2022-2023学年河南省开封市兰考县星河中学八年级（上）期末数学试卷

2022-2023学年河南省开封市兰考县星河中学八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共15分）

1．（3分）如图，中，有一点在上移动．若，，则的最小值为　　

A．8 B．8.8 C．9.8 D．10

2．（3分）在代数式、、、中，是分式的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．（3分）小名把分式中的、的值都扩大2倍，却搞不清分式的值有什么变化，请帮他选出正确的答案　　

A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小一半

4．（3分）与点关于直线对称的点是　　

A． B． C． D．

5．（3分）已知直线不经过第一象限，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

6．（3分）函数中，自变量的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

7．（3分）已知关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

8．（3分）如图，在中，，是上一点，且，过上一点，作于，于，已知：，，则的长是　　

A． B．6 C． D．

9．（3分）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用、表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是　　

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

10．（3分）某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶元，则可列出方程为　　

A． B． 

C． D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）若是正比例函数，则　 　．

12．（3分）已知点在直线，为常数，且上，则的值为　 　．

13．（3分）使分式方程产生增根，的值为　 　．

14．（3分）肥皂泡表面厚度大约是，用科学记数法表示为 　　．

15．（3分）三角形中，到三边距离相等的点是　 　的交点．

三、解答题（共8题，共75分）

16．（8分）解方程：

（1）

（2）

17．（8分）先化简，再求值：，其中．

18．（5分）已知，求分式的值．

19．（10分）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105400元购进40台电脑，其中型电脑每台进价2500元，型电脑每台进价2800元，型每台售价3000元，型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设型电脑购进台、商场的总利润为（元．

（1）请你设计出所有的进货方案；

（2）在上述的进货方案中，哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？

20．（10分）如图，一次函数和反比例函数的图象交于点，．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据图象直接写出时，的取值范围．

21．（12分）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，且

（1）求点的坐标和的值．

（2）若点是直线上在第一象限内的一个动点，当 在运动的过程中，试写出的面积与的函数关系式，（不要求写出自变量的取值范围）．

（3）探究：在（2）的条件下

①当运动到什么位置时，的面积为，并说明理由．

②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（12分）快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：

（1）请直接写出快、慢两车的速度；

（2）求快车返回过程中（千米）与（小时）的函数关系式；

（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？

23．（10分）如图，在和中，，，，的延长线交于点．

（1）求证：．

（2）过点作于点，求证：．

2022-2023学年河南省开封市兰考县星河中学八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共15分）

1．（3分）如图，中，有一点在上移动．若，，则的最小值为　　

A．8 B．8.8 C．9.8 D．10

【分析】若最小，就是说当最小时，才最小，因为不论点在上的那一点，都等于．那么就需从向作垂线段，交于．先设，再利用勾股定理可得关于的方程，解即可求，在中，利用勾股定理可求．那么的最小值可求．

【解答】解：从向作垂线段，交于，

设，则，

在中，，

在中，，

，

解得，

在中，，

．

故选：．

【点评】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．因此先从向作垂线段，交于，再利用勾股定理解题即可．

2．（3分）在代数式、、、中，是分式的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式可得答案．

【解答】解：根据分式定义可得、是分式，

故选：．

【点评】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式定义．

3．（3分）小名把分式中的、的值都扩大2倍，却搞不清分式的值有什么变化，请帮他选出正确的答案　　

A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小一半

【分析】分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．

【解答】解：分别用和去代换原分式中的和，

得，

可见新分式是原分式的倍；

故选：．

【点评】解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．

4．（3分）与点关于直线对称的点是　　

A． B． C． D．

【分析】直接根据关于直线对称的点的坐标特点解答即可．

【解答】解：点关于直线对称的点是．

故选：．

【点评】本题考查的是坐标与图形变化对称，熟知关于直线对称的点的坐标特点是解题的关键．

5．（3分）已知直线不经过第一象限，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】根据一次函数的图象在坐标平面内的位置关系先确定的取值范围，从而求解．

【解答】解：由直线不经过第一象限，

则经过第二、四象限或第二、三、四象限或三、四象限，

有，

解得：，

故选：．

【点评】本题主要考查一次函数图象与性质：对于直线，当时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．

6．（3分）函数中，自变量的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，

解得：且．

故选：．

【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

7．（3分）已知关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

【分析】直接解方程得出分式的分母为零，再利用求出答案．

【解答】解：

解得：，

关于的分式方程的解是负数，

，

解得：，

当时，方程无解，

则，

故的取值范围是：且．

故选：．

【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确得出分母不为零是解题关键．

8．（3分）如图，在中，，是上一点，且，过上一点，作于，于，已知：，，则的长是　　

A． B．6 C． D．

【分析】作于点可得矩形，易证，得到，在直角中，根据勾股定理就可以求得．

【解答】解：（1）作于点，可得矩形

，利用得到

．

又．

可设，，那么，，

．

（2）连接，把分成两个三角形，，

，

，

，

所以．

故选：．

【点评】解决本题的关键是作出辅助线，把所求的线段转移到一条线段求解．

9．（3分）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用、表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是　　

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

【分析】由题意，①②可得记为③，①③得到由此即可判断．

【解答】解：由题意，

①②得③，

，

①③得，

，

①②③正确，④错误．

故选：．

【点评】本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．

10．（3分）某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶元，则可列出方程为　　

A． B． 

C． D．

【分析】设原价每瓶元，根据某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，可列方程．

【解答】解：设原价每瓶元，

．

故选：．

【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出价格，以瓶数作为等量关系列方程求解．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）若是正比例函数，则　3　．

【分析】根据正比例函数的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．

【解答】解：由是正比例函数，得

且．

解得，

故答案为：3．

【点评】本题考查了正比例函数的定义，利用正比例函数的定义得出方程是解题关键，注意比例系数不能为零．

12．（3分）已知点在直线，为常数，且上，则的值为　　．

【分析】将点代入直线解析式，可得出的值，继而代入可得出答案．

【解答】解：点在直线上，

，

，

则．

故答案为：．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意直线上点的坐标满足直线解析式．

13．（3分）使分式方程产生增根，的值为　　．

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．

【解答】解：方程两边都乘，得

原方程有增根，

最简公分母，即增根是，

把代入整式方程，得．

故答案为：．

【点评】增根问题可按如下步骤进行：

①根据最简公分母确定增根的值；

②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

14．（3分）肥皂泡表面厚度大约是，用科学记数法表示为 　　．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：，

故答案为：．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

15．（3分）三角形中，到三边距离相等的点是　角平分线　的交点．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．

【解答】解：三角形中，到三边距离相等的点是角平分线的交点．

故答案为：角平分线．

【点评】本题考查了角平分线的性质，需熟记．

三、解答题（共8题，共75分）

16．（8分）解方程：

（1）

（2）

【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）去分母得：，

解得：，

经检验是分式方程的解；

（2）去分母得：，

解得：，

经检验是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

17．（8分）先化简，再求值：，其中．

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据即可解答本题．

【解答】解：

，

，，

解得，，

原式．

【点评】本题考查分式的化简求值、绝对值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

18．（5分）已知，求分式的值．

【分析】先根据得出，再把原式进行化简，把代入进行计算即可．

【解答】解：，

，即，

原式

．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

19．（10分）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105400元购进40台电脑，其中型电脑每台进价2500元，型电脑每台进价2800元，型每台售价3000元，型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设型电脑购进台、商场的总利润为（元．

（1）请你设计出所有的进货方案；

（2）在上述的进货方案中，哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？

【分析】（1）设型电脑购进台，则型电脑购进台，根据总进价不超过105700元和销售额不低于123200元建立不等式组，求出其解即可；

（2）根据利润等于售价进价的数量关系分别表示出购买型电脑的利润和型电脑的利润就求其和就可以得出结论．

【解答】解：（1）设型电脑购进台，则型电脑购进台，由题意，得

，

解得：，

为整数，

，24，

有2种购买方案：

方案1：购型电脑23台，型电脑17台；

方案2：购型电脑24台，型电脑16台；

（2）由题意，得

，

，

．

，

随的增大而增大，

时，元．

答：采用方案4，即购型电脑24台，型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元．

【点评】此题考查一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．

20．（10分）如图，一次函数和反比例函数的图象交于点，．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据图象直接写出时，的取值范围．

【分析】（1）把点坐标代入反比例函数求出的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，得到点的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；

（2）找出直线在一次函数图形的上方的自变量的取值即可．

【解答】解：（1）把点代入反比例函数得：

，

．

将代入得：

，

，

，

将，代入一次函数得：

．

（2）由函数图象可得：或．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，此类题目的求解一般都是先把已知点的坐标代入反比例函数表达式求出反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式，难度中等．

21．（12分）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，且

（1）求点的坐标和的值．

（2）若点是直线上在第一象限内的一个动点，当 在运动的过程中，试写出的面积与的函数关系式，（不要求写出自变量的取值范围）．

（3）探究：在（2）的条件下

①当运动到什么位置时，的面积为，并说明理由．

②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先确定出，进而得出，即可得出点坐标，将点的坐标代入直线解析式中即可得出；

（2）直接利用三角形的面积公式即可得出结论；

（3）设出点的坐标，进而利用两点间的距离公式求出，，，分三种情况用两边相等建立方程求解即可．

【解答】解：（1）在中，当，得

，

，

把，代入中

，

（2）由（1）知，点在直线上，

（3）①由（2）知，

的面积为，

，

，

当运动到时面积为；

②由（1）知，，

设点，

，，

为等腰三角形，（如图）

Ⅰ、当时，，

即：，

，

，，，

Ⅱ、当时，，

即：，

（此时和点重合，所以舍去）或，

Ⅲ、当时，，

即：，

，

即：满足条件的点的坐标为，、、，、．

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解（1）的关键是求出，解（3）的关键是用方程的思想解决问题，是一道基础题目．

22．（12分）快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：

（1）请直接写出快、慢两车的速度；

（2）求快车返回过程中（千米）与（小时）的函数关系式；

（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？

【分析】（1）根据路程与相应的时间，求得慢车的速度，再根据慢车速度是快车速度的一半，求得快车速度；

（2）先求得点的坐标，再根据点的坐标，运用待定系数法求得的解析式；

（3）分三种情况：在两车相遇之前；在两车相遇之后；在快车返回之后，分别求得时间即可．

【解答】解：（1）慢车的速度千米时，

快车的速度千米时；

（2）快车停留的时间：（小时），

（小时），即，

设的解析式为：，则

将，，代入，得

，

解得，

快车返回过程中（千米）与（小时）的函数关系式为；

（3）相遇之前：，

解得；

相遇之后：，

解得；

快车从甲地到乙地需要小时，

快车返回之后：

解得，综上所述，两车出发后经过或或小时相距90千米的路程．

【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．求一次函数，需要两组，的值或图象上两个点的坐标．在解题时注意分类思想的运用．

23．（10分）如图，在和中，，，，的延长线交于点．

（1）求证：．

（2）过点作于点，求证：．

【分析】（1）可利用证明结论；

（2）连接，过点作于点．结合全等三角形的性质利用证明，可得，，进而可证明结论．

【解答】证明：（1）．

．

在和中，

，

；

（2）如图，连接，过点作于点．

，

，，

，，

，

．

在和中，

，

，

．

在和中，

，

，

，

．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．