2022-2023学年浙江省杭州市下城区启正中学八年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市下城区启正中学八年级（上）期中数学试卷

一、单项选择（每题3分，共10小题，共30分）

1．（3分）下列交通警告标识中，不是轴对称图形的是　　

A． B． C． D．

2．（3分）下列选项中的三条线段的长度，能组成三角形的是　　

A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11

3．（3分）已知，则下列不等式一定成立的是　　

A． B． C． D．

4．（3分）下列各题是真命题的是　　

A．两个等边三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 

C．全等三角形的面积一定相等 D．面积相等的两个三角形全等

5．（3分）若、分别是的高线和中线，是的角平分线，则　　

A． B． C． D．

6．（3分）某电脑用户计划使用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不相同的选购方式共有　　

A．4种 B．5种 C．6种 D．7种

7．（3分）已知点的坐标为，下列说法正确的是　　

A．若点在轴上，则 

B．若点在一三象限角平分线上，则 

C．若点到轴的距离是3，则 

D．若点在第四象限，则的值可以为

8．（3分）在中，，点在边上．，　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

9．（3分）如图，在中，，为的角平分线，在边上取点，使，且．若，，则　　

A． B．  

C． D．

10．（3分）如图，已知：在等腰中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论正确的是　　

①；

②；

③；

④；

⑤．

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤

二.认真填一填（每小题4分，共6小题，共24分）

11．（4分）点位于平面直角坐标系中第 　　象限．

12．（4分）“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是　 　．

13．（4分）如图，中，，在上，为之中点，、相交于，且．若，则等于　 　．

14．（4分）在等腰三角形中，，若，则　　．

15．（4分）已知，写一个符合条件的（用含的代数式表示）　　．

16．（4分）如图，在中，，，将第一次沿折痕折叠，使得点能落在上，铺平后，将沿折痕折叠，使点与点重合，分别交边，边于点，点，是斜边上的高线，则　　．

三.全面答一答（本题有7个小题，共66分）

17．（6分）以下是圆圆解不等式组的解答过程：

解：由①，得，

所以．

由②，得，

所以，

所以．

所以原不等式组的解是．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

18．（8分）已知点．

（1）若点位于第四象限，它到轴的距离是4，试求出的值：

（2）若点位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点的坐标．

19．（8分）在一次课外兴趣活动中，有一半学生学数学．四分之一学生学音乐，七分之一学生学英语，还有部分人在操场上踢球，若参加这次课外兴趣活动共有学生人．

（1）请用含的代数式表示在操场上踢球的人数．

（2）若还剩下不到6名学生在操场上踢球，试问参加这次课外兴趣活动共有学生多少人？

20．（10分）如图，在中，，平分，为边上的高，且．

（1）求证：；

（2）试判断线段与，之间有何数量关系，并说明理由．

21．（10分）已知，如图，四边形，

（1）用直尺和圆规，在线段上找一点，使得，连接，（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的图形中，若，且，，求的长．

22．（12分）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，中，，，求证：是的一条特异线．

（2）如图2，是一个等腰锐角三角形，，且它是特异三角形，请求出的度数．

23．（12分）如图1，在等腰直角三角形中，动点在直线（点与点重合除外）上时，以为一腰在上方作等腰直角三角形，且，连接．

（1）判断与的数量关系和位置关系；并说明理由；

（2）如图2，若，，两点在直线上且，试求的长；

（3）在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出的长；若不是请简单说明理由．

2022-2023学年浙江省杭州市下城区启正中学八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择（每题3分，共10小题，共30分）

1．（3分）下列交通警告标识中，不是轴对称图形的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

故选：．

2．（3分）下列选项中的三条线段的长度，能组成三角形的是　　

A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11

【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：、，不能够组成三角形，故本选项错误；

、，不能够组成三角形，故本选项错误；

、，能够组成三角形，故本选项正确；

、，不能够组成三角形，故本选项错误．

故选：．

3．（3分）已知，则下列不等式一定成立的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据不等式的性质解答．

【解答】解：．，

，

，原变形正确，故本选项符合题意；

．，

，原变形错误，故本选项不符合题意；

．，

，原变形错误，故本选项不符合题意；

．，

，必须规定，原变形错误，故本选项不符合题意．

故选：．

4．（3分）下列各题是真命题的是　　

A．两个等边三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 

C．全等三角形的面积一定相等 D．面积相等的两个三角形全等

【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否为真命题，从而可以解答本题．

【解答】解：两个等边三角形一定相似，但不一定全等，如一个等边三角形三边为2，2，2，另一个等边三角形是3，3，3，故选项中的命题是假命题；

形状相同的两个三角形相似，但不一定全等，如一个边长为2的等边三角形和一个边长为3的等边三角形，故选项中的命题是假命题；

全等三角形的面积一定相等，故选项中的命题是真命题；

面积相等的两个三角形不一定全等，如同底边，等高的两个三角形，故选项中的命题是假命题；

故选：．

5．（3分）若、分别是的高线和中线，是的角平分线，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据垂线段最短解答即可．

【解答】解：线段，分别是的边上的高线和中线，是的角平分线，

根据垂线段最短可知：，，

故选：．

6．（3分）某电脑用户计划使用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不相同的选购方式共有　　

A．4种 B．5种 C．6种 D．7种

【分析】本题先由题意找出不等关系列出不等式组为得：，解出即可．

【解答】解：设买软件片，磁盘盒，取正整数，

得：，

不相同的选购方式有，，，，，，共6种方案．

故选：．

7．（3分）已知点的坐标为，下列说法正确的是　　

A．若点在轴上，则 

B．若点在一三象限角平分线上，则 

C．若点到轴的距离是3，则 

D．若点在第四象限，则的值可以为

【分析】依据坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，即可得出结论．

【解答】解：．若点在轴上，则，解得，故本选项错误；

．若点在一三象限角平分线上，则，解得，故本选项正确；

．若点到轴的距离是3，则，解得或0，故本选项错误；

．若点在第四象限，则，且，解得，故的值不可以为；

故选：．

8．（3分）在中，，点在边上．，　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【分析】由勾股定理可求解的长，再逐项根据的位置计算可求解．

【解答】解：在中，，，，

，

若，则是的平分线，

，

，故选项错误；

若时，

，

，

，

，故选项，错误，选项正确，

故选：．

9．（3分）如图，在中，，为的角平分线，在边上取点，使，且．若，，则　　

A． B．  

C． D．

【分析】在上截取，根据全等三角形的性质可得，可得，根据三角形的内角和可求解．

【解答】解：如图，在上截取，

为的角平分线，

，

，，，

，

，

，

，，

，

故选：．

10．（3分）如图，已知：在等腰中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论正确的是　　

①；

②；

③；

④；

⑤．

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤

【分析】①根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，则，故①正确；

②根据直角三角形斜边上中线的性质得，再利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，故②正确；

③延长，交于点，利用证明，得，可说明③正确；

④由③知，，则，可知④错误；

⑤连接，说明是等腰直角三角形，则，可知⑤正确．

【解答】解：①在等腰中，，平分，

，

，

又是等腰的中线，

，

，

，

，

又，

，

，

故①正确；

②，是的中点，

，

，

，

，

，

故②正确；

③如图，延长，交于点，

则，

，

，

又，

，

又，

在与中，

，

，

，

又平分，且，

是等腰三角形，

，

，

，

故③正确；

④由③知，，

，

又是等腰三角形，

，

，

故④错误；

⑤如图，连接，

垂直平分，

，

，

，

又，

，

是等腰直角三角形，

，

，

故⑤正确，

故选：．

二.认真填一填（每小题4分，共6小题，共24分）

11．（4分）点位于平面直角坐标系中第 　四　象限．

【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．

【解答】解：已知点，则点位于平面直角坐标系中的第四象限，

故答案为：四．

12．（4分）“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是　三个内角都等于的三角形是等边三角形　．

【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为三个内角相等，互换即可．

【解答】解：命题“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是“三个内角都等于的三角形是等边三角形”．

故答案为：三个内角都等于的三角形是等边三角形．

13．（4分）如图，中，，在上，为之中点，、相交于，且．若，则等于　60　．

【分析】由直角三角形的性质知，中线，所以，，由三角形内角和即可求得．

【解答】解：由直角三角形性质知，

为之中点，

，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

，，

，

又，

，

，

在中，

，

．

故答案为，60

14．（4分）在等腰三角形中，，若，则　　．

【分析】先根据等腰三角形的性质和条件：，确定即可．

【解答】解：，

是底角，

①当时，，此时，不符合题意；

②当时，条件成立；

综上，．

故答案为：．

15．（4分）已知，写一个符合条件的（用含的代数式表示）　（答案不唯一）　．

【分析】根据题目可知：符合条件的必须介于1和之间，即可得出答案．

【解答】解：，

（答案不唯一）．

故答案为：（答案不唯一）．

16．（4分）如图，在中，，，将第一次沿折痕折叠，使得点能落在上，铺平后，将沿折痕折叠，使点与点重合，分别交边，边于点，点，是斜边上的高线，则　　．

【分析】连接，如图，先证明，再利用是的角平分线得到，接着根据线段垂直平分线的性质得到，则，于是可判断为等腰直角三角形，所以．

【解答】解：连接，如图，

，是斜边上的高线，

，，

，

，

，

由折叠可知，是的角平分线，是边的垂直平分线，

，即，

，

，

，

为等腰直角三角形，

，

，

即．

故答案为：．

三.全面答一答（本题有7个小题，共66分）

17．（6分）以下是圆圆解不等式组的解答过程：

解：由①，得，

所以．

由②，得，

所以，

所以．

所以原不等式组的解是．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：以上解答过程有错误，

正确解答如下：

由①，得：，

，

由②，得：，

，

所以原不等式组的解集为．

18．（8分）已知点．

（1）若点位于第四象限，它到轴的距离是4，试求出的值：

（2）若点位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点的坐标．

【分析】（1）根据第四象限的点的纵坐标为负数以及点到轴的距离等于纵坐标的绝对值构建方程求解即可．

（2）根据不等式组解决问题即可．

【解答】解：（1）由点位于第四象限，

，

解得，

点到轴的距离是4，

得，

或，

解得（不合题意，舍去）或6；

（2）点位于第三象限，

，

解得：．因为点的横、纵坐标都是整数，所以或4，

当时，点，

当时，点．

综上所述，点的坐标为或．

19．（8分）在一次课外兴趣活动中，有一半学生学数学．四分之一学生学音乐，七分之一学生学英语，还有部分人在操场上踢球，若参加这次课外兴趣活动共有学生人．

（1）请用含的代数式表示在操场上踢球的人数．

（2）若还剩下不到6名学生在操场上踢球，试问参加这次课外兴趣活动共有学生多少人？

【分析】（1）参加这次课外兴趣活动的学生共有人，根据“有一半学生学数学，学生学音乐，学生学英语，在操场上踢足球人数为：，计算整理即可；

（2）依题意得，解得，则．又因为能被2、4、7整除且为正数，得出．

【解答】解：（1）参加这次课外兴趣活动的学生共有人，根据“有一半学生学数学，学生学音乐，学生学英语，

在操场上踢足球人数为：（人，

答：在操场上踢球的人数为人；

（2）依题意得，

解得，

则．

能被2、4、7整除且为正数，

．

答：参加这次课外兴趣活动的学生共有28人．

20．（10分）如图，在中，，平分，为边上的高，且．

（1）求证：；

（2）试判断线段与，之间有何数量关系，并说明理由．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，，由余角的性质可得结论；

（2）由“”可证，可得，即可得结论．

【解答】（1）证明：，平分，

，，，

，

，

，

；

（2）解：，理由如下：

在和中，

，

，

，

．

21．（10分）已知，如图，四边形，

（1）用直尺和圆规，在线段上找一点，使得，连接，（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的图形中，若，且，，求的长．

【分析】（1）利用作线段垂直平分线的方法，即可确定点．

（2）先利用勾股定理求出的长，再利用即可求出的长．

【解答】解：（1）如图，

（2）是直角三角形，，，

，

在和中，

，

，

．

22．（12分）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，中，，，求证：是的一条特异线．

（2）如图2，是一个等腰锐角三角形，，且它是特异三角形，请求出的度数．

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到结论；

（2）当是一个等腰锐角三角形，且它是特异三角形时，有两种情形，如图1，如图2，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．

【解答】解：（1）在中，，，

，

，

，

是斜边上的中线，

，

和是等腰三角形，

是的一条特异线；

（2）当是一个等腰锐角三角形，且它是特异三角形时，有两种情形：

如图1，，，

，，

设，

则，

解得，

，

如图2，，，，

，，，

，

设，

则，

解得．

．

故的度数是或．

23．（12分）如图1，在等腰直角三角形中，动点在直线（点与点重合除外）上时，以为一腰在上方作等腰直角三角形，且，连接．

（1）判断与的数量关系和位置关系；并说明理由；

（2）如图2，若，，两点在直线上且，试求的长；

（3）在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出的长；若不是请简单说明理由．

【分析】（1）由“”可证，可得，，可得；

（2）由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求的长；

（3）分两种情况讨论，由“”可证，可得，，可得，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求的长．

【解答】解：（1），，

理由如下：，都是等腰直角三角形，

，，，，

，且，，

，，

，

；

（2），，

，

，，

，

；

（3）如图3，若点在的延长线上，

，都是等腰直角三角形，

，，，，

，且，，

，，且，

，

，，

，

，，

，

；

如图4，若点在的延长线上，

，都是等腰直角三角形，

，，，，

，且，，

，，且，

，

，，

，

，，

，

；