代数式的值．
【解答】解：（1），
，
，
，
代数式的值为3．
故答案为：3；
（2），





，
代数式的值为．
故答案为：；
（3），
，







，
的值为9．
26．（8分）在中，，延长至，使，在的右侧作线段，使，连接交于点．

（1）如图1，在线段上取点，使，连接，求证：；
（2）若，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：．
理由如下：
在是截取，连接，

由（1）可知，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
四、附加题（本题共20分，第27、28题每题3分，第29、30题每题4分，第31题6分）
27．（3分）　1　．
【解答】解：原式

，
故答案为：1．
28．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是AD上的一动点，以CE为边向上作等边△CEF，连接BF．则∠CBF＝　30　°．

【解答】解：连接BE，如图所示：

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC且BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∵点E是AD上的一动点，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵△CEF是等边三角形，
∴EC＝EF，∠EFC＝∠ECF＝60°，
∴BE＝EF，
∴∠EBF＝∠EFB，
∴∠ECB+∠EFB＝∠CBF，
∵∠CBF+∠BCF+∠BFC＝180°，
∴2∠CBF+60°+60°＝180°，
∴∠CBF＝30°，
故答案为：30．
29．（4分）定义一种新运算，若，则，例，．已知，，，，则的值为 　35　．
【解答】解：设，，
依题意，，
，，．
，



．
故答案为：35．
30．（4分）如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为 　　．

【解答】解：方法一、中，，，，
，
垂直平分，
，
若要使最大，则需要最小，
以为圆心，为半径的圆与相切即可，
，
，
，
的最大值为，

方法二：过点作于，连接，

设，则，
，
，
，
解得，
最小值为，的最大值为，
故答案为：．
31．（6分）对于△ABC及其内部任意一点P，给出如下定义：若点P满足PA＜PB且PA＜PC，则称点P为点A关于△ABC的“邻近点”，在平面直角坐标系xOy中，点M坐标为（4，0）．
（1）如图1，点N在x轴上方，若△OMN为等边三角形．
①在点Q1（﹣2，0），Q2（1，1），Q3（2，2）中，点O关于△OMN的“邻近点”是 　Q1和Q2　；
②已知点Q是点O关于△OMN的“邻近点”，若点Q的横坐标为1，则线段OQ长度的取值范围是 　1≤OQ＜2　；
（2）已知点N的坐标为（n，4），
①若n＝4，在图2中画出所有点M关于△OMN的“邻近点”组成的图形；
②规定：横、纵坐标均为整数的点称为整点，当﹣1＜n＜9时，点M关于△OMN的“邻近点”中有m个整点，请直接写出m所有可能取值的和为 　13　．


【解答】解：（1）①∵△OMN为等边三角形，M（4，0），
∴N（2，2），
∵OQ1＝0﹣（﹣2）＝2，OQ2＝＝，OQ3＝＝2，
MQ1＝4﹣（﹣2）＝6，MQ2＝＝，MQ3＝＝2，
NQ1＝＝2，NQ2＝＝，NQ3＝2﹣2，
∴OQ1＜MQ1且OQ1＜NQ1，OQ2＜MQ2且OQ2＜NQ2，OQ3＝MQ3且OQ3＞NQ3，
∴点O关于△OMN的“邻近点”是Q1和Q2，
故答案为：Q1和Q2；
②当点Q在OM边上即x轴上时，Q（1，0），如图1，
此时OQ＝1，MQ＝3，NQ＝，
当点Q在ON边上时，Q（1，），

此时，OQ＝2，MQ＝＝2，NQ＝2，
∴线段OQ长度的取值范围是1≤OQ＜2，
故答案为：1≤OQ＜2；
（2）①当n＝4时，N（4，4），

分别取OM、MN、ON的中点C、A、B，所有点M关于△OMN的“邻近点”组成的图形为正方形ABCM（不包括边）如图2；
②如图3﹣1中，当﹣1＜n≤1时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，不存在整数点．

如图3﹣2中，当1＜n≤4时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在1个整数点．

如图3﹣3中，当4＜n＜6时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在4个整数点．

如图3﹣4中，当n＝6时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在3个整数点．

如图3﹣5中，当6＜n≤8时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在4个整数点．

如图3﹣6中，当8＜n＜9时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在5个整数点．

综上所述，m的值为1或4或3或5，
∴m所有可能取值的和为1+4+3+5＝13．
故答案为：13．