资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩6页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
(新高考)高考数学一轮基础复习讲义2.3奇偶性及周期性(2份打包，教师版+原卷版)
展开
这是一份(新高考)高考数学一轮基础复习讲义2.3奇偶性及周期性(2份打包，教师版+原卷版)，文件包含新高考高考数学一轮基础复习讲义23奇偶性及周期性教师版doc、新高考高考数学一轮基础复习讲义23奇偶性及周期性原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
第1课时
进门测
1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √ )
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √ )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ )
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ )
2．下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
D．f(x)＝2x＋2－x
答案 D
解析 D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 B
解析 ∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.
4．已知奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝log2(x＋3)，则f(－1)＝________.
答案 －2
解析 ∵f(1)＝log2(1＋3)＝2，
又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝________.
答案 x(1－x)
解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，∴f(x)＝x(1－x).
作业检查
无第2课时
阶段训练
题型一 判断函数的奇偶性
例1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
答案 D
解析 选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C中的函数是偶函数；选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)判断函数f(x)＝的奇偶性．
解 当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x
＝－(－x2＋x)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，
∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x
＝－(x2＋x)＝－f(x)．
∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x)．
∴函数f(x)为奇函数．
【同步练习】(1)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝ B．y＝lg|x|
C．y＝(x－1)2 D．y＝2x
(2)函数g(x)＝为________函数(填“奇”或“偶”)，函数f(x)＝＋1的对称中心为________．
答案 (1)B (2)奇 (0,2)
解析 (1)选项B中，函数y＝lg|x|的定义域为{x|x≠0}且lg|－x|＝lg|x|，所以函数y＝lg|x|是偶函数．
(2)易知函数g(x)＝为奇函数，图象关于原点对称，
又f(x)＝＋1＝－g(x)＋2，
所以函数f(x)的对称中心为(0,2)．
题型二 函数的周期性
例2 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为( )
A．－1 B．1 C．0 D．无法计算
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.
答案 (1)C (2)2.5
解析 (1)由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x－1)＝－f(x＋1)，
∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(2 017)＝f(1)，f(2 019)＝f(3)＝f(－1)，
又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，
∴f(2 017)＋f(2 019)＝0.
(2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
＝－＝－＝f(x)．
故函数的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．
∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
引申探究
例2(2)中，若将f(x＋2)＝－改为f(x＋2)＝－f(x)，其他条件不变，则 f(105.5)=_____．
答案 2.5
解 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数的周期为4(下同例题)．
思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．
定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.
答案 339
解析 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.
∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；
当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，
f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)
＝1×＝336.
又f(2 017)＝f(1)＝1，f(2 018)＝f(2)＝2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339.
第3课时
阶段重难点梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【知识拓展】
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
重点题型训练
题型三 函数性质的综合应用
命题点1 解不等式问题
例3 (1)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)
C．(，) D．[，)
(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( )
A．(－1,4) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(－1,2)
答案 (1)A (2)A
解析 (1)因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
f(2x－1)
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，
解得－1
例4 (1)(2016·北京西城区模拟)函数f(x)＝lg(a＋)为奇函数，则实数a＝________.
(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f ＝f，则a＋3b的值为________．
答案 (1)－1 (2)－10
解析 (1)根据题意得，使得函数有意义的条件为a＋>0且1＋x≠0，由奇函数的性质可得f(0)＝0.
所以lg(a＋2)＝0，即a＝－1，经检验a＝－1满足函数的定义域．
(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
所以f＝f且f(－1)＝f(1)，
故f＝f，
从而＝－a＋1，
即3a＋2b＝－2. ①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，
即b＝－2a. ②
由①②，得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便．
①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；
②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
【同步练习】(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
解析 (1)函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln ＝2ax＝ln e2ax，即＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
(2)因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x－4)＝－f(x)，
得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)
题型四 抽象函数问题
考点分析 抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以选择题或填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视.
一、抽象函数的定义域
典例1 已知函数y＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为________．
解析 要使函数有意义，
需使即
解得1≤x<3，所以函数g(x)的定义域为[1,3)．
答案 [1,3)
二、抽象函数的函数值
典例2 若定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝，对任意x∈R恒成立，则f(2 019)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析 因为f(x)>0，f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝
＝＝f(x)，
即函数f(x)的周期是4，
所以f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)．
因为函数f(x)为偶函数，
所以f(2 019)＝f(－1)＝f(1)．
当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝.
即f(1)＝1，所以f(2 019)＝f(1)＝1.
答案 D
三、抽象函数的单调性与不等式
典例3 设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求实数a的取值范围．
规范解答
解 因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，
所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9)．
又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9)．
再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f[9(a－1)]，
因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
从而有解得1
思导总结
(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤
(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
作业布置
1．下列函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln x B．y＝x3
C．y＝x2 D．y＝sin x
答案 B
2．已知f(x)＝ax3＋b＋4(a，b∈R)，f[lg(log32)]＝1，则f[lg(log23)]的值为( )
A．－1 B．3 C．7 D．8
答案 C
解析 设g(x)＝ax3＋b，则g(x)为奇函数，
因为lg(log32)＝lg()
＝－lg(log23)，
所以f[lg(log32)]＝g[lg(log32)]＋4＝1，g[lg(log32)]＝－3，
所以f[lg(log23)]＝g[lg(log23)]＋4＝g[－lg(log32)]＋4＝－g[lg(log32)]＋4＝3＋4＝7，故选C.
3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于( )
A．－2 B．2 C．－98 D．98
答案 B
解析 由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，
又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，
由－1∈(－2,0)得f(－1)＝2，
∴f(2 019)＝2.
4．已知f(x)＝lg(＋a)为奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案 B
解析 由f(x)＋f(－x)＝0，即lg(＋a)＋lg(＋a)＝lg＝lg 1＝0，可得a＝－1，
所以f(x)＝lg ，解0<<1，可得－1
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 由题意f(－16)＝－f(16)＝－log216＝－4，
故f(f(－16))＝f(－4)＝－f(4)＝－cos ＝.
*6.(2016·天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
答案 C
解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)>f(－)，f(－)＝f()可得2|a－1|<，即|a－1|<，所以
答案 0 －25
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝0，
又g(－2)＝f(－1)＝－f(1)＝－4，
∴f(g(－2))＝f(－4)＝－f(4)＝－25.
8．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1＋x)，则f(－)＝________.
答案 －
解析 因为f(x)是周期为2的奇函数，
所以f(－)＝－f()＝－f()＝－[2×(1＋)]＝－.
9．函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
答案 －－1
解析 ∵f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，
f(－x)＝＋1＝－f(x)，
即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
10．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t满足f(ln t)＋f(ln )≤2f(1)，那么t的取值范围是________．
答案 [，e]
解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(ln t)＝f(ln)，
由f(ln t)＋f(ln)≤2f(1)，
得f(ln t)≤f(1)．
又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，
所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x<0时，f(x)＝x2＋mx＝x2＋2x，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1
12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，
则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×(×2×1)＝4.
13.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解 (1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，则f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)
∴0<|x－1|<16，解得－15
第1课时
进门测
1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √ )
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √ )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ )
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ )
2．下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
D．f(x)＝2x＋2－x
答案 D
解析 D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 B
解析 ∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.
4．已知奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝log2(x＋3)，则f(－1)＝________.
答案 －2
解析 ∵f(1)＝log2(1＋3)＝2，
又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝________.
答案 x(1－x)
解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，∴f(x)＝x(1－x).
作业检查
无第2课时
阶段训练
题型一 判断函数的奇偶性
例1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
答案 D
解析 选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C中的函数是偶函数；选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)判断函数f(x)＝的奇偶性．
解 当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x
＝－(－x2＋x)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，
∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x
＝－(x2＋x)＝－f(x)．
∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x)．
∴函数f(x)为奇函数．
【同步练习】(1)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝ B．y＝lg|x|
C．y＝(x－1)2 D．y＝2x
(2)函数g(x)＝为________函数(填“奇”或“偶”)，函数f(x)＝＋1的对称中心为________．
答案 (1)B (2)奇 (0,2)
解析 (1)选项B中，函数y＝lg|x|的定义域为{x|x≠0}且lg|－x|＝lg|x|，所以函数y＝lg|x|是偶函数．
(2)易知函数g(x)＝为奇函数，图象关于原点对称，
又f(x)＝＋1＝－g(x)＋2，
所以函数f(x)的对称中心为(0,2)．
题型二 函数的周期性
例2 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为( )
A．－1 B．1 C．0 D．无法计算
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.
答案 (1)C (2)2.5
解析 (1)由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x－1)＝－f(x＋1)，
∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(2 017)＝f(1)，f(2 019)＝f(3)＝f(－1)，
又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，
∴f(2 017)＋f(2 019)＝0.
(2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
＝－＝－＝f(x)．
故函数的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．
∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
引申探究
例2(2)中，若将f(x＋2)＝－改为f(x＋2)＝－f(x)，其他条件不变，则 f(105.5)=_____．
答案 2.5
解 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数的周期为4(下同例题)．
思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．
定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.
答案 339
解析 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.
∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；
当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，
f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)
＝1×＝336.
又f(2 017)＝f(1)＝1，f(2 018)＝f(2)＝2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339.
第3课时
阶段重难点梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【知识拓展】
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
重点题型训练
题型三 函数性质的综合应用
命题点1 解不等式问题
例3 (1)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)
C．(，) D．[，)
(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( )
A．(－1,4) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(－1,2)
答案 (1)A (2)A
解析 (1)因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
f(2x－1)
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，
解得－1
例4 (1)(2016·北京西城区模拟)函数f(x)＝lg(a＋)为奇函数，则实数a＝________.
(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f ＝f，则a＋3b的值为________．
答案 (1)－1 (2)－10
解析 (1)根据题意得，使得函数有意义的条件为a＋>0且1＋x≠0，由奇函数的性质可得f(0)＝0.
所以lg(a＋2)＝0，即a＝－1，经检验a＝－1满足函数的定义域．
(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
所以f＝f且f(－1)＝f(1)，
故f＝f，
从而＝－a＋1，
即3a＋2b＝－2. ①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，
即b＝－2a. ②
由①②，得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便．
①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；
②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
【同步练习】(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
解析 (1)函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln ＝2ax＝ln e2ax，即＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
(2)因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x－4)＝－f(x)，
得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)
题型四 抽象函数问题
考点分析 抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以选择题或填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视.
一、抽象函数的定义域
典例1 已知函数y＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为________．
解析 要使函数有意义，
需使即
解得1≤x<3，所以函数g(x)的定义域为[1,3)．
答案 [1,3)
二、抽象函数的函数值
典例2 若定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝，对任意x∈R恒成立，则f(2 019)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析 因为f(x)>0，f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝
＝＝f(x)，
即函数f(x)的周期是4，
所以f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)．
因为函数f(x)为偶函数，
所以f(2 019)＝f(－1)＝f(1)．
当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝.
即f(1)＝1，所以f(2 019)＝f(1)＝1.
答案 D
三、抽象函数的单调性与不等式
典例3 设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求实数a的取值范围．
规范解答
解 因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，
所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9)．
又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9)．
再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f[9(a－1)]，
因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
从而有解得1
思导总结
(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤
(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
作业布置
1．下列函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln x B．y＝x3
C．y＝x2 D．y＝sin x
答案 B
2．已知f(x)＝ax3＋b＋4(a，b∈R)，f[lg(log32)]＝1，则f[lg(log23)]的值为( )
A．－1 B．3 C．7 D．8
答案 C
解析 设g(x)＝ax3＋b，则g(x)为奇函数，
因为lg(log32)＝lg()
＝－lg(log23)，
所以f[lg(log32)]＝g[lg(log32)]＋4＝1，g[lg(log32)]＝－3，
所以f[lg(log23)]＝g[lg(log23)]＋4＝g[－lg(log32)]＋4＝－g[lg(log32)]＋4＝3＋4＝7，故选C.
3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于( )
A．－2 B．2 C．－98 D．98
答案 B
解析 由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，
又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，
由－1∈(－2,0)得f(－1)＝2，
∴f(2 019)＝2.
4．已知f(x)＝lg(＋a)为奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案 B
解析 由f(x)＋f(－x)＝0，即lg(＋a)＋lg(＋a)＝lg＝lg 1＝0，可得a＝－1，
所以f(x)＝lg ，解0<<1，可得－1
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 由题意f(－16)＝－f(16)＝－log216＝－4，
故f(f(－16))＝f(－4)＝－f(4)＝－cos ＝.
*6.(2016·天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
答案 C
解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)>f(－)，f(－)＝f()可得2|a－1|<，即|a－1|<，所以
答案 0 －25
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝0，
又g(－2)＝f(－1)＝－f(1)＝－4，
∴f(g(－2))＝f(－4)＝－f(4)＝－25.
8．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1＋x)，则f(－)＝________.
答案 －
解析 因为f(x)是周期为2的奇函数，
所以f(－)＝－f()＝－f()＝－[2×(1＋)]＝－.
9．函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
答案 －－1
解析 ∵f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，
f(－x)＝＋1＝－f(x)，
即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
10．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t满足f(ln t)＋f(ln )≤2f(1)，那么t的取值范围是________．
答案 [，e]
解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(ln t)＝f(ln)，
由f(ln t)＋f(ln)≤2f(1)，
得f(ln t)≤f(1)．
又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，
所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x<0时，f(x)＝x2＋mx＝x2＋2x，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1
12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，
则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×(×2×1)＝4.
13.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解 (1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，则f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)
∴0<|x－1|<16，解得－15
相关试卷
(新高考)高考数学一轮复习学案+巩固提升练习2.3《函数的奇偶性、周期性与对称性》(2份打包，原卷版+教师版)： 这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案+巩固提升练习2.3《函数的奇偶性、周期性与对称性》(2份打包，原卷版+教师版)，文件包含新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习23《函数的奇偶性周期性与对称性》原卷版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习23《函数的奇偶性周期性与对称性》原卷版pdf、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习23《函数的奇偶性周期性与对称性》教师版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习23《函数的奇偶性周期性与对称性》教师版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
2024高考数学第一轮复习：专题2.3 函数的奇偶性与周期性（原卷版）： 这是一份2024高考数学第一轮复习：专题2.3 函数的奇偶性与周期性（原卷版），共11页。试卷主要包含了偶函数，奇函数，已知非空集合A，B满足，若函数同时满足等内容，欢迎下载使用。
新高考数学一轮复习《函数的奇偶性、对称性与周期性》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)： 这是一份新高考数学一轮复习《函数的奇偶性、对称性与周期性》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)，文件包含新高考数学一轮复习《函数的奇偶性对称性与周期性》课时练习教师版doc、新高考数学一轮复习《函数的奇偶性对称性与周期性》课时练习原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共8页， 欢迎下载使用。
