(新高考)高考数学一轮基础复习讲义5.2平面向量基本定理及坐标表示(2份打包，教师版+原卷版)

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　 　)

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　 　)

(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　 　)

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　 　)

(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　 　)

无

题型一　平面向量基本定理的应用

例1　(1)在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________.(用e1，e2表示)

(2) 如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，＝2，设∥，若＝＋λ(λ∈R)，则λ的值为(　　)

A.   B.

C.   D．2

　在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)

A.  B.  C.  D.

题型二　平面向量的坐标运算

例2　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　)

A.   B.

C.   D.

(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，则2a－b等于(　　)

A．(4,0)   B．(0,4)

C．(4，－8)   D．(－4,8)

　(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.

(2)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)

A．(2，)   B．(2，－)

C．(3,2)   D．(1,3)

题型三　平面向量坐标的应用

命题点1　利用向量共线求向量或点的坐标

例3　已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．

命题点2　利用向量共线求参数

例4　(1)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(，1＋sin θ)，若a∥b，则锐角θ＝________.

(2)设＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．

命题点3　利用平面向量的坐标求最值

例5　在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝1，AD＝，P为平行四边形内一点，AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为________．

　(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．

(2)(2016·温州二模) 如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足＋＝1，若＝x＋y，则x＋y的最小值为________．

1．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

【知识拓展】

1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔＝.

典例　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．

1．设e1，e2是平面内一组基底，那么(　　)

A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0

B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)

C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内

D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对

2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　)

A．(－7，－4)   B．(7,4)

C．(－1,4)   D．(1,4)

3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.

4．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．

1．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝2，则等于(　　)

A．b－a   B．b－a

C．b－a   D．b＋a

2．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)

A．(2,0)   B．(－3,6)

C．(6,2)   D．(－2,0)

3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于(　　)

A.  B.  C．1  D．2

4．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)

A．(－，5)   B．(，5)

C．(，－5)   D．(－，－5)

5．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s等于(　　)

A.  B.  C．－3  D．0

6．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　　)

A．2   B.

C．3   D．4

7．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为__________．

8．设0＜θ＜，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________.

9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.

*10.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．

11．正△ABC的边长为1，向量＝x＋y，且x≥0，y≤1，≤x＋y≤，则动点P所形成的平面区域的面积为________．

答案　

12．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．

(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；

(2)若＝2，求点C的坐标．

*13. 如图所示，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．

(1)设＝λ，将用λ，，表示；

(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．