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(新高考)高考数学一轮基础复习讲义2.4二次函数和幂函数(2份打包，教师版+原卷版)
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这是一份(新高考)高考数学一轮基础复习讲义2.4二次函数和幂函数(2份打包，教师版+原卷版)，文件包含新高考高考数学一轮基础复习讲义24二次函数和幂函数教师版doc、新高考高考数学一轮基础复习讲义24二次函数和幂函数原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
第1课时
进门测
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( × )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( × )
(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )
(4)函数y＝2x是幂函数．( × )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )
(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( × )
作业检查
无
第2课时
阶段训练
.题型一 求二次函数的解析式
例1 (1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.
答案 x2＋2x
解析 设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，
所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，
得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解 ∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2.
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
又f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1，
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
思维升华 求二次函数解析式的方法
(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
答案 (1)x2＋2x＋1 (2)－2x2＋4
解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，
由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，
∴－a＝－(－)，即b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，
又f(x)的值域为(－∞，4]，
∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.
题型二 二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的单调性
例2 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0]．
引申探究
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
答案 －3
解析 由题意知a<0，
又＝－1，∴a＝－3.
命题点2 二次函数的最值
例3 已知m∈R，函数f(x)＝－x2＋(3－2m)x＋2＋m.
(1)若0
解 (1)∵对称轴为x＝≥1，
∴g(m)＝max{|f(－1)|，|f(1)|}＝max{|3m－2|，|4－m|}
＝max{2－3m,4－m}．
又∵(4－m)－(2－3m)＝2＋2m>0，∴g(m)＝4－m.
(2)函数的对称轴为x＝，且函数开口向下．
①≤0，即m≥(舍去)；
②0<
∴当m＝时，f(m)取得最大值.
命题点3 二次函数中的恒成立问题
例4 (1)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________________．
(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
答案 (1)(－∞，－1) (2)
解析 (1)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
(2)2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，成立；
当x≠0时，a<2－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a<.
综上，实数a的取值范围是 .
思维升华 (1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
(1)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 由题意得a>－对1
∴max＝，∴a>.
(2)已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值．
解 ∵函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴对称轴为直线x＝1，
∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论，当－21时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，
则当x＝1时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝－1.
综上，当－2
题型三 幂函数的图象和性质
例5 (1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A. B．1 C. D．2
(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C．(－1,2) D.
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，
所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.
(2)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，
且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于
解2m＋1≥0，得m≥－；
解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥；
解2m＋1>m2＋m－1，得－1
思维升华 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
幂函数的图象经过点(4,2)，若0
解析 设幂函数为f(x)＝xα，将(4,2)代入得α＝，
所以f(x)＝，该函数在(0，＋∞)上为增函数，
又0>1，
即a
第3课时
阶段重难点梳理
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在x∈上单调递减；
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增
在x∈上单调递减；
对称性
函数的图象关于x＝－对称
2.幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②幂函数的图象过定点(1,1)；
③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
重点题型训练
典例 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
思想方法指导 已知函数f(x)的最值，而f(x)图象的对称轴确定，要讨论a的符号．
规范解答
解 f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.[1分]
(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； [5分]
(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
[9分]
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
[13分]
综上可知，a的值为或－3.
1．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a≤3
C．a＜－3 D．a≤－3
答案 D
解析 函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
答案 C
解析 设f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，
∴f(x)＝x，对照各选项中的图象可知C正确．
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．
答案 [1,2]
解析 如图，由图象可知m的取值范围是[1,2]．
4．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．
答案 (0，＋∞)
解析 设f(x)＝xa，则2a＝，
∴a＝－，即幂函数的解析式为y＝，单调减区间为(0，＋∞).
思导总结
【知识拓展】
1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.
2．幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
作业布置
1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
答案 A
解析 已知函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．
所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
2．幂函数y＝(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ∵y＝(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，
∴m2－4m<0，即0
∴m2－4m为偶数，因此m＝2.
3．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
答案 C
解析 由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，
若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4.
4．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是( )
A．[0,4] B．[，4]
C．[，＋∞) D．[，3]
答案 D
解析 二次函数图象的对称轴为x＝
且f()＝－，f(3)＝f(0)＝－4，
由图得m∈[，3]．
5．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
答案 B
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，
∴函数的最大值在区间的端点处取得，
∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，
∴或解得a＝1.
6．已知二次函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1
B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)
答案 C
解析 该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝，又依题意，得x1<0，x2>0，又x1＋x2＝0，
则－x1>x2－，故f(x1)
答案 1
解析 设f(x)＝xα，则f(1)＝1，
由f(4)＝8f(2)，得4α＝8×2α，∴α＝3，
∴f(x)＝x3，f()＝.
8．当0
解析 如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知，h(x)>g(x)>f(x)．
9．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
答案 (－∞，－5]
解析 方法一 ∵不等式x2＋mx＋4<0对x∈(1,2)恒成立，
∴mx<－x2－4对x∈(1,2)恒成立，
即m<－(x＋)对x∈(1,2)恒成立，
令y＝x＋，则函数y＝x＋在x∈(1,2)上是减函数．
∴4
f(x)<0恒成立⇔⇒⇒m≤－5.
*10.若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 f(x)＝
x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2－ax＋a＝(x－)2＋a－，
x∈(－∞，1)时，f(x)＝x2＋ax－a＝(x＋)2－a－.
①当>1，即a>2时，f(x)在(1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，不合题意；
②当0≤≤1，即0≤a≤2时，符合题意；
③当<0，即a<0时，不符合题意．
综上，a的取值范围是[0,2]．
11．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]．
∵f(x)的对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，f(x)取最小值1；
当x＝－5时，f(x)取最大值37.
(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，
∴－a≥5或－a≤－5，即a≥5或a≤－5.
故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
12．已知幂函数f(x)＝(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解 (1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，
而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数，
所以函数f(x)＝(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，)，
所以＝2(m2＋m)－1，即＝，
所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1，f(x)＝，
又因为f(2－a)>f(a－1)，
所以解得1≤a＜，
故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m＝1.
满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为[1，)．
13．设函数f(x)＝x2＋px＋q(p，q∈R)．
(1)若p＝2，当x∈[－4，－2]时，f(x)≥0恒成立，求q的取值范围；
(2)若不等式|f(x)|>2在区间[1,5]上无解，试求所有的实数对(p，q)．
解 (1)当p＝2时，f(x)＝x2＋2x＋q≥0恒成立，
只需f(x)min≥0.
易知f(x)＝x2＋2x＋q在x∈[－4，－2]上单调递减，
所以f(x)min＝f(－2)＝q≥0.
即q的取值范围为[0，＋∞)．
(2)要使|f(x)|>2在区间[1,5]上无解，
必须满足
所以
所以－3≤p＋q≤1，即－1≤－p－q≤3，
又－27≤5p＋q≤－23，
两式相加可以得到－7≤p≤－5.
因为f(x)的对称轴为x＝－，
所以－∈，则f(x)的对称轴在区间[1,5]内，要使|f(x)|>2在区间[1,5]上无解，
还要满足f≥－2，即≥－2，
可以得到q≥－2.
解不等式组
可得p＝－6，代入不等式组，得q＝7.
所以满足题意的实数对(p，q)只有一对(－6,7)．
第1课时
进门测
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( × )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( × )
(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )
(4)函数y＝2x是幂函数．( × )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )
(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( × )
作业检查
无
第2课时
阶段训练
.题型一 求二次函数的解析式
例1 (1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.
答案 x2＋2x
解析 设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，
所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，
得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解 ∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2.
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
又f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1，
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
思维升华 求二次函数解析式的方法
(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
答案 (1)x2＋2x＋1 (2)－2x2＋4
解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，
由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，
∴－a＝－(－)，即b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，
又f(x)的值域为(－∞，4]，
∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.
题型二 二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的单调性
例2 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0]．
引申探究
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
答案 －3
解析 由题意知a<0，
又＝－1，∴a＝－3.
命题点2 二次函数的最值
例3 已知m∈R，函数f(x)＝－x2＋(3－2m)x＋2＋m.
(1)若0
解 (1)∵对称轴为x＝≥1，
∴g(m)＝max{|f(－1)|，|f(1)|}＝max{|3m－2|，|4－m|}
＝max{2－3m,4－m}．
又∵(4－m)－(2－3m)＝2＋2m>0，∴g(m)＝4－m.
(2)函数的对称轴为x＝，且函数开口向下．
①≤0，即m≥(舍去)；
②0<
∴当m＝时，f(m)取得最大值.
命题点3 二次函数中的恒成立问题
例4 (1)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________________．
(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
答案 (1)(－∞，－1) (2)
解析 (1)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
(2)2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，成立；
当x≠0时，a<2－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a<.
综上，实数a的取值范围是 .
思维升华 (1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
(1)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1
答案
解析 由题意得a>－对1
∴max＝，∴a>.
(2)已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值．
解 ∵函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴对称轴为直线x＝1，
∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论，当－2
则当x＝1时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝－1.
综上，当－2
题型三 幂函数的图象和性质
例5 (1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A. B．1 C. D．2
(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C．(－1,2) D.
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，
所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.
(2)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，
且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于
解2m＋1≥0，得m≥－；
解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥；
解2m＋1>m2＋m－1，得－1
思维升华 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
幂函数的图象经过点(4,2)，若0
解析 设幂函数为f(x)＝xα，将(4,2)代入得α＝，
所以f(x)＝，该函数在(0，＋∞)上为增函数，
又0
即a
第3课时
阶段重难点梳理
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在x∈上单调递减；
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增
在x∈上单调递减；
对称性
函数的图象关于x＝－对称
2.幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②幂函数的图象过定点(1,1)；
③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
重点题型训练
典例 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
思想方法指导 已知函数f(x)的最值，而f(x)图象的对称轴确定，要讨论a的符号．
规范解答
解 f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.[1分]
(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； [5分]
(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
[9分]
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
[13分]
综上可知，a的值为或－3.
1．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a≤3
C．a＜－3 D．a≤－3
答案 D
解析 函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
答案 C
解析 设f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，
∴f(x)＝x，对照各选项中的图象可知C正确．
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．
答案 [1,2]
解析 如图，由图象可知m的取值范围是[1,2]．
4．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．
答案 (0，＋∞)
解析 设f(x)＝xa，则2a＝，
∴a＝－，即幂函数的解析式为y＝，单调减区间为(0，＋∞).
思导总结
【知识拓展】
1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.
2．幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
作业布置
1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
答案 A
解析 已知函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．
所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
2．幂函数y＝(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ∵y＝(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，
∴m2－4m<0，即0
∴m2－4m为偶数，因此m＝2.
3．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
答案 C
解析 由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，
若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4.
4．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是( )
A．[0,4] B．[，4]
C．[，＋∞) D．[，3]
答案 D
解析 二次函数图象的对称轴为x＝
且f()＝－，f(3)＝f(0)＝－4，
由图得m∈[，3]．
5．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
答案 B
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，
∴函数的最大值在区间的端点处取得，
∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，
∴或解得a＝1.
6．已知二次函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1
B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)
答案 C
解析 该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝，又依题意，得x1<0，x2>0，又x1＋x2＝0，
则－x1>x2－，故f(x1)
答案 1
解析 设f(x)＝xα，则f(1)＝1，
由f(4)＝8f(2)，得4α＝8×2α，∴α＝3，
∴f(x)＝x3，f()＝.
8．当0
解析 如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知，h(x)>g(x)>f(x)．
9．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
答案 (－∞，－5]
解析 方法一 ∵不等式x2＋mx＋4<0对x∈(1,2)恒成立，
∴mx<－x2－4对x∈(1,2)恒成立，
即m<－(x＋)对x∈(1,2)恒成立，
令y＝x＋，则函数y＝x＋在x∈(1,2)上是减函数．
∴4
f(x)<0恒成立⇔⇒⇒m≤－5.
*10.若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 f(x)＝
x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2－ax＋a＝(x－)2＋a－，
x∈(－∞，1)时，f(x)＝x2＋ax－a＝(x＋)2－a－.
①当>1，即a>2时，f(x)在(1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，不合题意；
②当0≤≤1，即0≤a≤2时，符合题意；
③当<0，即a<0时，不符合题意．
综上，a的取值范围是[0,2]．
11．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]．
∵f(x)的对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，f(x)取最小值1；
当x＝－5时，f(x)取最大值37.
(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，
∴－a≥5或－a≤－5，即a≥5或a≤－5.
故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
12．已知幂函数f(x)＝(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解 (1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，
而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数，
所以函数f(x)＝(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，)，
所以＝2(m2＋m)－1，即＝，
所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1，f(x)＝，
又因为f(2－a)>f(a－1)，
所以解得1≤a＜，
故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m＝1.
满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为[1，)．
13．设函数f(x)＝x2＋px＋q(p，q∈R)．
(1)若p＝2，当x∈[－4，－2]时，f(x)≥0恒成立，求q的取值范围；
(2)若不等式|f(x)|>2在区间[1,5]上无解，试求所有的实数对(p，q)．
解 (1)当p＝2时，f(x)＝x2＋2x＋q≥0恒成立，
只需f(x)min≥0.
易知f(x)＝x2＋2x＋q在x∈[－4，－2]上单调递减，
所以f(x)min＝f(－2)＝q≥0.
即q的取值范围为[0，＋∞)．
(2)要使|f(x)|>2在区间[1,5]上无解，
必须满足
所以
所以－3≤p＋q≤1，即－1≤－p－q≤3，
又－27≤5p＋q≤－23，
两式相加可以得到－7≤p≤－5.
因为f(x)的对称轴为x＝－，
所以－∈，则f(x)的对称轴在区间[1,5]内，要使|f(x)|>2在区间[1,5]上无解，
还要满足f≥－2，即≥－2，
可以得到q≥－2.
解不等式组
可得p＝－6，代入不等式组，得q＝7.
所以满足题意的实数对(p，q)只有一对(－6,7)．
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